文档文本内容
跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——三角与向量
2 次课
主题
课时一
三角函数与平面向量
课时二
三角恒等变换与解三角形
三角函数与平面向量
本讲内容：
一、三角函数核心考点
1. 正弦型函数性质直接考查
2. 正弦型函数三性综合
3. 正弦型函数的图象变换
4. 其它类型的三角复合函数
二、平面向量解题方法大全
1. 建系法
2. 基底法
3. 作图法
4. 大招——极化恒等式（数量积最值问题）
5. 大招——等和线（系数和最值问题）
跟着数学，玩转侃叔
模块一 三角函数核心考点
【知识总结】
1、正弦型函数
sin
y
A
x
的性质
⑴周期性：函数
sin
y
A
x
（
0,
0,
A
R ）的最小正周期为
2π
T
．
⑵奇偶性：
f x 为奇函数
0
0
f
sin
0
π
k
k Z ；
f x 为偶函数
0
f
A
sin
1
π
π
2
k
k Z ．
⑶中心对称（即零点）：
f x 关于点
0, 0
x
对称
0
0
f x
0
sin
0
x
0
π
x
k
k Z ．
⑷轴对称（即最值点）：
f x 关于直线
0
x
x
对称
0
f x
A
0
sin
1
x
0
π
π
2
x
k
k Z ．
⑸单调区间：① 把
(
)
0
x
视为一个整体；
②
0 (
0)
A
A
时，所列不等式方向与
sin
(
)
y
x x
的单调区间对应的不等式
方向相同（反）.
⑹求限定区间的值域：逐层求值域．
2、正弦型函数三性综合
（1）对称性与周期的关系
①相邻两条对称轴之间的距离为
2
T ，相邻两个对称中心之间的距离为
2
T ，相邻的对称轴与对
称中心之间的距离为
4
T ．
②任意两条对称轴之间的距离可表示为
(
)
2
nT n
*
N
，任意两个对称中心之间的距离可表示为
(
)
2
nT n
*
N
，任一条对称轴与对称中心的距离可表示为
(
)
4
2
T
nT n
*
N
．
（2）单调性与周期的关系
①一个完整的单调区间的区间长度为
2
T ．
②一个不完整的单调区间的区间长度小于
2
T ．
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3、正弦型函数的图象变换
对正弦型函数
sin
y
A
x
进行如下变换：
（1）平移变换
0
a
：
向左平移a 个单位
sin
y
A
x
a
；
向右平移a 个单位
sin
y
A
x
a
；
向上平移a 个单位
sin
y
A
x
a
；
向下平移a 个单位
sin
y
A
x
a
．
（2）伸缩变换
0
k
：
纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍
sin
x
y
A
k
；
横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍
sin
y
k A
x
．
【题型归纳】
题型1——正弦型函数性质直接考查
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆
【例1】
（1）函数
的值域是________．
【答案】
【解析】
，
值域为
．
（2）函数
在
上的减区间为________．
【答案】
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【解析】解：对于函数
，
令
，
，
求得
，
，
故函数的减区间为
，
，
又
，
函数在
上的减区间为
．
故答案为：
．
（3）已知函数
的最小正周期为
，则函数
的图象( )
A. 关于直线
对称 B. 关于直线
对称
C. 关于点
对称 D. 关于点
对称
【答案】B
（4）设函数
，若
对任意的实数
都成立，则
的最小值为________．
【答案】
【解析】解：函数
，若
对任意的实数
都成立，
可得：
，
，解得
，
，
由于
，因此
的最小值为：
．
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题型2——正弦型函数三性综合
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例2】
（1）已知函数
，
，且函数
在区间
上有最小值，无最大值，则
________．
【答案】
【解析】因为
，且函数
在区间
上有最小值，无最大值，
所以
，
，
．
进一步挖掘函数
在区间
上有最小值，无最大值，有
，
又因为
，所以
．综上，
．经检验满足题意．
（2）已知函数
在
上单调递减，且
满
足
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】函数
在
上单调递减，
且
满足
，所以函数
的最小正周期
，
故
．由于
，所以，
，
解得
，当
时，
，故
，
所以，
．故选：C．
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（3）设函数
，
，若
在区间
上具有单调性，且
，则
的最小正周期为________．
【答案】
【解析】
在区间
上具有单调性，
．
区间长度
为
，
和
处不是最大值或最小值点，
最值在
处取到．
，
，
，
，
，
，即
的最小正周期为
．
（4）已知函数
的图象与直线
的三个相邻交
点的横坐标分别是
，
，
，则
的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为函数
的图象与直线
的三个相
邻交点的横坐标分别是
，
，
，所以
，所以
，且当
时函数取得最
大值，所以
，
，所以
，
，
所以
，因为
，
，
所以
，
，周期
，所以
，
，故选D．
（5）已知函数
是
上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，则
的值为( )
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
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【答案】D
【解析】由
是偶函数，得
，即
，
所以
对任意
都成立，且
，所以得
．
依题设
，所以
，
由
的图象关于点
对称，得
，
取
，得
，
，
又
，得
，
，
，
当
时，
，
在
上是减函数，满足题意；
当
时，
，
在
上是减函数；
当
时，
，
在
上不是单调函数．
所以，
或
．
题型3——正弦型函数的图象变换
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆
【例3】
（1）将
图象上所有的点向右平移
个单位长度，再把所得的图象上各点
横坐标扩大到原来的
倍(纵坐标不变)，这样得到的图象对应的函数解析式为________．
【答案】
【解析】解：
．
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（2）【2017 高考真题新课标1 卷9】曲线
，
，则下面结
论正确的是（ ）
A. 把
上各点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单
位长度，得到曲线
B. 把
上各点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单
位长度，得到曲线
C. 把
上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位
长度，得到曲线
D. 把
上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单
位长度，得到曲线
【答案】D
【解析】
，将横坐标缩短到原来的
，变为
，再向左平移
个长度单位，变为
．故选D．
（3）将函数
的图象向左平移
个单位后，所得函数图象关
于原点对称，则
________．
【解析】解：函数
的图象向左平移
个单位后，
所得函数解析式为：
，
新函数的图象关于原点对称，
是奇函数，
，
，解得
，
．
，
．故答案为：
．
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题型4——其它类型的三角复合函数
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例4】（1）（ 2019 全国II 卷9）
下列函数中，以
为周期且在区间
上单调递增的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：
不是周期函数，可排除D 选项；
的周期为
，可排除C 选项；
在
处取得最大值，不可能在区间
上单调递增，可排除选项B．
故选：A．
（2）（ 2019 新课标I 卷11）关于函数
有下述四个结论：
①
是偶函数 ②
在区间
上单调递增
③
在
上有
个零点 ④
的最大值为
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
【答案】C
【解析】解：
，则函数
是偶函
数，故①正确；
当
时，
，
，则
为减函
数，故②错误；
当
时，
，由
得
，故
或
，由
是偶函数得，在
上还有一个零点
，即
函数
在
上有
个零点，故③错误；
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当
，
时，
取得最大值
，故④正确，故正确结论的编号是①④．
（3）函数
是( )
A. 最小正周期为
的奇函数 B. 最小正周期为
的偶函数
C. 最小正周期为
的奇函数 D. 最小正周期为
的偶函数
【答案】D
【解析】
，
则函数
是偶函数，
，
函数
的最小正周期是
，故选：D．
（4）求函数
的最大值．
【答案】
【解析】解：令
，则
，
，其中
，
当
，
时，
．
（5）求函数
的最小值．
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【解析】解：
，
令
，则
且
，
，故当
时，
．
（6）已知函数
，
，则下列说法正确的是( )
A. 函数
是周期函数，且最小正周期为
B. 函数
是奇函数
C. 函数
在区间
上的值域为
D. 函数
在
上是增函数
【答案】C
【解析】
，
，故A
错误．
，故B 错误．
，又
，
，
，
，
，即函数
的值域为
，故C 正确．
令
，有
在
单调，
在
单调，
在
不单调，
函数
在
不单调．故D 错误．
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模块二 平面向量解题方法大全
【知识总结】
平面向量基础知识
1．向量的加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则；
运算性质：交换律：a
b
b
a
；结合律：
a
b
c
a
b
c
．
2．向量的减法：AB ．
3． 数乘向量：实数和向量a 的乘积是一个向量，记作a
，且a
的模
a
．
4．向量共线的条件：
⑴向量共线定理：对于两个向量a
0
a
与b ，
如果有一个实数，使b
a
0
a
，那么b 与a 是共线向量；
如果b 与a
0
a
是共线向量，那么有且只有一个实数，使b
a
．
⑵单位向量：给定一个非零向量a ，那么与a 方向相同的单位向量为 ．
5．平面向量基本定理：
如果
1
2
,
e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有
一对实数
1
2
,
，使
1 1
2
2
a
e
e
．
我们把不共线的向量
1
2
,
e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
6．平面向量数量积：
⑴夹角：非零向量a 与b 的夹角也可记作
,a b
， ；
⑵数量积：a b
；
投影：
cos
b
称为向量b 在a 方向上的投影；
数量积的几何意义：a b
等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；
⑶数量积的运算律：
交换律：a b
b a
；
对实数的结合律：
a b
a
b
a
b
；
对加法的分配律：
a
b
c
a c
b c
．
7．平面向量坐标运算：设
1
1
,
a
x
y
，
2
2
,
b
x
y
，
⑴一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标；
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⑵数量积：a b
；
⑶平行：
//
a
b
0
b
a
b
；
⑷垂直：a
b
a b
0
；
⑸长度：a
a a
；
⑹夹角：cos= cos
,
a b
a b
a b
．
【方法点拨】
平面向量问题有两大基本研究方法：
1．建系法
在这几类情况下，考虑使用建系法：
①基本图形为边长已知的正方形、矩形、直角三角形、直角梯形、正三角形等；
②基本图形为等腰（等边）三角形（或菱形）．
③已知一个角的大小及角两边的长度（如图）；
2．基底法
选择两个不共线的向量作为基底，将题中其它所有向量用基底表示，即可解决问题．
①选取基底时，最常见的是选取共起点的两个向量，如三角形的两边、平行四边形的一组
邻边；
②在三角形ABC 中，若AD 为中线，也可考虑以
,
DA DB （即中线与底边）作为基底．
C
B
A
B (a, 0) x
y
A ( a, 0)
C (0, b)
P
B
A
θ
b
a
y
x
θ
P
B (bcosθ, bsinθ)
A (a, 0)
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平面向量问题还有一些使用频率较低，但技巧性很强的处理方法：
3．作图法
向量是数与形的结合，因此利用几何意义可以将向量问题等价转化为几何问题，例如：
①AB
m
0
m
：线段AB 的长度为m ；特别地，若A 为定点，则动点B 的轨迹为圆．
②AB
AD
，AB
AD
：可分别联想到平行四边形ABCD 两条对角线所表示的向量
,
AC DB ．
③
0
AB CD
：线段AB 与CD 垂直．
④
1
AD
t AB
t AC
：D 是直线BC 上的点；特别地，若
0,1
t
，D 是线段BC 上的
点．
进一步有这样的结论：
1
1
1
AD
AB
AC
BD
DC
1
，
例如：
1
2
3
3
AD
AB
AC
D 是线段BC 上靠近C 的三等分点．
4．与圆有关的向量分解技巧
设P 为定点，Q 为弧AB 上的动点，此时向量PQ 的变化过程较为复杂，条件不易处理．
常用的分解方法：PQ
PO
OQ
（向圆心分解）．如此，PO 是一个确定的向量，OQ 是
模长为定值的向量，变化规律更简单，条件也变得更易处理．此技巧常用于解决与圆相关的
最值问题．
5．极化恒等式
O
B
A
Q
P
P
Q
A
B
O
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6．等和线定理
（1）等和线定理
已知
,
OC
OA
OB
R ，若
k
为定值，则点C 在一条平行于AB 的直线
（或直线AB）上，该直线称为等和线.
（2）k 值计算
记点O 到直线AB 的距离为d ，到等和线的距离为d ，则有
d
k
d
，k 的正负可以根据等和
线、点O 和直线AB 的位置关系判断.
【方法强化】
方法1——建系法
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆
【例5】
（1）如图，已知
，
，
为
的中点，
为以
为直径的圆
上一动点，则
的最小值是________．
跟着数学，玩转侃叔
【答案】
【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
，
，设
．
，
．
，其中
．
，
的最小值是
．故答案为：
．
（2）（2017 新课标III 卷12）在矩形
中，
，
，动点
在以点
为圆
心且与
相切的圆上．若
，则
的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
跟着数学，玩转侃叔
【解析】解：如图，以
为原点，以
，
所在的直线为
，
轴建立如图所示的坐标
系，则
，
，
，
，
动点
在以点
为圆心且与
相切的圆上，设圆的半径为
，
，
，
，
，
圆的方程为
，
设点
的坐标为
，
，
，
，
，
，其中
，
，
，故
的最大值为
，故选：A．
跟着数学，玩转侃叔
方法2——基底法
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例6】
（1）如图，
中，
是中线
的中点．若
，则
的值为________．
【答案】
【解析】解：
是
的中点，
，
又
是
的中点，
，
，
，
，
．
（2）如图，在
中，
是
的中点，
是
的两个三等分点，
，则
的值是________．
【答案】
【解析】解:
是
的中点，
是
的两个三等分点，
，
，
，
，
跟着数学，玩转侃叔
，
又
，
．
（3）在
中，
，
分别是
，
的中点，
，
，
，则
的值是________．
【答案】2
【解析】解：
，
，
，
，
，
，
．
（4）在
中，
，点
为斜边
上靠近点
的三等分点，点
为
的外心，则
的值为________．
【答案】6
【解析】解：由题可知
，
，
，所以有
．
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方法3——作图法
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例7】
（1）已知向量
、
满足
，且
与
的夹角为
，则当
的
值取到最小时，实数
的值为________．
【答案】
【解析】解：法一：
，
，
，
，
当
时，
有最小值．
法二：如图，当
时，
取得最小值，
，
，
．
跟着数学，玩转侃叔
（2）已知
，
是单位向量，
．若向量
满足
，则
的最大
值是________．
【答案】
【解析】解：
，
是单位向量，且
．向量
满足
，
设
，
，
，
则
，
，
，
的最大值为
，答案为：
．
（3）已知向量
、
、
满足
，
，
，
，
的最大值为
，最小值为
，则
的值为________．
【答案】2
【解析】设
，
，
，则
，
，
在线段
的中垂线上；
，
是边长为
的正三角形；
，即
，即
，
在以线段
为直径的圆上；
设
，
，则
为圆的弦长，
，当直线
过圆心
时取到等号，故
最大值的为
．
（4）设
为单位向量，非零向量
，
的夹角为
，则
的最大值等于________．
【答案】2
跟着数学，玩转侃叔
【解析】设
，
，则
，
的基线为
直线，则
在直线上，
到直线的距离
，故
，
的最大值为
．
跟着数学，玩转侃叔
方法4——极化恒等式
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例8】
（1）如图，在平面四边形
中，
为
的中点，且
，若
，则
的值是________．
【答案】9
【解析】解:平面四边形
中，
为
的中点，
且
，
；
若
，则
；
，
；
．
（2）在
中，
，
，
，
是斜边
上的两个动点，且
，则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
跟着数学，玩转侃叔
【解析】设
的中点为
，则有
．
易知
的最小值等于点
到斜边
的距离，即
，所以
的最小值为
．
（3）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，若点
为边
上的动点，则
的
最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，
，
，
，
，
当
时，
有最小值，且
．
（4）（2017 全国II 卷12）已知
是边长为
的等边三角形，
为平面
内一
点，则
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，以
中点为坐标原点，
则
，
，
，
跟着数学，玩转侃叔
设
，则
，
，
，
则
．
当
，
时，取得最小值
．
故选：B．
方法5——等和线
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆☆
【例9】
（1）在
中，
是直角，
，
，
的内切圆交
于
点
，点
是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若
，则
的值
可以是( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：设圆心为
，半径为
，则
，
，解得
．
连接
，则当
时，
在线段
上，排除A；
在
上取点
，在
上取点
，使得
，连接
，
．则点
在线段
上时，
，故
．
同理，当
或
时，
点不在三角形内部．排除C，D.故选：B．
（2）已知点
是
的重心，点
是
内一点，若
，则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
跟着数学，玩转侃叔
【解析】解：因为点
是
内一点，
则
，
当且仅当点
在线段
上时，
最大等于
，
当
和
重合时，
最小，
此时
，
所以
，
，
，故
，故选B．
（3）（2017 新课标III 卷12）在矩形
中，
，
，动点
在以点
为圆
心且与
相切的圆上．若
，则
的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【要看课呀】
（4）如图，
为等边三角形，点
在以
为直径的半圆上，若
，求
的取值范围．
【答案】
【解析】记
中点为
．则
，由等和线性质可知，
．
（5）如图，已知矩形
中，
，
，
，若
在
中(包括
边界)，且
，则
的最大值为( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：分别以边
，
所在直线为
，
轴建立如图所示的平面直角坐标系；
，
，设
，
，
，
，
设
，所以
是直线
在
轴上的截距；
由图形可以看出，当该直线经过
点时，它在
轴的截距
最大，最大为
；
的最大值是
．
（6）如图，以矩形
的一边
为直径的半圆与对边
相切，
为
的中点，
为半圆弧上任意一点．若
，则
的最大值为( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立直角坐标系，
如图所示，设圆的半径为
，则点
，
，
，则
，
，
，
，
，即
，整理得
，
，设：
，
，
，
，
由正弦函数的性质可知，当
时取得最大值，最大值为
，故选B．
