高三清北班秋季第十二讲补充讲义（学生版）-0883a71c1063_学而思高三全套_2019秋季高三直播_秋季目标清北班高三理科数学1(1).5轮复习直播班（全国）16讲王侃_资料

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一轮复习——立体几何 
2 次课 
 
主题 
课时一 
三视图与外接球内切球问题 
课时二 
空间中的角度问题 
 
本讲内容： 
一、几何法求空间角 
1. 求异面直线所成角 
 平移 
 基底分解 
 
2. 求线面角 
 求线面角与求距离的等价性 
 垂面法求距离 
 等体积法求距离 
 
3. 求二面角 
 定义法 
 三垂线法 
 
 
二、向量法求空间角 
1. 向量法求角度 
2. 向量法求距离 
3. 动点型问题 
 
 
                                                         跟着数学，玩转侃叔 
模块一 几何法求空间角 
 
【方法点拨】 
一、求异面直线所成角 
 
1、平移法 
   将异面直线通过平移转化为相交直线，将之平面化，在平面内求夹角． 
2、基底分解法 
类似平面向量的基底分解方法，将所求直线代表的向量分解到基底方向上，然后利用基底计
算求解． 
 
【题型归纳】 
题型1——求异面直线所成角 
重要性：☆☆☆☆     难度：☆☆☆ 
 
【例1】（1）（ 2014 高考大纲卷I 卷4） 
已知正四面体
中，
是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
(  ) 
A. 
        B. 
       C. 
        D. 
 
（2）（2014 高考大纲卷理科I 卷11） 
已知二面角
为
，
，
，
为垂足，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为(  ) 
A. 
        B. 
     C. 
      D. 
 
（3）（2017 高考理科II 卷10） 
已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为(  ) 
A. 
      B. 
       C. 
       D. 
 
（4）（2016 高考理科I 卷11） 
平面
过正方体
的顶点
，
平面
，
平面
，
平面
，则
，
所成角的正弦值为(  ) 
A. 
      B. 
       C. 
        D. 
 
                                                         跟着数学，玩转侃叔 
 
【方法点拨】 
二、求线面角 
 
1、求线面角与求距离的等价性 
 
如图，求直线PA 与平面的夹角： 
设P 到平面的距离为h ，则sin
h
PA

，因此在已知 
斜线的情况下，求线面角等价于求点到面的距离． 
求距离有如下两种几何方法： 
 
2、垂面法求距离 
求点P 到平面的距离h : 
（1）过点P 作平面的垂面； 
（2）找平面与垂面的交线l ； 
（3）过点P 作交线l 的垂线，垂线段PO 即为所
求． 
 
3、等体积法求距离 
求点到平面的距离还可利用等体积法， 
如图，求点P 到平面ABC 的距离h : 
则
PAB
ABC
h S
h
S


 
 
【题型归纳】 
题型2——几何法求线面角 
重要性：☆☆☆☆     难度：☆☆☆☆ 
 
【例2】（1）（2018 天津市高考真题） 
如图，在四面体
中，
是等边三角形，平面
平面
，点
为棱
的中点，
．求直线
与平面
所成角的正弦值． 
 
 
                                                         跟着数学，玩转侃叔 
 
（2）（2016 年北京卷） 
如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
．求直线
与平面
所成角的正弦
值． 
 
（3）（2018 高考真题全国I 卷18） 
如图，四边形
为正方形，
，
分别为
，
的中点，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
．求
与平面
所成角的正弦
值． 
 
 
 
                                                         跟着数学，玩转侃叔 
【方法点拨】 
三、求二面角 
求二面角有两种常用的纯几何方法： 
1、定义法 
 
 
 
 
 
 
2、三垂线法 
（1）在面内找一点P ，过P 作PO 面，垂足为O ； 
（2）在面内过O 作OH 交线l 于H ； 
（3）连接PH ，则PH
l
，于是二面角
l



的平面角即
为
PHO

或
PHO

的补角： 
当O 在内为锐角，O 在外为钝角．且cos
OH
PHO
PH


． 
注1：利用三垂线法的关键在于第一步能否成功作出垂线h ,此
处往往用到垂面法去作垂线． 
注2：利用三垂线法可以确定二面角的锐钝． 
 
【题型归纳】 
题型3——几何法求二面角 
重要性：☆☆☆☆     难度：☆☆☆☆ 
【例3】（1）（2017 山东省高考真题） 
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形
(及其内部)以
边所在直线为旋转轴旋
转
得到的，
是
的中点．当
，
时，求二面角
的大小． 
 
 
 
（2）（2017 高考真题新课标II） 
                                                         跟着数学，玩转侃叔 
如图，在四棱锥
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
，
，
，
是
的中点．点
在棱
上，且直线
与底面
所成角为
，求二面角
的余弦值． 
 
（3）（2016 高考真题全国卷I） 
如图，在以
为顶点的五面体中，面
为正方形，
， 
，且二面角
与二面角
都是
．求二面角
的余弦值． 
 
 
 
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模块二 向量法求空间角 
 
【方法点拨】 
一、向量法求角度 
（1）建系 
（2）求点坐标 
（3）求方向向量及法向量坐标 
（4）代入公式求角度 
注1：求法向量的步骤 
 
 
注2：建系的方法 
（1）线面垂直 
（2）面面垂直 
（3）线线垂直 
 
 
二、向量法求距离 
 
 
三、动点型问题 
（1）直线（线段）上的动点 
 
 
（2）平面内的动点 
 
 
                                                         跟着数学，玩转侃叔 
【题型归纳】 
题型4——向量法求角度 
重要性：☆☆☆☆☆     难度：☆☆☆ 
 
【例4】（1）如图所示，在直三棱柱
中，
，
平面
， 
，
分别为
，
的中点，试求出
与平面
所成角的正弦值． 
 
（2）如图，在直三棱柱
中，
为
的中点．若
，求二面角
的平面角的余弦值． 
 
 
题型5——向量法求距离 
重要性：☆☆☆     难度：☆☆☆☆ 
 
【例5】如图，四棱锥
的底面是边长为
的正方形，侧
面
底面
，且
，
，
分别为棱
，
的中点．求点
到平面
的距离． 
 
 
 
                                                         跟着数学，玩转侃叔 
题型6——动点型问题 
重要性：☆☆☆☆     难度：☆☆☆☆ 
 
【例6】（1）如图，三棱柱
的侧棱
底面
，
，
是棱
上的动点，
是
的中点，
，
，
．在棱
上是否存在
点
，使得二面角
的余弦值是
？若存在，求
的长，若不存在，请说
明理由． 
 
 
 
（2）如图所示，已知四棱台
上、下底面分别是边长为
和
的正方
形，
，且
底面
，点
，
分别在棱
，
上．若
平面
，二面角
的余弦值为
，求四面体
的体积．