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第11讲 解一元一次方程
知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
通过合并同类项，含有未知数的项与常数项分别合并为一项。
【典例】
1.对于 类型的一元一次方程，移项与合并同类项得（ ）
A. （a-c）x=d-b B. （a-c）x=b-d
C. （a+c）x=b+d D. （a-c）x=b+d
【解析】解：ax+b=cx+d，
移项合并得：（a-c）x=d-b
【方法总结】
一般含未知数的项移到等式的左边，不含未知数的项移到等式的右边；移项时要注意变号。
【随堂练习】
1．（金堂县期末）下列方程的变形正确的个数有（ ）
（1）由3+x=5，得x=5+3；
（2）由7x=﹣4，得x=﹣ ；
（3）由 y=0得y=2；
（4）由3=x﹣2得x=﹣2﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）由3+x=5；得x=5+3不正确，因为移项时，符号没有改变；
（2）由7x=﹣4，得x=﹣ 正确；
（3）由 y=0得y=2不正确，系数化为1时，出现错误；
（4）由3=x﹣2得x=﹣2﹣3不正确，因为移项时，符号没有改变．
故选：A．
2．（招远市期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号，得3﹣x=2﹣5x+1
B．方程3x﹣2=2x+1，移项，得3x﹣2x=1﹣2C．方程 x= ，未知数系数化为1，得x=1
D．方程 =1，去分母，得5（x﹣1）﹣4x=10
【解答】解：A、方程3﹣x=2﹣5（x﹣1），去括号得：3﹣x=2﹣5x+5，不符合题意；
B、方程3x﹣2=2x+1，移项，得3x﹣2x=1+2，不符合题意；
C、方程 x= ，未知数系数化为1，得x= ，不符合题意；
D、方程 ﹣ =1，去分母，得5（x﹣1）﹣4x=10，符合题意，
故选：D．
3．（山亭区期末）下列方程的变形中正确的是（ ）
A．由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5 B．由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3
C．由 得 D．由 得2x=﹣12
【解答】解：A、由x+5=6x﹣7得x﹣6x=﹣7﹣5，故错误；
B、由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x+2=3，故错误；
C、由 得 =1，故错误；
D、正确．
故选：D．
知识点2 解一元一次方程-去括号
1、去括号法则：
（1）如果括号外是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
（2）如果括号外是“﹣”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2、解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，
把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为 （ 为常数）的形式．
【典例】
1.解方程：
【解析】答：去括号得： ，
移项得：合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
【方法总结】
1、去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是
“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各
项都改变符号．
2、一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
3、注意不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
【随堂练习】
1．（河西区校级期末）3x﹣4（2x+5）=x+4．
【解答】解：去括号得：3x﹣8x﹣20=x+4
移项得：3x﹣8x﹣x=4+20，
合并同类项得；﹣6x=24，
系数化为1得：x=﹣4．
2．（华龙区校级期中）若我们定义a※b=4ab﹣a÷6，其中符号“※’是我们规定的一种运
算符号，例如，6※2=4×6×2﹣6÷2=48﹣3=45．
（1）求（﹣4）※（﹣2），（﹣2）※2；
（2）若x※2=15，求x．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式=32 ；原式=﹣16+ =﹣15 ；
（2）已知等式利用新定义化简得：8x﹣ x=15，
解得：x= ．
知识点3 解一元一次方程-去分母
去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
【典例】
1.解方程：
（1）（2）
【解析】（1）解：“方程两边同时乘以分母的最小公倍数30”得：
，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得：
（2）解：分子、分母同乘10，得
去分母，得4（3x+7）﹣3（2x﹣3）=24，
去括号，得12x+28﹣6x+9=24，
移项，合并同类项，得6x=﹣13，
解得：x= ．
【方法总结】
1、去分母时，不要漏乘没有分母的项；
2、如果分子是一个多项式要把分子作为一个整体，加上括号
3、当分母是小数时，通常利用“等式的性质”或“把分子和分母扩大相同的倍数”，将小
数化为整数
【随堂练习】
1．（松滋市期末）解方程：
（1）5（x﹣2）﹣2=2（2+x）+x
（2）
【解答】解：（1）去括号得：5x﹣10﹣2=4+2x+x，
移项合并得：2x=16，
解得：x=8；
（2）方程整理得：x﹣2﹣5= ﹣1，
去分母得：3x﹣21=7﹣4x﹣3，
移项合并得：7x=25，解得：x= ．
2．（新泰市期末）解方程：
（1）
（2） ．
【解答】解：（1）6x﹣（2x+5）=6﹣3（2x﹣3）
6x﹣2x﹣5=6﹣6x+9
6x﹣2x+6x=6+9+5
10x=20
x=2
（2）5（x﹣2）﹣2（x+1）=3
5x﹣10﹣2x﹣2=3
5x﹣2x=3+10+2
3x=15
x=5
3．（山亭区期末）解方程：
（1）x﹣
（2）
【解答】解：（1）去分母得：6x﹣9+6x=6﹣x﹣2，
移项合并得：13x=13，
解得：x=1；
（2）去分母得：2﹣4x+4x+4=12﹣6x﹣3，
移项合并得：6x=3，
解得：x=0.5．
知识点4 一元一次方程的解
一元一次方程的解：能够使一元一次方程左右两边相等的未知数的值
【典例】
1.下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：2x﹣ = x﹣ ，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数为_______
【解析】解：设被墨水遮盖的常数是a，
根据题意得：
解得：a=﹣2．
【方法总结】
一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，利用方程的解代替未知
数，所得到的式子左右两边相等。
2.已知 为正整数，关于x的方程 的解为整数，则 的最小值为______
【解析】解：方程移项合并得： ，
解得： ，
由 为正整数， 为整数，
得到当 时，
则 的最小值为1，
【方法总结】
对于整数解问题
1、将一元一次方程转化为 （ 为常数，且 ）的形式，
2、根据方程解和字母系数的取值范围，分类讨论方程的解和字母系数的个数
3、检验求出的解和字母系数是否符合要求
4、熟练区分正整数、负整数、非负数、非正数、非负整数、非正整数等。
【随堂练习】
1．（锦江区校级期末）数学中有很多奇妙现象，比如：关于x的一元一次方程ax＝b的解
为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程
2x＝4是差解方程．若关于x的一元一次方程5x﹣m+1＝0是差解方程，则m＝．
【解答】解：∵5x﹣m+1＝0，
∴5x＝m﹣1，
解得：x＝ ，
∵关于x的一元一次方程5x﹣m+1＝0是差解方程，
∴m﹣1﹣5＝ ，
解得：m＝ ，
故答案为 ．
2．（福田区校级期末）关于x的方程bx﹣3＝x有解，则b的取值范围是 b ≠ 1 ．
【解答】解：bx﹣3＝x，
bx﹣x＝3，
（b﹣1）x＝3，
∵方程bx﹣3＝x有解，
∴b﹣1≠0，即b≠1，
故答案为：b≠1．
3．（兴业县期末）若x＝﹣1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是 ﹣ 2 ．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程2x﹣a＝0，得：﹣2﹣a＝0，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
4．（邗江区期末）已知方程4x﹣3m+2＝0的解是x＝1，则m＝ 2 ．
【解答】解：将x＝1代入方程4x﹣3m+2＝0，得：4﹣3m+2＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
5．（东阿县二模）若x＝﹣1是方程2x+a＝0的解，则a＝ 2 ．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：﹣2+a＝0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
6．（青岛期末）已知x＝2是关于x的一元一次方程1﹣2ax＝x+a的解，则a的值为 ﹣
．
【解答】解：把x＝2代入方程得1﹣4a＝2+a，
解得a＝﹣ ．故答案是：﹣ ．
7．（皇姑区期末）如果关于x的一元一次方程2x+a＝x﹣1的解是x＝﹣4，那么a的值为
3 ．
【解答】解：把x＝﹣4代入方程2x+a＝x﹣1得：﹣8+a＝﹣5，
解得：a＝3，
故答案为：3．
二．解答题（共1小题）
8．（赣榆区期末）已知关于x的方程3（x﹣1）＝3m﹣6与2x﹣5＝﹣1的解互为相反数，
求（m+ ）3的值．
【解答】解：解方程2x﹣5＝﹣1得：x＝2，
∵关于x的方程3（x﹣1）＝3m﹣6与2x﹣5＝﹣1的解互为相反数，
∴把x＝﹣2代入方程3（x﹣1）＝3m﹣6得：m＝﹣1，
∴（m+ ）3＝﹣ ．
知识点5 同解方程
两个或多个方程的解相同，则可称为同解方程
【典例】
1.若关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为
___
【解析】解：2+ =3﹣x，
12+x﹣1=18﹣6x，
x+6x=18﹣12+1，
x=1，
把x=1代入 得：
12﹣k﹣2=9k，
﹣k﹣9k=﹣10
k=1．【方法总结】
要判断两个方程的解相同，可以先解一下各个方程，然后进行判断．
【随堂练习】
1．（内江期末）如果关于x的方程3x+2a＝12和方程3x﹣4＝2（x﹣3）的解相同，那么与
a互为倒数的数是（ ）
A．3 B．9 C． D．
【解答】解：解方程3x﹣4＝2（x﹣3），
3x﹣4＝2x﹣6
3x﹣2x＝﹣6+4
x＝﹣2，
把x＝﹣2代入3x+2a＝12，可得：﹣6+2a＝12，
解得：a＝9，
所以与a互为倒数的数是 ，
故选：C．
2．（高州市期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【解答】解：解2x＝8，得
x＝4．
由同解方程，得
4a+2×4＝4．
解得a＝﹣1，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
3．（定安县期中）当a＝ ﹣ 3 时，关于x的方程3x﹣1＝﹣4与方程a﹣5＝6x﹣2的解
相同．
【解答】解：由关于x的方程3x﹣1＝﹣4
3x＝﹣3
x＝﹣1
而关于x的方程3x﹣1＝﹣4与方程a﹣5＝6x﹣2的解相同
于是将x＝﹣1代入方程a﹣5＝6x﹣2中，
得a﹣5＝﹣6﹣2
a＝﹣3
故答案为﹣3．4．（宁都县期末）已知关于x的方程2x﹣3＝ +x的解与|x|﹣1＝0的解相同，则m＝ ﹣
6 或﹣ 12 ．
【解答】解：|x|﹣1＝0，
解得：x＝±1，
2x﹣3＝ +x，
x＝ +3，
把x＝±1代入方程x＝ +3得： +3＝±1，
解得：m＝﹣6或﹣12．
故答案为：﹣6或﹣12．
5．（通州区期末）在解分式方程 的过程中，该分式方程等号两边同时乘以 6x
可以去分母，若6x≠0可以得到与其同解的整式方程3+6x＝4，此步骤的依据是 分式基
本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变 ．
【解答】解：在解分式方程 的过程中，该分式方程等号两边同时乘以6x可以
去分母，
若6x≠0可以得到与其同解的整式方程3+6x＝4，此步骤的依据是分式基本性质：分式的
分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，
故答案为：分式基本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变．
6．（新乐市期末）若关于x的方程 ＝ 与 ＝x+2m的解相同，则m的值为
【解答】解： ＝ ，
3（5x﹣1）＝6×7，
15x﹣3＝42，
15x＝45，
x＝3，
把x＝3代入方程 ＝x+2m得： ＝3+2m，
m＝ ，
故答案为： ．
7．（鼓楼区期末）关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是 1．
【解答】解：解方程2x+2＝0，
得x＝﹣1，
由题意得，﹣2+5a＝3，
解得，a＝1，
故答案为：1．
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论。
【典例】
1.关于x的方程 的解为______
【解析】解：∵
∴去掉外面绝对值得：
和
整理得：
和
（1） 中，
去掉绝对值得：
和
解得： 和
因为 和 均不符合 ，所以方程 无解
（2） 中，
去掉绝对值得：
和
解得： 和因为 和 均符合 ，所以方程 的解为 和
综上所述，方程 的解为 和 ，
【方法总结】
形如 型的绝对值方程的解法：
① 根据绝对值的非负性可知 ；
② 取绝对值，分类讨论，得到： 和 ；
③ 分别解方程 和 ；
④ 将求得的解代入 检验，舍去不合条件的解．
【随堂练习】
1．（南安市期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x﹣3|＝2．
解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；
当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．
所以原方程的解是x＝5或x＝1．
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+1
【解答】解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2﹣4＝0，解得x＝2；
当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）﹣4＝0，解得x＝﹣ ．
所以原方程的解是x＝2或x＝﹣ ．
（2）①当b+1＜0，即b＜﹣1时，原方程无解，
②当b+1＝0，即b＝﹣1时：
原方程可化为：x﹣2＝0，解得x＝2；
③当b+1＞0，即b＞﹣1时：
当x﹣2≥0时，原方程可化为x﹣2＝b+1，解得x＝b+3；
当x﹣2＜0时，原方程可化为x﹣2＝﹣（b+1），解得x＝﹣b+1．
综合集训1.下列方程的变形中正确的是________.
① 由x+5=6x﹣7得x﹣6x=7﹣5
② 由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x﹣2=3
③ 由 得
④ 由 得2x=﹣12
【解析】解：①由x+5=6x﹣7得x﹣6x=﹣7﹣5，故错误；
②由﹣2（x﹣1）=3得﹣2x+2=3，故错误；
③由 得 ，故错误；
④正确．
2.研究下面解方程 的过程
去分母，得 1+4﹙2x﹣3﹚=5x﹣1﹣3x ①
去括号，得 1+8x﹣12=2x﹣1 ②
移项，得 8x﹣2x=﹣1﹣1+12 ③
合并同类项，得6x=10 ④
系数化为1，得 ⑤
对于上面的解法，你认为从第_______步出现错误。
【解析】 解：由原方程去分母，得
1+4（2x﹣3）=5x﹣（1-3x） ①
故第①步变形错误；
3.已知关于x的方程 的解满足 ，则 的值是________.
【解析】解：先由 ，
得出 或再将 和 分别代入mx+2=2（m﹣x），
求出 或
4.解方程：
【解析】解：移项，得： ，
即 ，
根据绝对值的概念得： 或 ，
解得：x=6或0．
故答案为：x=6或0．
5.小明星期天在家里做作业，不小心将方程 中的数字蘸上墨汁，看不
清原来的方程，但他知道这两处的数字是相同的，且这个方程的解与方程 也
是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？
【解析】解：方程 ，
去分母得：2（1﹣x）=3（x﹣1），
去括号得：2﹣2x=3x﹣3，
解得：x=1，
∵方程 与方程 的解相同，
∴把x=1代入到方程 中得到（令 =a）， ，
解得：a=﹣13，
则被墨汁蘸上的数字是﹣13．6.当 为何值时，关于x的方程 的解为正整数？
【解析】解：解关于x的方程 ，
其解为 ，
要使方程的解为正整数，即必须使 为正整数，
则（a﹣1）应是6的正约数，
则a﹣1=1，2，3，6，
则a=2，3，4，7．
故a=2，3，4，7时，原方程的解为正整数
7.解下列一元一次方程
（1） ；
（2） ．
（3）
4）
（
（5）
（6）
1）
【解析】解：（
去分母得：2（x+4）﹣10=5（x﹣2）+10x，
去括号得：2x+8﹣10=5x﹣10+10x，
移项得：2x﹣15x=﹣8，合并同类项得：﹣13x=﹣8
系数化为1得： ；
（2）
去分母“两边同时乘以1”得：
50（0.1x﹣0.2）﹣2（x+1）=3
去括号得：5x﹣10﹣2x﹣2=3
移项得：5x﹣2x=10+2+3
合并同类项得：3x=15
系数化为1得：x=5．
（3）
整理得：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（4）
去括号得：
去括号得：
去分母得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（5）方程两边同乘9得：
整理得：
方程两边同乘7得：
整理得：
方程两边同乘5得：
整理得：
方程两边同乘3得：
整理得：
（备注：去括号一般按照从里往外的顺序，但有些情况按照由外往里的顺序更简便。）
（6）
去括号得：
去括号得：
两边同时乘以18得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
