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跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——立体几何
2 次课
主题
课时一
三视图与外接球内切球问题
课时二
空间中的角度问题
本讲内容：
一、几何法求空间角
1. 求异面直线所成角
平移
基底分解
2. 求线面角
求线面角与求距离的等价性
垂面法求距离
等体积法求距离
3. 求二面角
定义法
三垂线法
二、向量法求空间角
1. 向量法求角度
2. 向量法求距离
3. 动点型问题
跟着数学，玩转侃叔
模块一 几何法求空间角
【方法点拨】
一、求异面直线所成角
1、平移法
将异面直线通过平移转化为相交直线，将之平面化，在平面内求夹角．
2、基底分解法
类似平面向量的基底分解方法，将所求直线代表的向量分解到基底方向上，然后利用基底
计算求解．
【题型归纳】
题型1——求异面直线所成角
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例1】（1）（ 2014 高考大纲卷I 卷4）
已知正四面体
中，
是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解法一：设正四面体的棱长为
．
如图，取
的中点
，连接
、
、
．
在
中，由
，
，得
，且
．故
为直线
与
所成的角或其补角．
在
中，
；在
中，
．在
中，
．
所以直线
与
所成角的余弦值为
．
解法二：设正四面体的棱长为
．
如图，取
的中点
，连接
、
、
．
在
中，由
，得
，且
．故
为直线
与
所成的角或其补角．
跟着数学，玩转侃叔
在
中，
；在
中，
．
取
的中点
，连接
，则
，且
．
在
中，
．故选B.
（2）（2014 高考大纲卷理科I 卷11）
已知二面角
为
，
，
，为垂足，
，
，
，
则异面直线
与
所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：如图，过
点作
，使
，垂足为
，
过点
作
，过点
作
，连接
，
,
,
,又
,
,
,
在
中，设
，则
，
，
在
中，则
，
，
在
中，则
，
异面直线
与
所成的角即是
，
．
（3）（2017 高考理科II 卷10）
已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：
【解法一】如图所示，设
、
、分别为
，
和
的中点，
则
、
夹角为
和
夹角或其补角
(因异面直线所成角为
)，可知
，
；作
中点
，则
为直角三
角形；
，
，
中，由余弦定理得
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，
，
；在
中，
；
在
中，由余弦定理得
；
又异面直线所成角的范围是
，
与
所成角的余弦值为
．
【解法二】如图所示，
补成四棱柱
，求
即可；
，
，
，
，
，
．
（4）（2016 高考理科I 卷11）
平面
过正方体
的顶点
，
平面
，
平面
，
平面
，则
，
所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图，设平面
平面
，平面
平
面
，因为
平面
，所以
，则
所成的角等于
所成的角．延长
，过
作
，连接
，则
为
，同理
为
，而
，
则
所成的角即为
所成的角，即为
，故
所成角
的正弦值为
，选A．
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【方法点拨】
二、求线面角
1、求线面角与求距离的等价性
如图，求直线PA 与平面的夹角：
设P 到平面的距离为h ，则sin
h
PA
，因此在已知
斜线的情况下，求线面角等价于求点到面的距离．
求距离有如下两种几何方法：
2、垂面法求距离
求点P 到平面的距离h :
（1）过点P 作平面的垂面；
（2）找平面与垂面的交线l ；
（3）过点P 作交线l 的垂线，垂线段PO
即为所求．
3、等体积法求距离
求点到平面的距离还可利用等体积法，
如图，求点P 到平面ABC 的距离h :
则
PAB
ABC
h S
h
S
【题型归纳】
题型2——几何法求线面角
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例2】（1）（2018 天津市高考真题）
如图，在四面体
中，
是等边三角形，平面
平面
，点
为棱
的中点，
．求直线
与平面
所成角的正弦值．
【解析】解：连接
，
为等边三角形，
为边
的中点，
故
，
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又
平面
平面
，而
平面
，
故
平面
，则
为直线
与
平面
所成角．
在
中，
，
在
中，
，
直线
与平面
所成角的正弦值为
．
（2）（2016 年北京卷）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
．求直线
与平面
所成角的正弦值．
【解析】取
的中点
，连结
，
，
因为
，所以
．
又因为
平面
，平面
平面
，
所以
平面
．因为
平面
，所以
．因为
，所以
．
如图建立空间直角坐标系
，由题意得，
．
设平面
的法向量为
，则
即
，令
，则
．所以
．
又
，所以
．所以直线
与平面
所
成角的正弦值为
．
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（3）（2018 高考真题全国I 卷18）
如图，四边形
为正方形，
，
分别为
，
的中点，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
．求
与平面
所成角的正弦值．
【解析】在平面
中，过
点作
于点
，
连接
，由
可得，平面
平面
，
由于
为平面
和平面
的交线，
，所以
为直线
与平面
所
成的角，则
平面
，故
．
在三棱锥
中，可以利用等体积法求
，
因为
且
，所以
，又因为
，
所以
，所以
，由于
，则
平面
，
故
，因为
且
平面
，所以
平面
，
所以
．设正方形边长为
，则
，在
中，
，
所以
，故
，又因为
，
所以
，所以在
中，
，
与平面
所成角的正弦值为：
．
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【方法点拨】
三、求二面角
求二面角有两种常用的纯几何方法：
1、定义法
2、三垂线法
（1）在面内找一点P ，过P 作PO 面，垂足为O ；
（2）在面内过O 作OH 交线l 于H ；
（3）连接PH ，则PH
l
，于是二面角
l
的平面角即
为
PHO
或
PHO
的补角：
当O 在内为锐角，O 在外为钝角．且cos
OH
PHO
PH
．
注1：利用三垂线法的关键在于第一步能否成功作出垂线h ,
此处往往用到垂面法去作垂线．
注2：利用三垂线法可以确定二面角的锐钝．
【题型归纳】
题型3——几何法求二面角
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例3】（1）（2017 山东省高考真题）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形
(及其内部)以
边所在直线为旋转轴旋转
得到的，
是
的中点．当
，
时，求二面角
的大小．
【解析】解：解法一：
取
的中点
，连接
，
，
，
，
四边形
为菱形，
．
取
中点
，连接
，
，
，
则
，
为所求二面角的平面角．
又
，
．
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在
中，由于
，由余弦定理得：
，
，因此
为等边三角形，故所求的角为
．
解法二：过点
作
的垂线交
于点
，以
为坐
标原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，轴
建立空间直角坐标系．由题意得：
，
故
．
设
为平面
的一个法向量，
由
，得
，取
，得
；设
为平面
的一个法向量，
由
，可得
，取
，得
．
．
二面角
的大小为
．
（2）（2017 高考真题新课标II）
如图，在四棱锥
中，侧面
为等边三角形且垂直
于底面
，
，
，
是
的中点．点
在棱
上，且直线
与底面
所
成角为
，求二面角
的余弦值．
【解析】解：在四棱锥
中，
侧面
为等边三角形且垂直于底面
，
，
，
是
的中点．
取
的中点
，
在底面
上的射影
在
上，设
，则
，
，所以
，又因为直线
与底面
所成角为
，
可得：
，
，
，可得：
，
，
，作
于
，连接
，
，
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所以
就是二面角
的平面角，
，所以二面角
的余弦值为：
．
（3）（2016 高考真题全国卷I）
如图，在以
为顶点的五面体中，面
为正方形，
，
，且二面角
与二面角
都是
．求二面角
的
余弦值．
【答案】
【解析】解：过
作
，垂足为
，由(Ⅰ)知
平面
．以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，
为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系
．
由(Ⅰ)知
为二面角
的平面角，故
，则
，
，
可得
，
，
，
．
由已知，
，所以
平面
．
又因为平面
平面
，故
，
．
由
，可得
平面
，所以
为二面角
的平面角，
．从而可得
．所以
，
，
，
．设
是平面
的法向量，则
，即
，所以可取
．
设
是平面
的法向量，则
，同理可取
．则
．故二面角
的余弦值为
．
跟着数学，玩转侃叔
模块二 向量法求空间角
【方法点拨】
一、向量法求角度
（1）建系
（2）求点坐标
（3）求方向向量及法向量坐标
（4）代入公式求角度
注1：求法向量的步骤
注2：建系的方法
（1）线面垂直
（2）面面垂直
（3）线线垂直
二、向量法求距离
三、动点型问题
（1）直线（线段）上的动点
（2）平面内的动点
跟着数学，玩转侃叔
【题型归纳】
题型4——向量法求角度
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例4】（1）如图所示，在直三棱柱
中，
，
平面
，
，
分别为
，
的中点，试求出
与平面
所成角的正弦值．
【答案】
【解析】在矩形
中，
平面
，
，
可知
，则
，故
，从而
．
以点
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，不妨设
，
则
，
，
，
，可得
，
．由题意可知
即为平面
的一个法向量，
设
与平面
所成的角为
，
则
．
（2）如图，在直三棱柱
中，
为
的中点．若
，求二面角
的平面角的
余弦值．
【答案】
【解析】解法一：如图1，取
为
的中点，连接
，则
．又由(I)知
平面
．故
，所以
为所求的二面角
的平面角．因
为
在面
中的射影，又已知
由三垂线定理的逆定理得
．从而
跟着数学，玩转侃叔
、
都与
互余．因此
，
所以
．因此
，即
，得
，从而
．所以
中，
解法二：如图2，过
作
交
于
，在直三棱柱
中，有
两两垂直，以
为原点，射线
分别为
轴、
轴、
轴的正半轴建立空间直角坐标系
．
设直三棱柱的高为
，则
，
从而
，
由
，可得
，故
，
，
设平面
的法向量为
，则有
所以
且
，即
，取
，则
设平面
的法向量为
，则
，即
且
，
取
，得
，所以
，所以二面角
的平面角的余弦值为
．
题型5——向量法求距离
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例5】如图，四棱锥
的底面是边长为
的正方形，侧
面
底面
，且
，
，
分别为棱
，
的中点．求点
到平面
的距离．
【答案】点
到平面
的距离
．
【解析】解：因为
，
．
跟着数学，玩转侃叔
设平面
的一个法向量为
，由
，得
，取
，
得
，
．
所以
，又
，所以点
到平面
的距离
．
题型6——动点型问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例6】（1）如图，三棱柱
的侧棱
底面
，
，是棱
上的动点，是
的中点，
，
，
．在棱
上是否存在点
，使得
二面角
的余弦值是
？若存在，求
的长，若
不存在，请说明理由．
【解析】解：假设在棱
上存在点
，使得二面角
的余弦值是
，则
，
，设
为平面
的法向量，
则
，取
，
，
平面
的法向量
，
，
由
，解得
．
在棱
上存在点
，使得二面角
的余弦值是
，
．
跟着数学，玩转侃叔
（2）如图所示，已知四棱台
上、下底面分
别是边长为
和
的正方形，
，且
底面
，
点
，
分别在棱
，
上．若
平面
，
二面角
的余弦值为
，求四面体
的体积．
【解析】解：如图，由
知，
，
是平面
内的两个不共线向量．
设
是平面
的一个法向量，则
，即
．
取
，得
．
又平面
的一个法向量是
，所以
．
而二面角
的余弦值为
，因此
，解得
或
(舍去)．此
时
．
设
，而
，得
，所以
．
因为
平面
，且平面
的一个法向量为
，所以
，
即
，亦即
，从而
．
于是将四面体
视为以
为底面的三棱锥
，则其高为
，故四面体
的体积
．
