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第 14 讲 不等式及不等式组
知识点1 一元一次不等式的概念
像 ， ， ， ， ， ， 等，用不等号表示
不等关系的式子叫做不等式.
不等式 ， ， ， ，它们都只含有一个未知数，并且未
知数的次数都是1，系数不等于0.像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
【典例】
1.下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6） 是一元一次不等式的有_____个
【答案】3
【解析】解：（1） ，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式；
（2） ，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3） 可化简为 ，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一
次不等式；
（4） ，未知数的次数是2，不是一元一次不等式；
（5） ， 处于分母位置，次数不是1，不是一元一次不等式；
（6）x+2＜0，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式.
【方法总结】
一元一次不等式必须满足的条件：
（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.2.已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m=_____．
【答案】4
【解析】解：根据题意|m|﹣3=1且m+4≠0.
解得m=±4且m≠﹣4.
所以m=4.
【方法总结】
已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且
未知项的系数不等于0，求出字母参数的值.
当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.
【随堂练习】
1．（莲湖区校级月考）下列给出四个式子，① x＞2；② a≠0；③ 5＜3；
④a≥b，其中是不等式的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：①x＞2；②a≠0；③5＜3，④a≥b，是不等式，
故选：D．
2．（未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④ y
﹣4＜1；⑤2m≥n；⑥2x﹣3，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④ y﹣4＜1；⑤2m≥n是不等式，
故选：C．
知识点2 不等式的性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的
方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不
等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
【典例】
1.设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③ ＜ ；④b2＞ab，其
中正确的不等式有_____个
【答案】2
【解析】解：a＞b>0.①根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去b得，
a﹣b＞0．故①正确；
②当c<0时，根据不等式的基本性质2，在不等式两边都乘以c得，ac<bc；
当c=0时，ac=bc，故②错误；
③∵a＞b＞0，
∴ab>0.
根据不等式的基本性质2，在不等式两边同时除以ab得， ，即 ．故③正确；
④∵b>0，
根据不等式的基本性质1，在不等式两边都乘以b得，
，即b2＜ab，故④错误．
综上所述，正确的不等式是①③，共2个．
【方法总结】
在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，
需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定不等号是否需要改变.
【随堂练习】
1．（雅安期末）若 ，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
故选： ．
2．（通州区期末）已知 ，则在下列选项中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、当 ， 时，符合 ，但 ，故本选项不符合题意；
、当 ， 时，符合 ，但 ，故本选项不符合题意；、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项符合题意；
故选： ．
3．（新华区期末）已知 ，下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，故本选项不符合题意；
、当 ， 时，符合 ，但是 ，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项符合题意；
、当 ， 时，符合 ，但是 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
4．（荔湾区期末）已知 ，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、在不等式 的两边同时减去8，不等式仍成立，即 ，故本
选项错误．
、在不等式 的两边同时乘以 ，不等号方向改变，即 ，故本选项错误．
、在不等式 的两边同时除以，不等式仍成立，即 ，故本选项错误．
、在不等式 的两边同时乘以 再加1，不等号方向改变，即 ，故本
选项正确．
故选： ．
5．（桥西区期末）若 ，则下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据不等式的性质， 答案是不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，所
以 选项正确；
答案是不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，所以 选项错误；
答案是不等式两边同时加1，不等号方向不变，所以 选项错误；答案是不等式两边同时减 ，不等号方向不变，所以 选项错误；
故选： ．
6．（西城区期末）若 ，则下列结论不正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项符合题意；
故选： ．
7．（东西湖区期末）若 ，则下列不等式变形错误的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
故选： ．
8．（安庆期末）若 ，则下列不等式中一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：若 ，则 ， ，而 ， 不一定成立；
故选： ．知识点3 不等式的解和解集
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的
解集.
【典例】
1下列各数中，不是不等式2（x﹣5）＜x﹣8的解的是______
A.-4 B.-5 C.-3 D.5
【答案】D
【解析】解：A选项，当x=-4时，不等式的左边=2×（-4-5）=-18，右边=-4-8=-12，
左边<右边，x=-4是不等式的解；
B选项，当x=-5时，不等式的左边=2×（-5-5）=-20，右边=-5-8=-13，
左边<右边，x=-5是不等式的解；
C选项，当x=-3时，不等式的左边=2×（-3-5）=-16，右边=-3-8=-11，
左边<右边，x=-3是不等式的解；
D选项，当x=5时，不等式的左边=2×（5-5）=0，右边=5-8=-3，
左边>右边，x=5不是不等式的解.
故选：D．
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否
依然成立.
2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构
成了它的解集.
3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：
x≥a x≤a
a a
x>a x<a
a a
2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） .
【答案】略
【解析】解：（1）
画好数轴，找到表示-5的点，画一个实心圆点（表示包括-5这个点），则-5和它的左侧部
分代表的就是 .
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（2）
画好数轴，找到表示0的点，画一个实心圆点（表示包括0这个点），则0和它右侧的部
分代表的就是 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（3）
画好数轴，找到表示4的点，画一个空心圆圈（表示不包括 4这个点），则4的左侧部分
代表的就是 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（4）
画好数轴，找到表示 的点，画一个空心圆圈（表示不包括 这个点），则 的
右侧部分代表的就是 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
【方法总结】用数轴表示不等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向
右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【随堂练习】
1．（西城区期末）不等式组 的解集是
A． B． C． D．
【解答】解：不等式组 的解集是 ．
故选： ．
2．（黄陂区期末）如图是一个关于 的不等式组的解集，则该不等式组是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ．
故选： ．
3．（宝安区期末）下列各数中，能使不等式 成立的是
A．6 B．5 C．4 D．2
【解答】解：解不等式 ，
得 ．
故选： ．
4．（封开县期末）用不等式表示图中的解集，其中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示 的点是空心圆点
故选： ．5．（海港区期末）已知不等式组 无解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 不等式组 无解，
．
故选： ．
6．（阳谷县期中）下列不等式的解集在数轴上表示错误的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、由数轴，得 ，故本选项不符合题意．
、由数轴，得 ，故本选项不符合题意．
、由数轴，得 ，故本选项不符合题意．
、由数轴，得 ，故本选项符合题意．
故选： ．
7．（南海区期末）若不等式组的解集为 ，则图中表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 不等式组解集为 ，
在数轴上表示为： ，
故选： ．
8．（大冶市期末）一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集
为A． B． C． D．
【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是 ，
故选： ．
9．（福田区期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式组 的解集是 ，
在数轴上表示为： ，
故选： ．
知识点4一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；
2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【典例】
1.（1）解不等式 x+ ＞﹣ ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并写出它的正整数解．
【答案】略
【解析】解：（1）去分母得：14x+15＞﹣x，
移项得：14x+x＞﹣15，
合并同类项得：15x＞﹣15，
系数化为1得：x＞﹣1，
把不等式的解集在数轴上表示如下：
．
（2）解：去分母得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5），
去括号得：3x﹣9≥4x﹣10，移项得：3x﹣4x≥﹣10+9，
合并同类项得：﹣x≥﹣1，
系数化为1得：x≤1，
把不等式的解集在数轴上表示为：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以不等式的正整数解为x=1．
【方法总结】
1.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是，在不等式的两边都乘（或
除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确运用不等式的基本
性质2，特别注意，在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向.
2.求不等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到不等式的整数解.
【随堂练习】
1．（北流市期末）若关于 ， 的二元一次方程组， 的解满足 ，则
的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：将两个方程相加即可得 ，
则 ，
，
，
解得： ，
故选： ．
2．（泉州期末）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，解得： ，
在数轴上表示为：
故选： ．
3．（内黄县期末）关于 ， 的二元一次方程组 的解满是 ，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
① ②得： ，即 ，
，
，
，
．
故选： ．
4．（古冶区期末）关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：移项，得： ，
即 ，
根据题意得： ，
解得： ．
故选： ．
5．（海珠区期末）关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围在数
轴上表示正确的是A． B．
C． D．
【解答】解： 关于 的不等式 的解集是 ，
，
解得： ，
在数轴上表示为 ，
故选： ．
6．（滦州市期末）如图是小芳同学解不等式 的过程，其中错误步骤共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由题意知，原解题过程中去分母、去括号和系数化为1这3步出现错误，
故选： ．
7．（岳池县期末）已知关于 、 的二元一次方程组 ，给出下列说法：
①若 与 互为相反数，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 的最大
整数值为4．其中正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解： ，
① ②得： ，即 ，
若 与 互为相反数，则 ，
解得： ，故①正确；② ①得： ，
若 ，则 ，
解得： ，故②正确；
若 ，则 ，
解得 ，
的最大整数值为3，故③错误，
所以，正确的有①②2个，
故选： ．
8．（商南县期末）关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：根据图示知，原不等式的解集是： ；
又 ，
，
，
解得， ；
故选： ．
知识点5 一元一次不等式组
求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
【典例】
1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1） ；（2）
【答案】略【解析】解：（1）
解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
在数轴上表示不等式①、②的解集：
-2 -1 0 3 1 2
5
∴不等式的解集为 .
（2）
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得：x＞2，
在数轴上表示不等式①、②的解集：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以不等式组的解集为：x＞2．
【方法总结】
1.解不等式组的方法：先分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，
并找到解集的公共部分作为不等式的解集.
2.取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小解不了”.
解集情况表示如下（假定 ）：2.解不等式组 ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最
小整数解．
【答案】略
【解析】解： ，
由①解得x≤3
由②解得x＞﹣2
不等式组的解集在数轴上表示如图所示
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以，原不等式组的解集为﹣2＜x≤3
不等式组的最小整数解为﹣1．
【随堂练习】
1．（天心区校级期末）解下列不等式（组
（1） ．
（2） ．
【解答】解：（1）移项： ，
合并得： ，
解得 ；
（2）解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
原不等式组的解集为 ．
2．（东湖区校级期末）解不等式（组 ，并将它的解集在数轴上表示出来．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）去分母，得 ，
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 ，
不等式的解集在数轴上的表示如下：
（2）解：
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集为 ，
不等式组的解集在数轴上的表示如下：
3．（开福区校级期末）解不等式：
（1）
（2）解不等式组：
【解答】解：（1） ，，
，
；
（2）解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
4．（南关区校级期末）解下列不等式（组 ；
（1） ；
（2） ；
【解答】解：（1） ，
，
，
；
（2）解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
5．（鼓楼区校级期末）解不等式（组 ，并把解集表示在数轴上．
（1）
（2）
【解答】解：（1） ，
，
，
，
将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
6．（海淀区校级模拟）解不等式
【解答】解：解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 ．
7．（岳麓区校级三模）解不等式组： 将不等式组的解集在数轴上表示出
来．
【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
．
8．（广饶县期末）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解： 解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为：
把不等式组的解集在数轴上表示出来为： ．
综合运用
1.不等式 的解集是_______
【答案】x＜﹣2
【解析】解：﹣ x+1＞2，
﹣ x＞1，
x＜﹣2，
2.在式子：①﹣3＜0；② 4x+3y＞0；③ x=3；④ x2+xy+y2；⑤ x≠5 中是不等式的有
__________．（填序号）
【答案】①②⑤
【解析】解：依据不等式的定义用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，
分析可得这5个式子中，①②⑤是不等式，③是等式，④是代数式；
故答案为①②⑤．
3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
【答案】略
【解析】解：化简不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3，得
-3≤mx2+(n-3)x﹣3.
∵它是关于x的一元一次不等式，
∴m=0，n﹣3≠0．
解得m=0，n≠3．
4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
【答案】略
【解析】解：∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，
∴﹣3x＞﹣3y，
∴2﹣3x＞2﹣3y．
5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的
解集是x＞0”？为什么？
【答案】略
【解析】解：不能说不等式x+3＞2的解集是x＞0．
因为根据不等式性质1，由x+3＞2可得x＞﹣1.
∴x＞﹣1为不等式x+3＞2的解集．
6.解不等式 ﹣ ＜1，并把解表示在数轴上．
【答案】略
【解析】解：去分母，得3（t-1）-5（2-t）<15，
去括号，得3t-3-10+5t<15，
移项，得3t+5t<15+3+10，
合并同类项，得8t<28
系数化为1，得t＜ ，
在数轴上表示为：
7.求不等式 的负整数解
【答案】略
【解析】解：去分母，得2x≤6+3（x﹣1），
去括号，得2x≤6+3x﹣3，
移项，得2x﹣3x≤6﹣3，
合并同类项，得﹣x≤3，
系数化为1，得x≥﹣3，
∴不等式的负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
8.解不等式组： ，并在数轴上表示不等式组的解集．
【答案】略【解析】解： ，
由①得，x≥ ，
由②得x≥﹣1，
把①、②的解集在数轴上表示如下：
∴该不等式组的解集为x≥ ．
9.解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】略
【解析】解：解不等式x﹣1≤2﹣2x，得：x≤1，
解不等式 ＞ ，得：x＞﹣3，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
10.解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】略
【解析】解： ，
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤2，
所以不等式组的解集：﹣3＜x≤2，
它的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
