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第 13 讲 二次函数存在性问题
知识点1二次函数中直角三角形存在性问题
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常
要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或
对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x ）（x－x ），通常要知道图像与x轴的两个交点坐
1 2
标x，x 才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－ ， ）．对于y=a
1 2
（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的
三要素：开口方向，对称轴，顶点．
【典例】
1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣
3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分
线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；
（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；
（3）当△PBC的面积为 时，求点E的坐标．
【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣ ﹣=1，∴b=﹣2
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c=﹣3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．
∴x=﹣1，x=3．
1 2
∵A点在B点左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则 ，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；
（2）∵Rt CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴∠OCB=△45°，
∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，
∴D坐标为（1，﹣2 ）
Rt CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），
∵△点P在CE垂直平分线上，
∴点P纵坐标为﹣2，
∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，
∴x2﹣2x﹣3=﹣2，
解得：x=1± ，
∵P在第三象限，
∴P的坐标为（1﹣ ，﹣2）；
（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3
∵直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴K的坐标为（n+3，n），
∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，
∵S =S +S = ，
PBC PKC PKB
△ △ △
∴ ×3KP=∴m2﹣3m= ，
解得：m=﹣ 或 ，
∵P在第三象限，
∴P的坐标为（﹣ ，﹣ ）
∵点P在CE垂直平分线上，
∴E的坐标为（0，﹣ ）
【方法总结】
探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；
（2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，
此交点即为符合条件的点；
②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交
点时，此交点即为符合条件的点；
（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线
段时，注意代数式的符号）。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或
者利用三角函数建立方程求点坐标。
【随堂练习】
1．（琼中县一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，
与y轴交于点N，其顶点为D
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点M，使△AMN为直角三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，
请说明理由．【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得： ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设P（m，﹣m2﹣2m+3）过C作CG⊥x轴于G，连接PG，
S ＝S +S ﹣S ，
APC PCG APG ACG
△ △ △ △
＝ 3×（m+2）+ ×3（﹣m2﹣2m+3）×﹣ 3×3，
＝﹣ m2﹣ m+3，
当m＝﹣ 时，S 最大，最大值为 ，此时P（﹣ ， ），
APC
（3）存在满足条△件的点M，
设AC的解析式为y＝k x+b 得：
1 1
k ＝﹣1，b ＝1，
1 1
∴y＝﹣x+1，
设点M的横坐标为t，则M（t，﹣t+1），
AM2＝（t﹣1）2+（﹣t+1）2＝2（t﹣1）2，
AN2＝t+（﹣t﹣2）2＝t2+（t+2）2，
AN2＝12+32＝10，
∵MAN＜90°∴当∠AMN＝90°或∠ANM＝90°时，△AMN为直角三角形，①当∠AMN＝90°时，
AM2+MN2＝AN2得：2（t﹣1）2+t2+（t+2）2＝10，
得：t ＝1（舍去），t ＝﹣1
1 2
②当∠AMN＝90°时，
AN2+MN2＝AM2得：t+2（t+2）2+10＝2（t﹣1）2，
得：t ＝﹣ ；
3
综上所述，存在满足条件的点M，坐标为：（﹣1，2）或（﹣ ， ）．
2．（孝义市二模）综合与探究
如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点P
是第一象限抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l垂直于x轴，垂足为D，交直
线AC于点E．连接CD．
（1）求出A，B，C三点坐标及直线AC的解析式；
（2）当∠DCO＝∠DCA时，直接写出此时点P坐标；
（3）在点P运动的过程中，是否存在以点P，C，E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出
此时m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2+ x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交
于点C，
令x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0， ＝0，解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴B（﹣1，0），A（4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝ ．
（2）当∠DCO＝∠DCA时，
∵PD⊥x轴，
∴DE∥OD，
∴∠OCD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DCE，
∴CE＝DE，
∵DE∥OC，
∴ ，
∴ ，
设P（m，﹣ ），则E（m，﹣ +3），
∴ ，AC＝ ，
∴
解得m＝ ，
∴P（ ）．
（3）以点P，C，E为顶点的三角形是等腰三角形．
设P（m，﹣ ），则E（m，﹣ +3），又C（0，3），
①如图，当PC＝CE时，过点C作CF⊥PE，
∴PE＝2EF，
∵PE⊥x轴，
∴PE＝﹣ ﹣（﹣ +3）＝﹣ m2+3m，EF＝3﹣（﹣ +3）＝ m
∴﹣ m2+3m＝2× m
解得：m＝2或m＝0（舍），②如图，当PE＝CE时，
∵PE＝ ，CE＝ ＝ ，
∴ ，
解得：m＝ ，m＝0（舍去），
③如图，当PC＝PE时，
＝ ，
解得m＝ ，m＝0（舍去），
综合以上可得m＝2或 或 时，以点P，C，E为顶点的三角形是等腰三角形．知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题
此知识点是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、
等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（2）（3）问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需
要分类讨论．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛
1
物线C ：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M．
2 1 2
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
【解析】解：（1）∵抛物线C ：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）
1
∴
解得：
∴抛物线C ：解析式为y=x2+x﹣1
1
（2）∵动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M
1 2
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2
（3）共分两种情况
①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2
∵MN=t2+2
∴t2+2=t+2
∴t=0（舍去），t=1
1 2
∴t=1
②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）
∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，
∵MN=t2+2
∴t2+2=t+2
∴t=0，t=1（舍去）
1 2
∴t=0
故t的值为1或0
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位
于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
【解析】（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），∴﹣1=mn，∴n=﹣ ，
∵B（n，0），∴B（﹣ ，0）．∵AO=m，BO=﹣ ，CO=1
∴AC= = ，BC= = ，AB=AO+BO=m﹣ ，
∵（m﹣ ）2=（ ）2+（ ）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，∴AC= = ，BC= = |n|，AB=x ﹣x =2﹣
A B
n．
①当AC=BC时， = |n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；
②当AC=AB时， =2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣ ；
③当BC=AB时， |n|=2﹣n，当n＞0时， n=2﹣n，解得n= ，当n＜0时，﹣ n=2﹣n，
解得n=﹣ ．
综上所述，n=﹣2，﹣ ，﹣ ， 时，△ABC是等腰三角形．
【方法总结】
探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若
所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或
抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交
点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。
以上方法即可找出所有符合条件的点；
（3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添
加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。
【随堂练习】
1．（和平区二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（5，0）．B（﹣1，0）两点，与y轴交
于C点，若点P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（﹣1＜t＜2），过点P作PQ⊥x轴于点Q
作PM∥x轴交抛物线于另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形PQNM，矩形PQNM的周长为l．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求1与t的函数关系式，并求l的最大值；
（3）当l＝12时连接对角线PN，在线段PN上取一点D（点D与点P，N不重合），连接DM，过
点D作DE⊥DM交x轴于点E① 的值为 ；
②是否存在点D．使△DEN是等腰三角形．若存在请直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在请
说明理由．
【解答】解：（1）将A（5，0）．B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x2+ x+2；
（2）对称轴为x＝2，
∵点P的横坐标为t，
∴M点横坐标为4﹣t，
∴PM＝4﹣2t，PQ＝﹣ t2+ t+2；
∴l＝2（4﹣2t﹣ t2+ t+2）＝﹣ （t+ ）2+ ，
∵﹣1＜t＜2，
∴t＝﹣ 时，l有最大值 ；
（3）①当l＝12时，t＝0或t＝﹣1，
∵﹣1＜t＜2，
∴t＝0，
此时P点与C点重合，Q点与O点重合，
如图：
点M，N，E，D四点共圆，
∴∠DEM＝∠MNC，
∵M（4，2），N（4，0），
∴CM＝4，MN＝2，∴tan∠MNC＝tan∠DEM，
∴ ＝ ＝2，
∴ ；
故答案为 ；
②∵∠DEN在D的运动过程中始终是钝角，
当N在E左侧时，
∴当ED＝EN时，△DEN是等腰三角形，
∴△DEM≌△NEM（HL），
∴MN＝DM＝2，
∴DE＝EN＝1，
∴E（3，0），
易求直线CN的解析式为y＝﹣ x+2，
设D（m，﹣ m+2），
∴1＝（m﹣3）2+（﹣ m+2）2，
∴m＝4或m＝ ，
∵0＜m＜4，
∴m＝ ，
∴D（ ， ）；
当N在E右侧时，
当ND＝EN时，△DEN是等腰三角形，
过点D作GF⊥x轴，交x轴与点F，交PM于点G，
∵∠MDG+∠EDF＝∠EDF+∠DEF＝90°，
∴∠MDG＝∠DEF，
∴△MDG∽△DEF，
∴ ＝2，
∴DG＝FG﹣DF＝2﹣（﹣ m+2）＝ m，FN＝ON﹣OF＝4﹣m，
∴EF＝ DG＝ m，∴DN＝EN＝EF﹣FN＝ m﹣（4﹣m）＝ m﹣4，
在Rt DFN中，DF2+FN2＝DN2，
△
∴（﹣ m+2）2+（4﹣m）2＝（ m﹣4）2，
∴m＝ 或m＝﹣ （舍），
∴D（ ，﹣ +2），
综上所述D（ ，﹣ +2），D（ ， ）满足条件；
知识点3二次函数中四边形存在性问题
本知识点重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考
查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
平行四边形的判定与性质
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形两组对边分别相等；
③平行四边形两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c
经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【解析】解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1
∴A（﹣1，0）
当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴
∴ ，
抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1，x=3
1 2
∴B（3，0）．
（2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3，
设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）
∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ；
∴当x= 时，ME的最大值为 ．
（3）答：不存在．
由（2）知ME取最大值时ME= ，E（ ，﹣ ），M（ ，﹣ ）
∴MF= ，BF=OB﹣OF= ．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P（0，﹣ ）或P（3，﹣ ）
1 2当P（0，﹣ ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣
1
∴P 不在抛物线上．
1
当P（3，﹣ ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣
2
∴P 不在抛物线上．
2
综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．
【方法总结】
在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的 3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有
两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线
分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点
两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的
平行四边形；
（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的
性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体
分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。
【随堂练习】
1．（咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y
＝﹣ x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形
时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．【解答】解：（1）在 中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入 ，得
，解得
∴抛物线得解析式为
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x， ），则BF＝x，DF＝
∵tan∠DBE＝ ，tan∠BAC＝
∴ ＝ ，即
解得x ＝0（舍去），x ＝2
1 2
当x＝2时， ＝3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m， ），F（m， ）
EF＝|（ ）﹣（ ）|＝2
解得m ＝2， ，
1
当BO为对角线时，OB与EF互相平分
过点O作OF∥AB，直线OF 交抛物线于点F（ ）和（ ）
求得直线EF解析式为 或
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为 或
∴E点的坐标为（2，1）或（ ， ）或（ ）或（ ）或
（ ）
2．（鹤壁一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，
点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，
∴D（﹣2，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：
解得：
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），
∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）
∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
∴当m＝ 时，PQ的长l最大 ＝﹣（ ）2﹣（ ）+2＝ ．
答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
当m＝ 时，PQ最长，最大值为 ．
（3）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：
∵PQ的长为0＜PQ≤ 的整数，
∴PQ＝1或PQ＝2，
当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R （﹣2，﹣2），在点D下方有R （﹣2，﹣4）；
1 2
当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R （﹣2，﹣1），在点D下方有R （﹣2，﹣5）；
3 4
②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，当PQ＝1时，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此时x不是整数，
当PQ＝2时，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此时x ＝﹣1，x ＝0；当x ＝﹣1，R与点C重合，即R
1 2 1 5
（0，﹣3），当x ＝0；此时R （2，﹣1）
2 6
综上所述，符合条件的点R有：R （﹣2，﹣2），R （﹣2，﹣4），R （﹣2，﹣1），R （﹣2，﹣
1 2 3 4
5），R （0，﹣3），
5
R （2，﹣1）．
6
答：符合条件的点R共有6个，即：R （﹣2，﹣2），R （﹣2，﹣4），R （﹣2，﹣1），R （﹣
1 2 3 4
2，﹣5），R （0，﹣3）R （2，﹣1）．
5 6
综合运用：二次函数存在性问题
1.如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，
点C为（﹣1，0），过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）在直线x=﹣ 上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，在△BDC和△COA中，
，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C点坐标为（﹣1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点横坐标为﹣3，
∴B点坐标为（﹣3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴BC所在直线的解析式为y=﹣ x﹣ ；
（3）存在．
若以AC为直角边，点C为直角顶点，直线x=﹣ 上有一点P，是CP⊥AC，
1 1
∴点P 为直线BC与直线x=﹣ 的交点，
1
由题意得， ，
解得： ，
∴P（﹣ ，﹣ ）；
1
若以AC为直角边，点A为直角顶点，直线x=﹣ 有一点P，是AP ⊥AC，
2 2
则过点A作AP ∥BC，交直线x=﹣ 于点P，
2 2
∵CD=OA，
∴A（0，2），
则直线AP 的解析式为y=﹣ x+2，
2由题意得， ，
解得： ，
∴P（﹣ ， ）．
2
∴P点坐标分别为：P（﹣ ，﹣ ），P（﹣ ， ）．
1 2
2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，
0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD
的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD
相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，
∴A（1，0），B（4，3），
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，
∴ ，解得： ，
则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，
∴∠APM=∠DPN=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，
∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，
设AP=m，则有DP=4﹣m，
∴PM= m，PN= （4﹣m），
∴S = PM•PN= × m× （4﹣m）=﹣ m2﹣m=﹣ （m﹣2）2+1，
MPN
∴当△ m=2，即AP=2时，S 最大，此时OP=3，即P（3，0）；
MPN
△
（3）存在，
易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），
由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，
当△ABD∽△DAQ时， = ，即 = ，
解得：AQ= ，
由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2= ，
解得：x= ，此时Q（ ，﹣ ）；
当△ABD∽△DQA时， =1，即AQ= ，
∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，
解得：x=2，此时Q（2，﹣3），
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（ ，﹣ ）．
3.如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点 M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否
存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理
由．【解析】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵S =S ，
PBC QBC
△ △
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得： ，
解得： 或 ，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线QQ∥BC，交x轴于点H，则直线QQ 解析式为y=﹣x+1，
2 3 2 3
联立得： ，
解得： 或 ，
∴Q（ ， ），Q（ ， ）；
2 3
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等
腰直角三角形，
设M（x，y），N（x，y），设直线MN解析式为y=﹣x+b，
1 1 2 2
联立得： ，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x﹣x|2=（x+x）2﹣4xx=21﹣4b，
1 2 1 2 1 2
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2= （b﹣3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴42﹣8b= （b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为MN= ，
∴MN=9 或 ．
4.如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与直线y= x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，交x轴正半轴于
点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上任意一点，设点P的横坐标为x．
①若点P在第二象限，过点P作PN⊥x轴于N，交直线AC于点M，求线段PM关于x的函数解析式，
并求出PM的最大值；
②若点P是抛物线上任意一点，连接CP，以CP为边作正方形CPEF，当点E落在抛物线的对称轴上时，
请直接写出此时点P的坐标．【解析】解：（1）当x=0时，y= x+3=3，则C（0，3）；
当y=0时， x+3=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0），
把A（﹣4，0），C（0，3）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+3；
（2）①设P（x，﹣ x2﹣ x+3）（﹣4＜x＜0），则M（x， x+3），
∴PM=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+2）2+
当x=﹣2时，线段PM的长有最大值，最大值为 ；
②作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图，
∵四边形PEFC为正方形，
∴PE=PC，∠EPC=90°
∵∠PGE=∠PKC=90°，
∴∠PEG=∠CPK，
易得△PEG≌△CPK，
∴CK=PG，
设P（x，﹣ x2﹣ x+3），抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣
x2﹣ x+3），
∴PG=|﹣1﹣x|=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|，
∴|x+1|=|﹣ x2﹣ x|，
解方程x+1=﹣ x2﹣ x得x=﹣4，x=﹣ ；
1 2解方程x+1= x2+ x得x=2，x=﹣ ；
1 2
∴P点坐标为（﹣4，0）或（﹣ ， ）或（2，0）或（﹣ ， ）．
