文档文本内容
2.6 一元一次不等式组
课堂知识梳理
1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次
不等式组.
2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等
式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
3. 解一元一次不等式组的步骤:
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)
一元一次不 解
图示 叙述语言表达
等式 集
{x>a
x>b 两大取较大
x>b a b
{x<a
x>a 两小取小
x<b a b
{x>a
a<x<b 大小交叉中间找
x<b a b
{x<a 在大小分离没有解
无解
x>b a b (是空集)
几个公式：售价=标价*折数 利润=售价-进价=进价*利润率
利润率=利润/进价=售价-进价/进价
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不符合题意；
C、含有两个未知数，不符合题意；
D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
1故选：D．
2．（2023秋·湖南娄底·八年级统考期末）不等式组¿的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：¿，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x≤−5，
把不等式①和②的解集在数轴上表示为
．
故选：D
3．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于x的不等式组¿恰有二个整数解，则a的
取值范围为（ ）
A．−1<a≤0 B．0≤a<1 C．0≤a≤1 D．0<a≤1
【答案】B
【详解】解：解不等式x−a>0，得：x>a，
解不等式−3+2x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为a<x≤2，
∵不等式组恰有2个整数解，
∴不等式组的整数解为1、2，
∴0≤a<1，
故选：B．
4．
如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他
人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65
公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列
2哪一个不等式表示（ ）
A．370＜x≤415 B．370＜x≤435 C．370＜x≤480 D．415＜x≤435
【答案】B
【详解】解：依题意得：¿，
解得：370＜x≤435．
故选：B．
5．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商
品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种
商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】C
【详解】解：设购买甲商品x件，则购买乙商品(2x−4)件，
依题意得：¿．
故选：C．
6．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）不等式组¿的解集为______．
【答案】2≤x<4
【详解】解：¿，
解不等式①得：x<4，
解不等式②得：x≥2，
∴不等式组的解集为2≤x<4．
故答案为：2≤x<4
7．如果关于x的不等式组¿无解，那么m的取值范围是___________；
【答案】m≤1##1≥m
【详解】解：∵ｘ的不等式组¿无解，
∴m+1≤3−m，
解得：m≤1，
故答案为：m≤1．
8．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）已知一次函数y=(m−4)x+2m+1的图象不经
过第三象限，则m的取值范围是___________．
1
【答案】− ≤m<4
2
【详解】解：∵一次函数y=(m−4)x+2m+1的图象不经过第三象限，
∴¿，
1
解得− ≤m<4．
2
31
故答案为：− ≤m<4．
2
9．（湖南省常德市联盟校2022-2023学年八年级上学期数学期末测试）关于x的不等式组
¿有且只有三个整数解，求a的最大值是____________．
【答案】5
【详解】解：¿，
解①得x>1，
解②得，x<a，
依题意得不等式组的解集为1<x<a，
又∵此不等式组有且只有三个整数解，整数解只能是x=2，3，4，
∴4<a≤5，
∴a的最大值为5，
故答案为：5．
10．（湖南省常德市联盟校2022-2023学年八年级上学期数学期末测试）解不等式组¿，并
将解集在数轴上表示出来．
【答案】原不等式组解集为−2<x≤3，数轴见解析
【详解】解：¿，
解：解不等式①，得x>−2．
解不等式②，得x≤3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为−2<x≤3．
11．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）解不等式组¿，并把不等式
组的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解是−2≤x<1，解集在数轴上表示见详解
【详解】解：¿，
由x−2(x−1)≤4得，x≥−2．
1+x
由 <2−x得，x＜1．
2
解集在数轴上表示，如图所示，
综合以上得，不等式组的解是−2≤x<1．
412．解不等式组¿，并写出不等式组的最大整数解．
【答案】不等式组的解集为−1<x≤3，不等式组的最大整数解是3
【详解】解：¿
∵解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为−1<x≤3，
∴不等式组的最大整数解是3．
13．（2023秋·湖南湘潭·八年级统考期末）求不等式组¿的正整数解．
【答案】正整数解：1，2，3，4，5
【详解】解：¿
由①可得：x>−2，
由②可得：x≤5，
∴原不等式组的解集为−2<x≤5；
∴该不等式组的正整数解为1，2，3，4，5．
14．（2022秋·湖南长沙·九年级校考期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活
力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买
《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列
佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的
总价不超过1600元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少
元？
【答案】(1)每本《艾青诗选》要35元，每本《格列佛游记》要30元
(2)共有四种购买方案，购买《艾青诗选》17本，《格列佛游记》33本的费用最低，为
1585元
【详解】（1）解：设每本《艾青诗选》要x元，每本《格列佛游记》要y元，
¿，
∴¿，
∴每本《艾青诗选》要35元，每本《格列佛游记》要30元．
（2）设购买《艾青诗选》m本，
¿，
∴¿，
∵m是整数，
∴m=17,18,19,20，
∴共有四种购买方案：①《艾青诗选》17本，《格列佛游记》33本；
②《艾青诗选》18本，《格列佛游记》32本；
③《艾青诗选》19本，《格列佛游记》31本；
5④《艾青诗选》20本，《格列佛游记》30本；
方案①费用为17×35+33×30=1585（元）；
方案②费用为18×35+32×30=1590（元）
方案③费用为19×35+31×30=1595（元）；
方案④费用为20×35+30×30=1600（元）；
由上可知，共有四种购买方案，购买《艾青诗选》17本，《格列佛游记》33本的费用最低，
为1585元．
培优第二阶——拓展培优练
15．（2021·浙江·九年级自主招生）已知不等式组¿，如果这个不等式组有解，则a的取值
范围为（ ）
A．a≠0 B．a<2 C．a<0 D．0<a<2或a<0
【答案】A
【详解】解：¿
解|x|>1得：x>1或x<−1
解2a−1<x<a+1得：2a−1<x<a+1
如果不等式有解，则¿
解得¿
即：a≠0
故选A
16．（2021·浙江·九年级自主招生）已知关于x的不等式组¿恰好有4个整数解，则a的取
值范围是（ ）
A．a>1 B．−1<a<1 C．−1≤a<1 D．−1<a≤1
【答案】D
【详解】解：¿，
−a−3
解不等式①得：x> ，
2
8
解不等式②得：x< ，
3
−a−3 8
∴不等式组的解集为 <x<
2 3
∵不等式组恰好有4个整数解，
−a−3
∴−2≤ <−1，
2
解得：−1<a≤1．
6故选：D
17．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）已知关于x的不等式组¿的解集是
−1<x<2，则a+b=______．
【答案】±√13
【详解】解：¿
1+a−b
解不等式①得，x< ，
2
解不等式②，x>ab−2，
∵不等式组¿的解集是−1<x<2，
∴¿，
∴a−b=3,ab=1，
∴(a+b) 2=(a−b) 2+4ab=32+4×1=13，
∴a+b=±√13，
故答案为：±√13
18．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）我们把a、b、c三个数的中位数记作Z|a,b,c|，
1
直线y=kx+ 与函数y=Z|2x−2,x+1,−x+1|的图象有且只有2个交点，则k的值为
2
______．
7 1
【答案】 或− 或1
6 2
【详解】解：当2x−2≤x+1≤−x+1时，
解得：x≤0，
当2x−2≤−x+1≤x+1时，
解得：0≤x≤1，
当−x+1≤2x−2≤x+1时，
解得：1≤x≤3，
当−x+1≤x+1≤2x−2时，
解得：x≥3，
∴y=Z|2x−2,x+1,−x+1|=¿
∴函数y=Z|2x−2,x+1,−x+1|的图象如图所示：
71
∵y=kx+ 与函数y=Z|2x−2,x+1,−x+1|的图象有且只有2个交点，
2
1 1 7
当直线y=kx+ 经过点(3,4)时，则4=3k+ ， 解得k= ，
2 2 6
1 1
当直线y=kx+ 经过点(1,0)时，k=− ，
2 2
当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=Z|2x−2,x+1,−x+1|的图象也有且仅有两个交
点；
1
∴直线y=kx+ 与函数y=Z|2x−2,x+1,−x+1|的图象有且只有2个交点，
2
7 1
则k的取值为 或− 或1．
6 2
7 1
故答案为： 或− 或1．
6 2
19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）对于任意实数p、q，定义一种运算
p※q=p−q+pq−2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：
4※5=4−5+4×5−2=17，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组¿有3个整
数解，则m的取值范围是______．
5 1
【答案】− <m≤−
2 2
【详解】解：∵¿，
∴¿，
解不等式①，得x<4，
2m+5
解不等式②，得x≥ ，
4
2m+5
∴不等式组的解集为 ≤x<4，
4
∵不等式组有3个整数解，
2m+5
∴0< ≤1，
4
85 1
解得− <m≤− ，
2 2
5 1
故答案为：− <m≤− ．
2 2
20．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）解不等式组：¿，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】−4≤x<−1，数轴见解析
【详解】解：由5x−1<3(x−1)得：5x−1<3x−3，
解得x<−1，
2x x−2 1
由 − ≥ 得：4x−3x+6≥2，
3 2 3
解得x≥−4，
故原不等式组的解集为−4≤x<−1，
把解集在数轴上表示出来，如下图：
21．已知方程组¿的解x、y都小于1．
(1)求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，当a为何整数时，关于x的不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1．
5
【答案】(1)− <a<6
2
(2)在（1）的条件下，当a为−2时，关于x的不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1．
【详解】（1）解：由¿解得：¿
5
由题意得¿解得：− <a<6
2
（2）解：∵不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1，
5
∴2a+3<0且− <a<6，
2
5 3
∴− <a<−
2 2
∵ a为整数
∴a=−2
∴在（1）的条件下，当a为−2时，关于x的不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1．
22．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图甲所示的A型（1×1）正方形板材和B型
（3×1）长方形板材，可用于制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．已知板材每平
方米20元．
9(1)若用2860元的资金去购买A、B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式
箱子多少只？
(2)若有A型板材67张、B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40只．问有
哪几种制作方案？
【答案】(1)11
(2)3种方案，①制作竖式箱子13只，横式箱子27只；②制作竖式箱子14只，横式箱子26
只；③制作竖式箱子15只，横式箱子25只
【详解】（1）解∶∵板材每平方米20元，
∴A型板材每张20元，B型板材每张20×3=60（元），
设购买A型板材x张，购买B型板材y张，则可制作竖式无盖箱子x只，
由题意得：
¿，
解得：¿，
答：可以制作竖式箱子11只；
（2）解：设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，
则a+b=40，
由题意得：¿，
解得：13≤a≤15，
∵a为正整数，
∴a=13或a=14或a=15，则b=27或a=26或a=25，∴有3种制作方案：
①制作竖式箱子13只，横式箱子27只；
②制作竖式箱子14只，横式箱子26只；
③制作竖式箱子15只，横式箱子25只．
23．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的
解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，如：方程x−1=0就是不等式组¿
的“关联方程”．
(1)方程①3x+2=0，②x−(3x−1)=−4是不等式是¿的关联方程的是
___________________．
(2)若关于x的方程2x+k=1（k为整数）是不等式组¿的一个关联方程，求整数k的值．
( 5)
(3)若方程9−x=2x，9+x=2 x+ 都是关于x的不等式组¿的关联方程，求m的取值范
2
围．
10【答案】(1)②；(2)−1，0；(3)2≤m<3
2
【详解】（1）解：解方程3x+2=0得：x=− ，
3
5
解方程x−(3x−1)=−4得：x= ，
2
3 7
解不等式组¿得： <x< ，
4 2
所以不等式组¿的关联方程是②；
1−k
（2）解方程2x+k=1(k为整数）得：x=
2
1 3
解不等式组¿得： ≤x< ，
4 2
∵关于x的方程2x+k=1(k为整数）是不等式组¿的一个关联方程，
1 1−k 3
∴ ≤ < ，
4 2 2
1
解得−2<k≤
2
∴整数k=−1，0；
（3）解方程9−x=2x得：x=3，
( 5)
解方程9+x=2 x+ 得：x=4，
2
解不等式组¿得：m<x≤2+m，
( 5)
∵方程9−x=2x，9+x=2 x+ 都是关于x的不等式组¿的关联方程，
2
∴2≤m<3，
即m的取值范围是2≤m<3．
培优第三阶——中考沙场点兵
24．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）不等式组¿的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11【答案】A
【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
25．（2022·浙江衢州·统考中考真题）不等式组¿的解集是（ ）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
【答案】D
【详解】解：解不等式3x−2<2(x+1)，解得x<4，
x−1
解不等式 >1，解得x>3，
2
∴不等数组的解集为3<x<4．
故选：D．
26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．
1
则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程 x−1=0是关于x的不等
3
式组¿的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
【答案】1≤n<3
1
【详解】解：解方程 x−1=0得x=3，
3
∵x=3为不等式组¿的解，
∴¿，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）解不等式组：¿，并写出它的正整数解．
【答案】−1≤x<4，不等式组的正整数解为：1，2，3
【详解】解：解不等式2(x−1)≥−4得x≥−1．
3x−6
解不等式 <x−1得x<4，
2
∴不等式组的解集为：−1≤x<4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
28．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一
个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
4 2
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③ x+3≥1﹣ x．
3 3
【答案】见解析
12【详解】解：（1）若选择①、②：
¿ ，
解不等式①得：x＜4，
5
解不等式②得：x＞ ，
2
5
∴不等式组的解集： ＜x＜4，
2
把解集表示在数轴上如下：
（2）若选择①、③：
¿ ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（3）若选择②、③：
¿ ，
5
解不等式①得：x＞ ，
2
解不等式②得：x≥﹣1，
5
∴不等式组的解集是x＞ ，
2
把解集表示在数轴上如下：
1329．（2022·山东济南·统考中考真题）解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
【答案】1≤x<3，整数解为1，2
【详解】解不等式①，得x<3，
解不等式②，得x≥1，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是1≤x<3，
∴整数解为1，2．
30．（2022·湖北荆门·统考中考真题）已知关于x的不等式组¿（a＞﹣1）．
1
(1)当a＝ 时，解此不等式组；
2
(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
【答案】(1)﹣2＜x＜4；(2)0＜a≤1
【详解】
1
（1）解：当a＝ 时，不等式组化为：¿，解得：−2＜x＜4；
2
（2）解不等式组得：−2a−1＜x＜2a＋3，令b＝−2a−1，b＝2a＋3，
1 2
函数图象如图所示，当a＝0时，b＝3，b＝－1，
1 2
此时为有1个奇数解和3个奇数解的临界情况，当a＝1时，b＝－3，b＝5，此时为有3
1 2
个奇数解和5个奇数解的临界情况，∵−2a−1＜x＜2a＋3，且不等式组的解集中恰含三个
奇数，∴0＜a≤1．
31．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，
现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出
价：
14(1)根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
(2)钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20
元，求有哪几种购买方案．
【答案】(1)钢钢出售的竹篮为5个，陶罐为3个
(2)共有四种购买方案：①购买9束鲜花；②购买10束鲜花；③购买11束鲜花；④购买12
束鲜花
【详解】（1）解：设钢钢出售的竹篮为x个，陶罐为y个，
由题意得：¿，
解得¿，
答：钢钢出售的竹篮为5个，陶罐为3个．
（2）解：设钢钢购买了m束鲜花，
由题意得：¿，
解得8.2≤m≤12.2，
因为m为正整数，
所以共有四种购买方案：①购买9束鲜花；②购买10束鲜花；③购买11束鲜花；④购买
12束鲜花．
32．（2022·内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种
纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，
需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪
念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商
店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的
15各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【详解】（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得¿ 解得¿
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100 y=10000
1
变形得y=100− x
2
由题意得：¿
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）设总利润为W元
则W =20x+30 y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
16
