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第 15 讲 含参不等式
基本原理：1.等式的基本性质
2.非数轴法取不等式组的解集： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大
大小小解不了”.
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.
2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.
【典例】
1.（1）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.
（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜ ，试求关于x的不等式mx
＞n的解集．
【答案】略
【解析】解：（1） ≤﹣2，
去分母，得m﹣2x≤﹣6，
移项，得﹣2x≤﹣m﹣6，
系数化为1，得x≥ m+3，
∵关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，
∴ m+3=4，
解得m=2．
（2）（2m﹣n）x+m﹣5n＞0
移项，得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜ ，
∴不等号的方向发生了变化，
∴2m﹣n＜0，且x＜ ，
∴ = ，
交叉相乘，得7（5n-m）=10（2m-n）
整理，得n= m，
把n= m代入2m﹣n＜0得，
2m﹣ m＜0，解得m＜0，
∵mx＞n，
∴mx＞ m，
∴x＜ ．
∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜ ．
【方法总结】
已知一个含参不等式的解集，求参数的值它的一般解题步骤如下：
第一，先解这个不等式，在系数化为1时，需要根据给出的解集判断不等号的方向是否发
生改变，以此来确定参数的正负.
第二，根据已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程求出参数的值.
若题目给出的参数超过一个，而要求新的含参不等式的解集时，步骤一相同，步骤二根据
已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程得到参数之间的关系，进而
求解新的不等式.
2.若不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：由 ，得 ，
不等式组可转化为 .∵不等式组 的解集为 ，
∴根据“同大取大”可知， ．
考虑边界情况，当 时，不等式组为 ，符合题意.
∴ .
故答案为m≤4．
【方法总结】
已知一元一次不等式组的解集，求参数的取值范围，可借助“同大取大，同小取小，大小
小大中间找，大大小小解不了”的原则，得出字母参数的范围，对于边界处取值是否可取
只需把边界值代入，看是否符合题意即可.
【随堂练习】
1．（上城区期末）若关于 x的不等式组 无解，则m的取值范围（
）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3D．m≥3
【解答】解： ，
由①得：x＞2+m，
由②得：x＜2m﹣1，
∵不等式组无解，
∴2+m≥2m﹣1，
∴m≤3，
故选：C．2．（鄂州一模）若关于x的不等式组 有实数解，则a的取值范围是
（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
【解答】解：解不等式2x＞3x﹣3，得：x＜3，
解不等式3x﹣a＞5，得：x＞ ，
∵不等式组有实数解，
∴ ＜3，
解得：a＜4，
故选：A．
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围；
2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；
【典例】
【题干】若关于x的不等式组 有解，且关于x的方程
有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和是多少？
【答案】略
【解析】解： ，
解不等式①得： ，
解②得： ，
∵不等式组有解，∴不等式组的解集为： ，
且 ，
解得 .
解关于x的方程 得，
，
∵关于x的方程 有非负整数解，
∴ 时符合题意
∴
∴符合条件的整数k的和为：﹣4+（﹣3）+（﹣2）=﹣9；
【方法小结】
当给出的一元一次不等式组“有解、无解或有整数解…”时，可利用不等式组解集的取值
技巧或者借助数轴，判断出字母参数的取值范围，需要考虑边界情况，再根据求得的字母
参数的取值范围，求解其它相关问题.
【随堂练习】
1．（呼和浩特一模）已知关于 x的不等式组 有解，求实数a的
取值范围，并写出该不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣a≥0，得：x≥ ，
解不等式 （x﹣2）＞3x+4，得：x＜﹣2，
由题意得： ＜﹣2，
解得：a＜﹣6，
∴不等式组的解集为 ≤x＜﹣2．知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.
2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.
【典例】
1.若关于x的不等式组 有四个整数解，求a的取值范围．
【答案】略
【解析】解：
由不等式①，得2x﹣3x＜﹣9+1，
解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，
解得x＜2﹣4a，
∴不等式的解集为8＜x＜2﹣4a.
∵不等式组有四个整数解，观察数轴可知，
四个整数解分别是9，10，11，12，
∴先初步判定2-4a肯定在12和13之间，即12＜2﹣4a<13，
考虑边界值：
当2-4a=12时，不等式的解集变为8＜x＜12，只有三个整数解，不符合题意；
当2-4a=13时，不等式的解集变为8＜x＜13，恰有四个整数解；
∴12＜2﹣4a≤13
解得﹣ ≤a＜﹣ ．
【方法小结】
一元一次不等式组的整数解问题的一般解题思路：
第一，先解含参不等式组，求出它的解集（解集中含参数）；
第二，借助数轴，根据已知的整数解的个数或整数解之间的关系，初步判断出解集中含参
的那一部分在哪两个相邻的整数之间，写出此时的范围；
第三，判断边界值，分别令含参部分等于两个边界值，写出此时的解集，判断是否符合给
定的已知条件，进而求解出参数的取值范围.
【随堂练习】1．（叶县期中）若关于 x的不等式组 恰有三个整数解，试
求实数a的取值范围．
【解答】解：由 + ＞0得x＞﹣ ；
由3x+2a＞4（x+1）﹣4，得x＜2a，
∴不等式组的解集为﹣ ＜x＜2a．
∵关于x的不等式组 恰有三个整数解，
∴2＜2a≤3，
解得1＜a≤ ．
2．（矿区期末）已知关于 x的不等式组 有三个整数解，求实数
a的取值范围．
【解答】解：
∵解不等式①，得x＞﹣ ，
解不等式②，得x≤4+a，
∴原不等式组的解集为﹣ ＜x≤4+a，
∵原不等式组有三个整数解：﹣2，﹣1，0，∴0≤4+a＜1，
∴﹣4≤a＜﹣3．
知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围
基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.
【典例】
1.（1）已知关于 的二元一次方程组 的解满足条件 ，求 的
取值范围．
（2）已知关于 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围.
【答案】略
解：（1）
【解析】
①-②得， ，
①×3得， ④，
②+④得， ，
∵ ，
∴ ，
解得 .
（2） ，
①+②得 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
【方法总结】
已知一个含参二元一次方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围，只需要先解方程
组，求出它的解（含参），再把求得的解代入已知不等式中，得到关于参数的不等式，求
解不等式即可得到参数的取值范围.
注：对于有些特殊的待求不等式，可以不解方程组，只需把方程组的两个式子作适当的变
形，比如相加、相减等，题中的（2）便是利用的此种方法.
【随堂练习】
1．（西城区校级期中）若二元一次方程组 的解x≤y，求k的取值范围．
【解答】解：解方程组 得： ，
由x≤y得 ≤ ，
解得：k≤﹣ ．
2．（诸城市校级月考）已知关于x，y的方程组 的解满足x＞y，求
p的取值范围．
【解答】解： ，
①×3得，9x+6y=3p+3③，
②×2得，8x+6y=2p﹣2④，③﹣④得，x=p+5，
把x=p+5代入①得，3p+15+2y=p+1，
解得y=﹣p﹣7，
所以，方程组的解是 ，
∵x＞y，
∴p+5＞﹣p﹣7，
解得p＞﹣6，
即p的取值范围是p＞﹣6．
3．（德惠市期末）已知关于x的方程2x+4=m﹣x的解为负数，求m的取值范
围．
【解答】解：解关于x的方程2x+4=m﹣x，得x= ，
∵方程的解为负数，
∴ ＜0，解得m＜4，
∴m的取值范围是m＜4．
4．（单县期末）已知关于x的方程 ﹣ =m的解为非负数，求m的取值
范围．
【解答】解：2（5x+m）﹣3（x﹣1）=6m，
10x+2m﹣3x+3=6m，7x=4m﹣3，
∴ ．
∵原方程的解为非负数，
∴ ，
∴ ，
∴m的取值范围是 ．
【综合练习】
1.不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：∵ 的解集是3＜x＜a+2，
∴根据“同大取大，同小取小”，得
，
解得a≤3．
又3＜a+2，
故a>1，
综上 ．
2.已知关于 的不等式 的解集是 ，试求 的解集．
【答案】略
【解析】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ ，即 ，解不等式，得 .
∴ .
交叉相乘，得 ，
整理得 .
把 代入 中，得
.
∴ 的解集为 ．
即 .
3.已知关于x的不等式 ≤ 的解集是x≥ ，求m的值．
【答案】略
【解析】解：原不等式可化为：4m+2x≤12mx﹣3，
即（12m﹣2）x≥4m+3，
又因原不等式的解为x≥ ，
则12m﹣2＞0，m＞ ，
不等式的解集为x≥ .
即： = ，
即24m+18=12m﹣2，
解得：m=﹣ ，不满足m＞ ，应舍去．
故符合题意的m值不存在．
4.已知关于x的不等式组 恰有两个整数解，求a的取值范围．
【答案】略【解析】解： ，
解不等式①得：x＞﹣ ，
解不等式②得：x＜﹣2a．
则不等式组的解集是：﹣ ＜x＜﹣2a．
不等式组只有两个整数解，是0和1，
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9
观察数轴可知，﹣2a在1和2之间，即1<﹣2a<2．
考虑边界值：
当-2a=1时，不等式的解集变为﹣ ＜x＜1，有一个整数解，不符合题意；
当-2a=2时，不等式的解集变为﹣ ＜x＜2，有两个整数解；
∴1＜﹣2a≤2．
解得：﹣1≤a＜﹣ ．
5.已知关于x、y的方程组 的解满足x＜1且y＞1，求m的取值．
【答案】略
【解析】解：
解方程组得：
∵方程组的解满足x＜1且y＞1，
∴
解这个不等式组得：﹣1＜m＜0.
即m的取值为：﹣1＜m＜0.6.关于x的不等式组 的所有整数解的和是﹣7，求m的取值范围.
【答案】略
【解析】解：
解不等式①得： ，
则不等式组的解集是： ，
∵不等式的所有整数解的和是-7，观察数轴可得到如下两种情况.
情况一（如图1）： ，
此时 在-3和-2之间，判断临界情况可知 .
情况二（如图2）： ，
此时 在2和3之间，判断临界情况可知 .
综合， 的取值范围是 或 .
