文档文本内容
跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——立体几何
2 次课
主题
课时一
三视图与外接球内切球问题
课时二
空间中的角度问题
本讲内容：
一、三视图还原
1. 底面还原法（锥体）
2. 嵌入法（投影法）
3. 组合体的还原
二、外接球与内切球
1. 外接球
通法——找球心
大招——七个外接球模型
2. 内切球
通法——3 倍体积除表面积
跟着数学，玩转侃叔
模块一 三视图还原
【知识总结】
三视图
1．平行投影
2．三视图：正视图 左视图 俯视图
3．画法规则：
(1)排列规则：侧视图在正视图右边，俯视图在正视图下边；
(2)画法规则：
①正视图与俯视图长度一致，即“长对正”；
②侧视图与正视图高度一致，即“高平齐”；
③俯视图与侧视图宽度一致，即“宽相等”．
(3)线条规则：
①能看见的轮廓线和棱用实线表示；
②看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
【方法点拨】
底面还原法
三视图中有两个视图轮廓线是三角形，则几何体一般是锥体，以第三个视图的轮廓线或视图中
的一部分为底面，然后两个视图中锥顶的位置交汇确定锥顶，连接侧棱，再检验是否满足题设．
【注1】底面不一定是整个视图，最后一定要验证．
【注2】如果以正视图或者左视图为底面，依然可以按此法还原．
跟着数学，玩转侃叔
【题型归纳】
题型1——底面还原法
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆
【例1】（1）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，
底面是一个直角梯形，
、
，
、
，
底面
，且
，
该四棱锥的体积为：
．
（2）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥
，
如图是长方体的一部分，
由三视图的数据得
，
到底面的距离为
，
该几何体的体积是：
．
（3）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为
的等腰三角形和边长为
的正方形，
则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由三视图得到原几何体如图：
该几何体为三棱锥
，底面三角形
是
等腰直角三角形，
该四面体的体积是
．
（4）如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则
该多面体的最长棱的长度是( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：根据三视图可得该几何体是一个三棱锥
，如图，
，
是棱长为
的正方体相应棱的
中点，
可得棱
最长，
．
（5）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各条棱中最长的棱的长度是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：由几何体的三视图得：
该几何体是如图所示的倒放的四棱锥
，
其中底面
是直角梯形，
，
，
底面
且
，
，
=
．
该几何体的各条棱中最长的棱的长度是
．
（6）已知某几何体是由棱长为
的正方体的三个顶点和其中一条棱中点连接而成，其三视图
如图所示，则该几何体的体积为( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得，几何体的直观图如图：是正
方体的一部分，是三棱锥
，
正方体的棱长为
，
是所在边的中点．
几何体的体积为：
．
【方法点拨】
嵌入法（投影法）
三视图中出现多个矩形、梯形等图形时，一般将几何体嵌入到正方体或长方体中：
法一：对其进行切割，从而得到所求几何体；
法二：根据三视图的线条判断几何体的顶点位置，或利用“三线交汇得顶点”．
题型2——嵌入法
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例2】（1）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形
的形状为( )
跟着数学，玩转侃叔
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 平行四边形
D. 梯形
【答案】A
【解析】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截
去一个三棱锥，
且三棱锥的两条侧棱相等，截面图形的形状为等腰三角形，如
图所示：
（2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，
所以其体积为
．故选D．
（3）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥
的底面为矩形
，底面与一个侧面
垂直，
，
．
，
，
中
，
，
则该几何体的表面积为：
．
（4）若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为
的正方形，则该几何
体的体积是( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：该几何体为不规则放置的四棱锥
，是正方体的一部分，如图，也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，
几何体的体积为：
．
（5）已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：由三视图知，该几何体是四棱锥，其直观图如图
所示，四棱锥的一个侧面
与底面
垂直，
过
作
，垂足为
，
底面
，
，
底面为边长为
的正方形，
几何体的
跟着数学，玩转侃叔
体积
．
（6）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体最长的棱长
度为 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】几何体为如图四面体
,其中最长的棱
长
为正方体的体对角线
，选D.
（7）已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都是直角梯形，左视图是正方形，
则该几何体最长的棱长为( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，正方体的棱长为
，
由题意可得：
，
，
，则该几何体最长的棱长：
．
（8）如图，网络纸上小正方形的长为
，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由三视图还原几何体如图，该几何体为六面体
，
其体积
．
题型2——组合体的还原
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例3】（1）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：由题意该几何体是一个以底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥可得．
四棱锥底面面积
．四棱锥的高为
．那么四棱锥体积
．
半圆锥的体积
，
该几何体的体积为
（2）某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：把三视图复原：在棱
和
上分别取点
、
使
，则：
．
（3）如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体
的表面积是( )
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：由三视图可知：该几何体为一个
球与一个圆柱组成的几
何体．该几何体的表面积=
．
模块二 外接球与内切球
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
一、外接球
3.常见模型
类型一、墙角模型——嵌入长方体（三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式
2
2
2
2)
2
(
c
b
a
R
，即
2
2
2
2
c
b
a
R
，求
出R
c
a
b
图1
C
P
A
B
a
b
c
图2
P
C
B
A
跟着数学，玩转侃叔
【例4】
（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．
16
B．
20
C．
24
D．
32
解：（1）
16
2
h
a
V
，
2
a
，
24
16
4
4
4
2
2
2
2
h
a
a
R
，
24
S
，选C
（2）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、4 、3 ，那么它的外接球的表面
积是
解：三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
c
b
a
,
,
（
R
c
b
a
,
,
），则
6
8
12
ac
bc
ab
，
24
abc
，
3
a
，
4
b
，
2
c
，
29
)
2
(
2
2
2
2
c
b
a
R
，
29
4
2
R
S
（3）三棱锥
中，
平面
，
，则该三棱
锥外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得，
平面
，因为
平面
，
所以
，又因为
，
，所以
平面
，
是三棱锥
的外接球的直径，因为
中，
，所以
，可得外接
球的半径为
，所以外接球的表面积为
，
故选A．
a
b
c
图3
C
B
P
A
a
b
c
图4
P
C
O2
B
A
跟着数学，玩转侃叔
（4）已知三棱锥
的四个顶点在球
的球面上，
，
是边
长为
的正三角形，
，
分别是
，
的中点，
，则球
的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：如图，
由
，
是边长为
的正三角形，可知三棱
锥
为正三棱锥，
则顶点
在底面的射影
为底面三角形的中心，连接
并延长，
交
于点
，
则
，又
，
，可得
平面
，
则
，
，
分别是
，
的中点，
，
又
，即
，
，得
平面
，
正三棱锥
的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为
，半径为
，则球
的体积为
．
类型二、圆柱模型（圆柱的外接球、直棱柱的外接球、直棱锥的外接球）
题设1：直棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意有外接圆的
图形）
题设2：棱锥的一条侧棱垂直于底面（将直棱锥补为直棱柱）
【例5】
（1）如图，直三棱柱
中，
，
，
，
，则该三棱柱的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】解：由题意可知直三棱柱
中，
，
，
， 由余弦定理可得
，
图10-1
C1
B1
A
A1
O1
O
O2
B
C
跟着数学，玩转侃叔
设底面
的小圆半径为
，则
，可得
,
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径
， 则
,
外接球的表面积
, 故答案为：
．
（2）在四面体
中，
ABC
SA
平面
，
,1
,2
,
120
AB
AC
SA
BAC
则该四
面体的外接球的表面积为（ ）
11
.A
7.
B
3
10
.
C
3
40
.
D
解：在ABC
中，
7
120
cos
2
2
2
2
BC
AB
AB
AC
BC
，
7
BC
，ABC
的外接球直径为
7
2 7
2
sin
3
3
2
BC
r
BAC
，
3
40
4
)
3
7
2
(
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
SA
r
R
，
3
40
S
（3 ）已知
EAB
所在的平面与矩形A B C 所在的平面互相垂直，
60
,2
,3
AEB
AD
EB
EA
，则多面体
ABCD
E
的外接球的表面积为 。
解析：折叠型，法一：EAB
的外接圆半径为
3
1
r
，
1
1
OO
，
2
3
1
R
；法二：
2
3
1
M
O
，
2
13
2
2
D
O
r
，
4
4
13
4
3
2
R
，
2
R
，
16
S
（4）已知
分别为长方体
的棱
的中点，若
，
，则四面
体
的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】因为四面体
的外接球与三棱柱
的外接球是同一个球．因为
，所以
的外接圆的半径
，则外接球
的半径的平方
，所以外接球的表面积
，应填答案
．
S
ABC
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类型三、圆锥模型（圆锥、正棱锥、顶点投影在底面外心（即三条侧棱长相等））
题设：某个顶点在底面的投影为底面的外接圆圆心
【例6】
（1）正四棱锥
ABCD
S
的底面边长和各侧棱长都为
2 ，各顶点都在同一个球面上，则此
球的体积为
解：方法一：找球心的位置，易知
1
r
，
1
h
，
r
h
，故球心在正方形的中心ABCD 处，
1
R
，
3
4
V
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC
的外接圆，此处特殊，
SAC
Rt
的斜边是
球半径，
2
2
R
，
1
R
，
3
4
V
（2）在三棱锥
ABC
P
中，
3
PC
PB
PA
,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为
60 ，则
该三棱锥外接球的体积为（ ）
A．
B.
C. 4
D.
解：选D，圆锥
C
B
A
,
,
在以
2
3
r
的圆上，
1
R
类型四、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
CD
AB
，
BC
AD
，
BD
AC
）
【例7】在三棱锥
BCD
A
中，
,4
,3
,2
BD
AC
BC
AD
CD
AB
则三棱锥
BCD
A
外接球的表面积为 。
【答案】
2
29
解析：补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
c
b
a
,
,
，则
9
2
2
b
a
，
4
2
2
c
b
，
16
2
2
a
c
29
16
4
9
)
(
2
2
2
2
c
b
a
，
29
16
4
9
)
(
2
2
2
2
c
b
a
，
2
29
2
2
2
c
b
a
，
2
29
4
2
R
，
2
29
S
3
4
3
跟着数学，玩转侃叔
类型五、切瓜模型（两个平面互相垂直）
题设：某两个面相互垂直，特殊情况：某一面为以公共棱为斜边的直角三角形.
【例8】（1）如图，在四边形
中，
．现沿
对角线
折起，使得平面
平面
，此时点
，
，
，
在同一个球面上，
则该球的体积是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】解：在图2 中，取
的中点
，连接
，
，
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
，
棱锥外接球的球心
在直线
上，
，
，
，
设
，则
，
，解得
，
外接球的半径
，
外接球的体积
．
（2）三棱锥
ABC
P
中，平面
PAC
平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2 的正三角
图9-1
A
C
B
P
跟着数学，玩转侃叔
形，则三棱锥
ABC
P
外接球的半径为 .
解析：
3
4
60
sin
2
2
2
2
1
r
r
，
3
2
2
1
r
r
，
3
1
2
H
O
，
3
5
3
4
3
1
2
1
2
2
2
r
H
O
R
，
3
15
R
；
法二：
3
1
2
H
O
，
3
1
1
H
O
，
1
AH
，
3
5
2
1
2
1
2
2
2
O
O
H
O
AH
AO
R
，
3
15
R
类型六、双直角三角形模型(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)
题设：
90
ACB
APB
【例9】 （1）在矩形
中，
，
，将
沿
折起后，三棱锥
的外接球表面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：如图所示：
设矩形
的对角线
、
交于点
，
则
；
三棱锥
的外接球的半径为
，
其表面积为
．
（2）三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上,
是边长为的正三角形,
为球
的直径,且
，则此棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
图13
O
A
C
B
P
S
ABC
O
ABC
1
SC
O
2
SC
2
6
3
6
2
3
2
2
O
H
B
A
C
P
O2
O1
跟着数学，玩转侃叔
解：
3
6
)
3
3
(
1
2
2
2
1
r
R
OO
，
3
6
2
h
，
6
2
3
6
2
4
3
3
1
3
1
Sh
V
类型七、双等腰或双全等模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
【例10】（1）在四面体
中，
，
，
，
，
则该四面体外接球的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：因为
，所以
，设
的中点为
，连接
，
则三角形
的外心
在线段
上，且
，又因为三角形
的外心为
，
且
，所以
平面
，过
垂直于平面
的直线与过
垂直于平面
的
直线交于点
，则
为四面体外接球的球心，在三角
形
中，由余弦定理得
，所以
，所以
，
设外接球的半径为
，则
，所以
，故选D．
（2）在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
的外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：取
中点
，
中点
．
，
，
面
面
，
设
的外心为
，外接圆半径为
，三棱锥
的外接球的球心为
，
则
面
，
．
跟着数学，玩转侃叔
由
．可得
．
在四边形
中，设
，外接球的半径为
，
则
，可得
，
则三棱锥
的外接球的表面积为
．
一般方法：找球心
【例11】（1）已知正方体
的棱长为
，点
是线段
上的动点，则
四棱锥
的外接球半径
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图，设四棱锥
的外接球的球
心为
，
，
，
，
在球面上，
球心在正方体
的上、下底面中心的连线
上，又点
也在球面上，
，
正方体
的棱长为
，
，设
，
，则
，
在
中，有
①，
在
中，有
②，
将①代入②，得
，
，
，
，故
的取值范围是：
．
（2）在四面体
中，已知
，
，
，求四面体
的外接球的半径．
【解析】设四面体
的外接球球心为
，则
在
过
的外心
且垂直于平面
的垂线上．
由题设知，
是正三角形，则点
为
的
中心．设
分别为
的中点，
则
在
上，且
，设
跟着数学，玩转侃叔
，则
，
在
中，
，
由余弦定理得
，故
，
四边形
的外接圆的直径
，故四面体
的外接球的半径
为
．
二、内切球
1．几何体的内切球：球内切于几何体，则球在几何体内
部，球心到几何体各面距离、旋转体母线距离都相等，且
距离为内切球的半径．
2．解题通法：等体积法，
3V
r
S
表
．
【例12】
（1）已知三棱锥
，若
，
，
两两垂直，且
，则三棱锥
的内切球半径为________．
【答案】
【解析】解：由题意，设三棱锥
的内切球的半径为
，球心为
，
则由等体积
可得：
，
，
故答案为
．
（2）已知三棱锥
中，
底面
，
，则该三
棱锥的内切球的体积为________．
【答案】
【解析】解：如图．
底面
，
是三棱锥
的高，
，
，
，
图14
H
D
A
B
C
P
O
E
跟着数学，玩转侃叔
，即
，
，
，
，
，
，
设内切球的半径为
，则
，
，
，
，故答案为：
．
（3）圆锥的底面半径为
，高为
，在这个圆锥内部有一个内切球，则此内切球的半径为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：如图所示，作出轴截面，
，
，
，
，
．
设
，则
，
，
．
（4）如图是棱长为
的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)，球
是该正八面体的内切球，
则球
的表面积为( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意，该八面体的棱长为
，
设球
的半径为
，
，解得
，
所以球
的表面积为：
．
