文档文本内容
第 14 讲 不等式及不等式组
知识点1 一元一次不等式的概念
像 ， ， ， ， ， ， 等，用不等号表示
不等关系的式子叫做不等式.
不等式 ， ， ， ，它们都只含有一个未知数，并且未
知数的次数都是1，系数不等于0.像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
【典例】
1.下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6） 是一元一次不等式的有_____个
【答案】3
【解析】解：（1） ，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式；
（2） ，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3） 可化简为 ，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一
次不等式；
（4） ，未知数的次数是2，不是一元一次不等式；
（5） ， 处于分母位置，次数不是1，不是一元一次不等式；
（6）x+2＜0，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式.
【方法总结】
一元一次不等式必须满足的条件：
（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.2.已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m=_____．
【答案】4
【解析】解：根据题意|m|﹣3=1且m+4≠0.
解得m=±4且m≠﹣4.
所以m=4.
【方法总结】
已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且
未知项的系数不等于0，求出字母参数的值.
当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.
【随堂练习】
1．（南岗区校级期中）现有以下数学表达式：①﹣3＜0；② 4x+3y＞0；
③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3．其中不等式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．1个
【解答】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：B．
2．（濉溪县期中）给出下面 5个式子：①3＞0；②4x+3y≠0；③x=3；④x﹣
1；⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①3＞0；②4x+3y≠0；⑤x+2≤3是不等式，
故选：B．
知识点2 不等式的性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的
方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不
等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
【典例】
1.设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③ ＜ ；④b2＞ab，其
中正确的不等式有_____个
【答案】2
【解析】解：a＞b>0.
①根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去b得，a﹣b＞0．故①正确；
②当c<0时，根据不等式的基本性质2，在不等式两边都乘以c得，ac<bc；
当c=0时，ac=bc，故②错误；
③∵a＞b＞0，
∴ab>0.
根据不等式的基本性质2，在不等式两边同时除以ab得， ，即 ．故③正确；
④∵b>0，
根据不等式的基本性质1，在不等式两边都乘以b得，
，即b2＜ab，故④错误．
综上所述，正确的不等式是①③，共2个．
【方法总结】
在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，
需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定不等号是否需要改变.
【随堂练习】
1．（天心区校级期末）已知 ，下列不等式中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 符合题意．
故选： ．2．（海淀区校级期末）若 ，则下列变形正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 不符合题意；
时， 、 无意义，
选项 不符合题意；
，
，
选项 符合题意；
， 时， ，
选项 不符合题意．
故选： ．
3．（东湖区校级期末）若 ，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 符合题意；
，，
选项 不符合题意．
故选： ．
4．（碑林区校级期末）若 ，则下列各式不正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；
，
，
，
选项 符合题意；
，
，
，
选项 不符合题意．
故选： ．
5．（常熟市期末）如果 ，下列不等式中，不一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 不符合题意；
，，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；
，但是 不一定成立，
例如： ， 时， ，
选项 符合题意．
故选： ．
6．（海州区期末）若 ，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；
虽然 ，但是 不一定成立，
例如： ， 时， ，但是 ，
选项 符合题意．
故选： ．7．（南充期末）由 ，可得
A． B．
C． D．
【解答】解： ， 时， ，
选项 不符合题意；
时， 不一定成立，
例如 ， 时， ，
选项 不符合题意；
，
，
选项 符合题意；
，
，
选项 不符合题意．
故选： ．
8．（汉阳区期末）若 ，则下列式子中错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 不符合题意；，
，
选项 不符合题意；
，
，
选项 符合题意．
故选： ．
9．（青羊区期末）若 ，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，故本选项不符合题意；
、当 ， 时， ，故本选项不符合题意；
、当 ， 时，符合 ，但 ，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项符合题意；
故选： ．
10．（玄武区期末）已知 ， 为任意实数，则下列不等式总是成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、两边都加 ，不等号的方向不变，故 不符合题意；
、两边都减 ，不等号的方向不变，故 符合题意；
、 时， ，故 不符合题意；
、 时， ，故 不符合题意；
故选： ．
11．（丹东期末）已知 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、不等式的两边都乘以不为0的数，不等号的方向不变，故 错误；
、不等式的两边都乘以 ，不等号的方向改变，故 错误；、不等式的两边都乘以 ，不等号的方向改变，故 正确；
、不等式的两边都减去2，不等号的方向不改变，故 错误；
故选： ．
知识点3 不等式的解和解集
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的
解集.
【典例】
1下列各数中，不是不等式2（x﹣5）＜x﹣8的解的是______
A.-4 B.-5 C.-3 D.5
【答案】D
【解析】解：A选项，当x=-4时，不等式的左边=2×（-4-5）=-18，右边=-4-8=-12，
左边<右边，x=-4是不等式的解；
B选项，当x=-5时，不等式的左边=2×（-5-5）=-20，右边=-5-8=-13，
左边<右边，x=-5是不等式的解；
C选项，当x=-3时，不等式的左边=2×（-3-5）=-16，右边=-3-8=-11，
左边<右边，x=-3是不等式的解；
D选项，当x=5时，不等式的左边=2×（5-5）=0，右边=5-8=-3，
左边>右边，x=5不是不等式的解.
故选：D．
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否
依然成立.
2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构
成了它的解集.
3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：
x≥a x≤a
a a
x>a x<a
a a
2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】略
【解析】解：（1）
画好数轴，找到表示-5的点，画一个实心圆点（表示包括-5这个点），则-5和它的左侧部
分代表的就是 .
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（2）
画好数轴，找到表示0的点，画一个实心圆点（表示包括0这个点），则0和它右侧的部
分代表的就是 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（3）
画好数轴，找到表示4的点，画一个空心圆圈（表示不包括 4这个点），则4的左侧部分
代表的就是 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（4）
画好数轴，找到表示 的点，画一个空心圆圈（表示不包括 这个点），则 的
右侧部分代表的就是 .-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
【方法总结】
用数轴表示不等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向
右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【随堂练习】
1．（无锡期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的
一个解．同样地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个
解．对于二元一次不等式 ，它的正整数解有
A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个
【解答】解： ，
，
， 是正整数，
，
，即 只能取1，2，3，
当 时， ，
正整数解为： ， ， ，
当 时， ，
正整数解为： ， ，
当 时， ，无正整数解；
综上，它的正整数解有5个，
故选： ．
2．（梅县区期末）不等式 的解集在数轴上表示为
A． B．C． D．
【解答】解：不等式 的解集在数轴上表示为 ，
故选： ．
3．（青羊区期末）如果不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 不等式组 的解集是 ，
，
故选： ．
4．（龙华区期末）下列 的值中，能使不等式 成立的是
A． B．2 C．3 D．
【解答】解：不等式 的解集为： ．
所以能使不等式 成立的是
故选： ．
5．（顺德区期末）不等式 的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【解答】解：由于 ，所以表示 的点应该是实心点，射线的方向应该是向右．
故选： ．
6．（花都区期末）不等式 在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：解集 在数轴上表现为向右不包括端点的射线．
、 、 都不正确．
故选： ．7．（龙岗区期末）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是
A． B． C． D．
【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 ，
故选： ．
8．（利津县期末）若不等式组 无解，则 、 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解： 不等式组 无解，
．
故选： ．
9．（侯马市期末）如图，数轴上所示的解集用不等式表示正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据数轴上表示的解集得： ，
故选： ．
10．（阳东区期末）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足不等式
，且 的取值范围如图所示，则 的值为
A． B．2 C．6 D．
【解答】解：二元一次方程组 中两个方程相减，可得，
又 ，
，
即 ，
又 的取值范围为 ，
，
解得 ，
故选： ．
11．（天台县期末）关于 的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为
A． B． C． D．
【解答】解：关于 的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，
则不等式组解集为 ，
故选： ．
知识点4一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；
2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【典例】
1.（1）解不等式 x+ ＞﹣ ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并写出它的正整数解．
【答案】略
【解析】解：（1）去分母得：14x+15＞﹣x，
移项得：14x+x＞﹣15，
合并同类项得：15x＞﹣15，
系数化为1得：x＞﹣1，
把不等式的解集在数轴上表示如下：．
（2）解：去分母得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5），
去括号得：3x﹣9≥4x﹣10，
移项得：3x﹣4x≥﹣10+9，
合并同类项得：﹣x≥﹣1，
系数化为1得：x≤1，
把不等式的解集在数轴上表示为：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以不等式的正整数解为x=1．
【方法总结】
1.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是，在不等式的两边都乘（或
除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确运用不等式的基本
性质2，特别注意，在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向.
2.求不等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到不等式的整数解.
【随堂练习】
1．（中山市期末）不等式 的解集，在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
，
，
在数轴上表示为： ，
故选： ．
2．（温州模拟）我们知道不等式 的解是 ，现给出另一个不等式
，它的解是
A． B． C． D．【解答】解： 不等式 的解是 ，
不等式 中 ，
解得： ，
故选： ．
3．（郯城县期末）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
将不等式解集表示在数轴上如下：
故选： ．
二．填空题（共7小题）
4．（福田区期末）两个实数 ， ，规定 ，则不等式 的
解集为 ．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
5．（南安市期中）不等式
的解集是 ．
【解答】解： ，
，
故答案为：6．（吴中区期中）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是
．
【解答】解： 不等式 的解集为 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
7．（晋江市一模）方程组 的解满足 ，则 的取值范围是
．
【解答】解：
① ②得： ，
，
方程组 的解满足 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
8．（安徽模拟）已知 是关于 的不等式 的解，则 的取值范围是
．
【解答】解： 是关于 的不等式 的解，
，
解得 ．
故 的取值范围是 ．
故答案为： ．
9．（城关区校级月考）已知关于 的方程 的解为非负数，则 的取值范围是 ．
【解答】解：解方程 得： ，
方程的解为非负数，
，
则 ，
，
，
故答案为： ．
10．（水城县期末）已知方程 的解满足 ，则 的取值范
围为 ．
【解答】解：两方程相减可得 ，
，
，
解得： ，
故答案为 ．
知识点5 一元一次不等式组
求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
【典例】
1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1） ；（2）
【答案】略【解析】解：（1）
解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
在数轴上表示不等式①、②的解集：
-2 -1 0 3 1 2
5
∴不等式的解集为 .
（2）
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得：x＞2，
在数轴上表示不等式①、②的解集：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以不等式组的解集为：x＞2．
【方法总结】
1.解不等式组的方法：先分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，
并找到解集的公共部分作为不等式的解集.
2.取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小解不了”.
解集情况表示如下（假定 ）：2.解不等式组 ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最
小整数解．
【答案】略
【解析】解： ，
由①解得x≤3
由②解得x＞﹣2
不等式组的解集在数轴上表示如图所示
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以，原不等式组的解集为﹣2＜x≤3
不等式组的最小整数解为﹣1．
【随堂练习】
1．（黄陂区期末）已知关于 的不等式组 的解集是 ，则 ， 的值为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是 ，关于 的不等式组 的解集是 ，
解得： ， ，
故选： ．
2．（太原二模）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为： ，
故选： ．
3．（镇江）下列各数轴上表示的 的取值范围可以是不等式组 的解集的
是
A．
B．
C．D．
【解答】解：由 得 ，
．由数轴知 ，则 ， ，解得 ，与数轴不符；
．由数轴知 ，则 ， ，解得 ，与数轴相符合；
．由数轴知 ，则 ， ，解得 ，与数轴不符；
．由数轴知 ，则 ， ，解得 ，与数轴不符；
故选： ．
4．（三亚模拟）不等式组 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选： ．
5．（河南二模）如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：数轴上表示的解集是 ，
、 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组无解，故本选项不符合题意；
、解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是 ，故本选项不符合题意；
、
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是 ，故本选项符合题意；
、
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组无解，故本选项不符合题意；
故选： ．
6．（安徽模拟）不等式组 的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选： ．
7．（唐河县二模）不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，则不等式组的解集为 ，
故选： ．
8．（潮南区一模）不等式组 的解为
A． B． C． D． 或
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解为 ．
故选： ．
9．（顺义区一模）已知点 在第二象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 点
在第二象限，
，
解得： ，
故选： ．
10．（安徽一模）不等式组 的解集是
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选： ．
11．（长丰县二模）不等式组 的解集是
A． B． C． D．
【解答】解：解不等式 ，得： ，解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选： ．
二．解答题（共1小题）
12．（华蓥市期末）解下列方程组与不等式（组
（1）解方程组 ；
（2）解不等式组 ；
（3）解不等式 并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1） ，
② ①，得
，
解得， ，
将 代入①，的
，
故原方程组的解是 ；
（2）
由不等式①，得
，
由不等式②，得
，
故原不等式组得解集是 ；
（3）不等式两边同乘以6，得
去括号，得
移项及合并同类项，得
，
系数化为1，得
，
故原不等式的解集是 ，在数轴上表示如下图所示，
．
综合运用
1.不等式 的解集是_______
【答案】x＜﹣2
【解析】解：﹣ x+1＞2，
﹣ x＞1，
x＜﹣2，
2.在式子：①﹣3＜0；② 4x+3y＞0；③ x=3；④ x2+xy+y2；⑤ x≠5 中是不等式的有
__________．（填序号）
【答案】①②⑤
【解析】解：依据不等式的定义用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，
分析可得这5个式子中，①②⑤是不等式，③是等式，④是代数式；
故答案为①②⑤．
3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
【答案】略
【解析】解：化简不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3，得
-3≤mx2+(n-3)x﹣3.
∵它是关于x的一元一次不等式，
∴m=0，n﹣3≠0．
解得m=0，n≠3．4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
【答案】略
【解析】解：∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴﹣3x＞﹣3y，
∴2﹣3x＞2﹣3y．
5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的
解集是x＞0”？为什么？
【答案】略
【解析】解：不能说不等式x+3＞2的解集是x＞0．
因为根据不等式性质1，由x+3＞2可得x＞﹣1.
∴x＞﹣1为不等式x+3＞2的解集．
6.解不等式 ﹣ ＜1，并把解表示在数轴上．
【答案】略
【解析】解：去分母，得3（t-1）-5（2-t）<15，
去括号，得3t-3-10+5t<15，
移项，得3t+5t<15+3+10，
合并同类项，得8t<28
系数化为1，得t＜ ，
在数轴上表示为：
7.求不等式 的负整数解
【答案】略
【解析】解：去分母，得2x≤6+3（x﹣1），
去括号，得2x≤6+3x﹣3，
移项，得2x﹣3x≤6﹣3，
合并同类项，得﹣x≤3，
系数化为1，得x≥﹣3，
∴不等式的负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．8.解不等式组： ，并在数轴上表示不等式组的解集．
【答案】略
【解析】解： ，
由①得，x≥ ，
由②得x≥﹣1，
把①、②的解集在数轴上表示如下：
∴该不等式组的解集为x≥ ．
9.解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】略
【解析】解：解不等式x﹣1≤2﹣2x，得：x≤1，
解不等式 ＞ ，得：x＞﹣3，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
10.解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】略
【解析】解： ，
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤2，所以不等式组的解集：﹣3＜x≤2，
它的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
