文档内容
第十二章 全等三角形（压轴题专练）
【题型一 四边形中构造全等三角形】
例题：如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，F分别在AB，AD上，
， ．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S ＝S ，根据三角形面积公式求得S 与S ，根据S
ACE ACF ACF ACE 四边形
△ △ △ △
＝S ＋S 求解即可；
AECF ACF ACE
△ △
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角
形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋
∠ECF＝2∠DFC(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S ACE＝S ACF，∠FAC＝∠EAC．
△ △
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S ＝S ＝ AE·CB＝ ×8×6＝24．
ACF ACE
△ △
∴S ＝S ＋S ＝24＋24＝48．
四边形AECF ACF ACE
△ △
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？
【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；
(3)当∠EDG=90°- α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出 ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出 ，即可判断出
．
（2）猜想 、 、 之间的数量关系为： ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出
，即可判断出 ；然后根据 ，可得 ，
，再根据 ，判断出 ，据此推得 ，所以
，最后根据 ，判断出 即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使 仍然成立，则 ，即
，据此解答即可．
(1)
证明： ， ， ，
，
又 ，
，
在 和 中，，
．
(2)
解：如图，连接 ，
猜想 、 、 之间的数量关系为： ．
证明：在 和 中，
，
，
，
又 ，
， ，
由（1），可得 ，
，
，
即 ，
，
在 和 中，
，，
又 ， ，
；
(3)
解：要使 仍然成立，
则 ，
即 ，
当 时， 仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意
推出规律是解此题的关键．
【题型二 一线三等角模型】
例题：【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在 内部的射线 上，
分别是 、 的外角．若 ， ，求证： ．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F在
线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．
【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据 ， ，得出 ，根据 ，
得出 ，再根据 证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出： ，进而得出 ，根据 ，
的面积为9，得出 ，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ；
应用
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 的面积为9，
∴ ，
∴ 与 的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（1）问题发现：如图1，射线 在 的内部，点B、C分别在 的边 、 上，且
，若 ，求证： ；（2）类比探究：如图 2， ，且 ． （1）中的结论是否仍然成立，请说明
理由；
（3）拓展延伸：如图3，在 中， ， ．点E在 边上， ，点D、F在线
段 上， ．若 的面积为 ， ，求 与 的面积之比．
【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）
【分析】（1）根据 即可得到 ， ，
从而得到 ，即可得到证明；
（2）根据 得到 ，即可得到 ，即可
得到证明；
（3）根据 的面积为 ， ，即可得到 ， ，结合 可得
， ，根据 ， 得到 ，即可得到 ，
即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ；
（2）解：成立，理由如下，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ 的面积为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得
到三角形全等的条件．
2．在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有 ，且满足
．(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；
(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是12，求 与 的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝
∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝
∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，
得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结
果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝ BC•h＝12，S△ABF＝ BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三
角形的判定与性质．
【题型三 三垂直模型】例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，
AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请
写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出
∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到
DE、AD、BE之间的等量关系．
【详解】解：（1）AD＝EC；
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已证△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．
【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的
条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
【变式训练】
1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到 90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据
AAS可证 DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（△2）易证 DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE +
DE． △
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △
∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线
段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
【题型四 倍长中线模型】
例题：阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1， 是 的中线， ， ，求 的取值范围．我们可以延长 到点 ，使
，连接 ，易证 ，所以 ．接下来，在 中利用三角形的三边关
系可求得 的取值范围，从而得到中线 的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形 中， ，点 是 的中点．若 是 的平分线，试判断 ， ，之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点 ，点 是 的中点，若 是
的平分线，试探究 ， ， 之间的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】阅读理解：
类比应用：
拓展创新：
【分析】阅读理解：由全等的性质推出 ，再根据 ，可得结论．
类比应用：延长 ， 交于点F，先证 得 ，再由 是 的平分线知
，从而得 ，据此知 ，结合 可得答案．
拓展创新：延长 ， 交于点 ，根据平行和角平分线可证 ，也可证得 ，从
而可得 ，即可得到结论．
【详解】阅读理解：由题可知， ，
∴ ．
∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
类比应用： ．理由如下：
如图1，延长 ， 交于点 ．∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
拓展创新：如图2，延长 ， 交于点 ．
∵ ，
∴ ．在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定
义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线
构造全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在
中， 是 边上的中线，延长 到M，使 ，连接 ．
【探究发现】
（1）图1中 与 的数量关系是______，位置关系是______．
【初步应用】
（2）如图2，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
【探究提升】
（3）如图3， 是 的中线，过点A分别向外作 、 ，使得 ，延长
交 于点P，判断线段 与 的数量关系和位置关系，请说明理由．【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ， ，理由见解析
【分析】（1）证 ，得 ，再由平行线的判定即可得出 ；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）可知： ，得 ，再由
三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）可知： ，得 ，由
，可证 ，再证 ，得 ， ，则 ，然后由平
角 ，再由 ，得 ，即可得出结论．
【详解】（1）如下图1，
，
是 的中线，
，
在 和 中，
，
，
，
与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如下图2，延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）可知： ，
，
在 中， ，
，
即 ，
；
（3）如下图 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，
由（1）可知： ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，，
，
，
，
，
，
即 ，
， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，
正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型五 旋转模型】
例题：【尝试探究】如图1，已知在正方形 中（四边相等，四个内角均为90°），点 、 分别在边
、 上运动，当 时，探究 、 和 的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形 沿斜边翻折得到 ，且 ，点 、 分别在边
、 上运动，且 ，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知 是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°）， ，
， ，以 为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边 、 于点 、
，连接 ，直接写出 的周长．
【答案】【尝试探究】 ，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16
【详解】解：【尝试探究】 ．
证明：如图，把 绕点 顺时针旋转90°至 ，可使 与 重合，∵ ，
∴ ，点 、 、 共线，
∴ ，
即 ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【模型建立】成立，如图，
证明：将 绕 顺时针旋转 的度数，此时， 与 重合，
由旋转得： ， ， ， ，
同理得：点 ， ， 在同一条直线上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴（2）中的结论还成立， ；
【拓展应用】∵ 是边长为8的等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
将 绕点 旋转 ，得到 ，
∵ ， ，
∴ 和 重合， ， ， ，
∴ ，
∴ 三点共线，
同法（2），可得： ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角
模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．
【变式训练】
1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转
120°能与BE△重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝ （180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是
解题的关键．
2．在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 ， 上的点，且
，在探究图1中线段 ， ， 之间的数量关系过程中．
(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）
(2)小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，即可得出 ， ， 之间的数量关系是 ．(3)如图3，在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立？并证明；
(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东
的 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前
进，舰艇乙沿北偏东 的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分
别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)仍然成立，证明见解析
(4)195海里
【分析】（1）在 上方作 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，即可得出 ， ， 之间的数量关系；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即可得出
， ， 之间的数量关系；
（3）延长 到 ，使 ，连接 ，证明 和 ，得到答案；
（4）连接 ，延长 、 交于点 ，得到 ，根据距离、速度和时间的关系计算即可．
【详解】（1）在 上方作 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
，， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，即 ，
添加辅助线：在 上方作 ，使 ，连接 ，成功了；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，，
，
，
，即，
故答案为： ；
（3）结论仍然成立，
证明：延长 到 ，使 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
；
（4）如图4，连接 ，延长 、 交于点 ，
，
，
，
，
，
符合（3）中的条件，
结论 成立，
即 （海里），
答：此时两舰艇之间的距离是195海里．
【点睛】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题
的关键，注意规律的总结和运用．
