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跟着数学，玩转侃
叔
{前排提醒：解析并不能体现题目真正的价值，做题的意义
在于识别题型、摸透方法，所以大家一定要看课哦}
一轮复习——导数
6 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
隐零点问题
课时四（10.19）
零点个数问题
课时五（10.26）
极值点偏移
课时六（11.2）
函数放缩与不等式证明
跟着数学，玩转侃
叔
第五讲 极值点偏移
【注】极值点偏移问题有三种方法：（1）对称化构造；（2）比值代换；（3）利用对
数均值不等式（A-L-G 不等式）.其中对称化构造是通法，是最重要的，务必要掌
握；而后两种方法都有局限性.因此侃叔重点给大家讲对称化构造，其次再讲一下
比值代换，而对数均值不等式会在本节课的赠课中给大家作讲解．好了，准备迎
接极值点偏移这道大餐吧！
本讲重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆☆
本讲内容：
一、何为极值点偏移？
二、解题方法——对称化构造
1、对称化构造的标准解题模板
2、操作细节1——选择合适的函数
3、操作细节2——变更结论
三、解题方法——比值代换
1、比值代换的标准解题模板
2、比值代换的适用题
跟着数学，玩转侃
叔
一、何为极值点偏移？
三张图教你直观认识极值点偏移：
跟着数学，玩转侃
叔
二、解题方法——对称化构造
类型一：标准极值点偏移
【引例1】 （2010 高考真题天津卷）
已知函数
．
（1）求函数
的单调区间和极值；
（2）已知函数
的图象与
的图象关于直线
对称，证明：当
时，
；
（3）如果
，且
，证明：
．
对称化构造的直观展示：
对称化构造的解题要点：
（1）
1
2
,
x
x 的范围；
（2）函数
0
( )
(2
)
f x
f
x
x
的构造；（
0
x 为极值点）
（3）将结论等价地转化为函数
0
( )
(2
)
f x
f
x
x
的正负．
跟着数学，玩转侃
叔
【例2】（ 2016 高考真题全国卷I）
已知函数
有两个零点．
（1）求
的取值范围．
（2）设
是
的两个零点，证明:
．
注意极值点偏移的结论不一定总是
1
2
0
( )2
x
x
x
，也可以是
2
1
2
0
( )
x x
x
，解题的
方法和过程是类似的．
【例3】已知函数
，
．
（1）当
时，求函数
的单调区间和极值．
（2）若
，且
，证明：
．
注意对于带参数的极值点偏移问题，参数往往并不影响我们的解题过程．
【方法总结】对称化构造的标准解题模板
1、求导，获得
( )
f x 的单调性、极值情况，并由
1
2
(
)
(
)
f x
f x
得到
1
2
,
x
x 的取值范围；
2、构造辅助函数（对结论
1
2
0
( )2
x
x
x
，构造
0
( )
( )
(2
)
F x
f x
f
x
x
；对结论
2
1
2
0
( )
x x
x
，构造
2
0
( )
( )
(
)
x
F x
f x
f
x
），求导，限定范围（
1
x 或
2
x 的范围），判断符
号，获得不等式；
3、代入
1
x （或
2
x ），利用
1
2
(
)
(
)
f x
f x
及
( )
f x 的单调性证明最终结论．
跟着数学，玩转侃
叔
类型二：选择合适的函数
【例4】已知函数
( )
ex
f x
ax
有两个不同的零点
1
2
,
x x ，其极值点为
0x ．
（1）求a 的取值范围；
（2）求证：
1
2
0
2
x
x
x
；
（3）求证：
1
2
2
x
x
；
（4）求证：
1 2
1
x x ．
注意极值点偏移问题若用原函数无法解决，我们可以重新构造合适的函数，重构函数
的方法有：①分参；②将指数型函数化为对数型函数（对数的处理一般比指数简单）．
类型三：变更结论
极值点偏移的结论并不一定总是
1
2
0
( )2
x
x
x
，或者
2
1
2
0
( )
x x
x
，以上两种类型
我们称之为常规类型．那如果求证结论是关于
1
2
,
x
x 的其他不等式呢？
数学问题千变万化，不管怎么变，逃不出两个字“转化”：化陌生的问题为熟悉的问
题．侃叔这就带大家变“不常规”为“常规”．
【例5】若方程e
1
x
a
x
有两个不等的实根
1
2
,
x x ，求证：
1
2
2
e
e
x
x
a
．
【例6】已知函数
( )
ln
f x
x
x
，若两相异正实数
1
2
,
x x 满足
1
2
( )
(
)
f x
f x
，求证：
1
2
( )
(
)
0
f
x
f
x
．
【例7】已知函数
2
( )
ln
f x
x
x
，且方程
( )
f x
m
有两个不相等的实根
1
2
,
x x ，求证：
2
2
1
2
2
e
x
x
．
（凌云班）【例8】已知
0
b
a
，且ln
ln
b
a
a
b
a
b
，求证：
跟着数学，玩转侃
叔
（1）
1
a
b
ab
；（2）
2
a
b
；（3）1
1
2
a
b
．
【例9】已知函数
( )
2ln
f x
x
ax
，若
1
2
,
x x
1
2
(
)
x
x
是
( )
f x 的两个零点，证明：
1
2
2
0
3
x
x
f
．
【方法总结】变更结论的两种常用手段
①换元 ②加强命题（把“加”加强为“乘”）
三、解题方法——比值代换
我们来换一种方法研究极值点偏移问题，首先回顾一下极值点偏移问题的一般形式：
已知函数
( )
f x 的极值点为
0
x ，两相异实数
1
2
,
x
x 满足
1
2
(
)
(
)
f x
f x
，求证：
1
2
0
( )2
x
x
x
或
2
1
2
0
( )
x x
x
或者其他关于
1
2
,
x
x 的不等式．
从代数层面来看，极值点偏移问题是条件不等式的证明：在等量条件
1
2
(
)
(
)
f x
f x
的
约束下求证
1
2
,
x
x 的二元不等式．侃叔名言：所有的多变量问题，解题关键都在于通过合理
的消元，化归为单变量问题．所以一个自然的想法是：能否将双变量的条件不等式化为单变
量的函数不等式呢？
【引例】证明不等式：
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
【例题】用比值代换再解例3、例6、例9．
跟着数学，玩转侃
叔
【方法总结】比值代换的标准解题模板
1、令
2
1
1
x
t
x
，将
2
1
x
tx
代入
1
2
(
)
(
)
f x
f x
，得
1
1
(
)
(
)
f x
f tx
，由此解出
1
x ，将
1
2
,
x
x
都用t 表示出来；
2、把
1
2
,
x
x 消掉，将要证的不等式转化为关于t 的单变量不等式；
3、求导证明该不等式．
【思考】试用比值代换解例2、例7．
比值代换思路简单，方便快捷，这是比值代换的优势．但也要注意到：比值代换不像对
称化构造那样广泛适用，它有两个缺陷：①当函数形式较为复杂时，代换后往往不能顺利解
出
1
x 的值（用t 表示），此时方法失效；②即使能解出
1
x ，有时关于t 的单变量不等式也是
难以证明的．
【侃叔寄语】
关于极值点偏移的方法，侃叔给大家讲了两种，其实对于做题已经足够了
（前提是真正理解了方法）．如果觉得还不过瘾，那侃叔给大家的赠课【极值点
偏移方法3：A-L-G 不等式】记得听回放哦！不过我强烈建议前两种方法还没掌
握好的孩纸们不要好高骛远，泛泛地学十种方法还不如学透一种方法．导数部分
的一轮复习马上要结束啦，希望每位同学都能搞定导数压轴题，加油，相信自己
可以的！笔芯~
