文档文本内容
一轮复习——导数
课时：5 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
零点个数与隐零点问题
课时四（10.19）
极值点偏移
课时五（10.26）
函数放缩与不等式证明
第一讲 单调性与极值最值
【注】单调性与极值最值的核心内容在暑期都已讲过，因此本讲主要通过一些典
型的题目来巩固和强化这部分的题型与方法.
模块一 利用导数研究单调性
【方法点拨】
一、利用导数判断函数单调性的基本方法
【易错题】
（1）求
( )
ln
x
f x
x
a
的单调区间
（2）求
2
1
( )
e (
1)
2
x
f x
x
x
的单调区间
二、含参导函数的分类讨论
3. 指对型导函数
导函数中若含有ex
a
，ln x
a
型因式，在判断符号时，将之看作一次因式即可：
ex
a
：当
0
a
时恒大于零；当
0
a 时
ln
e
e
e
x
x
a
a
，因此与
ln
x
a
同号．
ln x
a
：ln
ln
ln ea
x
a
x
，因此与
ea
x
同号．
三、判断单调性的进阶技巧
1.瞪眼法（观察法）
（1）导函数零点
（2）导函数单调性
（3）导函数的符号
2.利用二阶导数（高阶导数）
（1）求二阶导
（2）由二阶导判断一阶导的单调性
（3）由一阶导单调性结合特殊点函数值判断一阶导的符号
（4）由一阶导符号得到原函数的单调性
注意：在求二阶导数时，为了简化函数，我们可以把一阶导函数中不定号的部
分提出来，对其求导即可.
四、单调性的逆向求参问题
1. 已知函数在区间上单调增或者单调减，转化为导函数恒大于等于零或恒小于
等于零求解．
2. 已知函数在区间上不单调，转化为导数在区间内存在变号零点．
3. 已知函数在区间上存在单调增或者单调减区间，转化为导函数在区间上大于
零或者小于零有解．
【题型归纳】
题型1——含参导函数的分类讨论
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例1】（1）已知函数
，讨论
的单调性．
（2）已知函数
．讨论
的单调性．
题型2——判断单调性的进阶技巧
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例2】（1）已知函数
，
．试判断
在定义域上的单调性．
（2）已知函数
．讨论函数
的单调性．
（3）（ 2018 高考真题新课标III21）已知函数
．
若
，证明：当
时，
；当
时，
．
（4）设函数
，则使得
成立的
的取值范围
是( )
A.
B.
C.
D.
题型3——单调性的逆向求参问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例3】（1）设函数
，若
在
上为减函数，求
的
取值范围．
（2）已知函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围为
________．
（3）已知函数
，若函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
模块二 抽象函数的导数
【铺垫题】 找原函数——逆用求导公式
【引例】若
2
F
x
x
，那么我们可以认为
2
F x
x
C
（其中C 是与x 无关的常
数）．参照这个判断，填写以下的
F x ：
（1） 若
cos
2
1
F
x
x
x
，则
F x ________________；
（2）若
sin
cos
F
x
f
x
x
f x
x
，则
F x ________________；（用
f x 表示，下
同）
（3）若
cos
sin
F
x
f
x
x
f x
x
，则
F x ________________；
（4）若
4
3
4
F
x
x f
x
x f x
，则
F x ________________；
（5）若
4
3
xf
x
f x
F
x
x
，则
F x ________________.
（6）若
3
2
2x
xf
x
f x
F
x
x
，则
F x ________________.
【方法点拨】
1. 构造原函数解决问题
（1）基本思路：逆用求导公式构造原函数，根据已知条件得到原函数的单调性，从而利用
单调性解决问题。
（2）常见构造有如下两种：⑴加减类型，⑵乘除类型
常见乘除类型包括两种：⑴幂函数类型，⑵指数类型
2. 指数乘除类型构造
（1）条件：
或
，
构造：
（2）条件：
或
，
构造：
0
0
x
x
f
x
e
f x
e
0
0
f
x
f x
x
g x
f x
e
0
0
x
f
x
f x
e
0
0
f
x
f x
x
f x
g x
e
3. 幂函数乘除类型构造
（1）条件：
或
0( 0)
nf x
xf
x
，
构造：
（2）条件：
1
( )
( )
0( 0)
n
xf
x
nf x
x
或
( )
( )
0( 0)
xf
x
nf x
，
构造：
【注】此处难点是
0( 0)
nf x
xf
x
及
( )
( )
0( 0)
xf
x
nf x
的构造，一般情况下：
首先看符号：加即构造乘法，减即构造除法
其次看
的系数：若
的系数为
，一般构造
或
1
0
0
n
n
nx
f x
x f
x
n
g x
x f x
n
f x
g x
x
f x
f x
n
n
g x
x f x
n
f x
g x
x
【题型归纳】
题型4——抽象函数的导数
重要性：☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例4】（1）设定义在
上的函数
的导函数
满足
，则( )
A.
B.
C.
D.
（2）已知函数
满足条件：当
时，
，则下列不等式正确
的是( )
A.
B.
C.
D.
（3）定义在
上的函数
满足
(其中
为
的
导函数)，若
，则下列各式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
（4）已知
是定义在
上的减函数，其导函数
满足
，则下列
结论中正确的是（ ）
A.
恒成立
B.
恒成立
C. 当且仅当
时，
D. 当且仅当
时，
（5）(2015 全国卷Ⅱ)设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
模块三 极值与最值
【方法点拨】
一、利用导数求极值
1．可导函数极值的分析方法：
在
0
x
x
处，
0
0
f
x
，
若在
0x 左侧
0
0
f
x
，在
0x 右侧
0
0
f
x
，则
0x 是
f x 的极大值点；
若在
0x 左侧
0
0
f
x
，在
0x 右侧
0
0
f
x
，则
0x 是
f x 的极小值点．
2．求可导函数的极值的步骤：
①求函数的定义域；
②求导函数
f
x
；
③在原函数的定义域内，求方程
0
f
x
的所有实数根；
④对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数
f
x
的符号变化情况．
【注意】注意区分导函数为0 的点与极值点.
【易错题】求出下列函数的所有极值点
（1）
4
( )
ex
f x
x
（2）
5
( )
ex
f x
x
二、极值的逆向求参问题
1. 已知极值点求参数值
此类问题的求解思路是：根据极值点的导数为零，列出方程直接求解参数，但要注意验
证是否是变号零点．
2. 由极值存在性求参数范围
此类问题可以等价的转化为导函数零点的分布问题，但要注意必须是变号零点.另外如
果明确告知了是极大值或极小值，那么还需要讨论零点两侧导函数的符号.
三、利用导数求最值
求闭区间上函数的最值的步骤：
①求函数在该区间上的极值；
②把极值与端点的函数值作比较，最大的即最大值，最小的即最小值．
四、含参函数最值的分类讨论与已知最值逆向求参
最值的分类讨论相对单调性与极值更复杂一些，主要体现在两点：（1）定义域往往限定
在某一区间；（2）极值与区间端点值的大小比较．
【题型归纳】
题型5——求极值
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例5】（1）设函数
，求函数
的单调区间与极
值．
（2）（ 2017 高考真题山东卷20）已知函
，
令
，讨论
的单调性并判断有无极值，有极值时求出
极值．
题型6——极值的逆向求参问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例6】（1）若函数
在
处取得极小值，则实数
的
取值范围是________．
（2）已知函数
，若
是函数
的唯一一个极值点，则
实数
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
题型7——含参的最值问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例7】（1）设函数
．当
时，求函数
在
0,k
上的最大值
．
（2）已知函数
．当
时，若函数
的最大值为
，求
的值
2
( )
(
1)e
(
)
x
f x
x
kx
k
R
1
1
2
k
，
(
)
f x
M
