文档文本内容
跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——解析几何
4 次课
主题
课时一
直线、圆、圆锥曲线小题强化
课时二
圆锥曲线大题（一）直线型问题
课时三
圆锥曲线大题（二）点型问题（含点差法）
课时四
圆锥曲线大题（三） 第三定义与参数方程法
本讲内容：
一、点差法
二、单动点问题
三、抛物线设参策略
【提醒】解析中给的大多都不是最简单的方法，课上讲的方法才是需要
重点掌握的.
跟着数学，玩转侃叔
圆锥曲线大题（二）
——点型问题
模块一 点差法
【方法点拨】
1. 点差公式
设弦AB 的斜率为
AB
k
，且弦AB 的中点为
0
0
(
)
P x
y
，
.
（1）椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
：
2
0
2
0
AB
y
b
k
x
a
或
2
2
OP
AB
b
k
k
a
．
（2）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
：
0
AB
y k
p
.
2. 点差法的应用
（1）点差法的应用：点差公式建立了任一弦的斜率与弦中点之间的联系，因此凡是涉及弦中
点的问题都可考虑用点差法解决.
（2）点差法的优点：点差法避免了联立方程，通过设点参数直接得到关于弦的两个关键量—
—弦中点与弦斜率的关系.
（3）点差法的不等价性：
①点差公式的结论并不能保证直线与椭圆相交，因此使用点差法时，与联立法类似，同样须验
证直线与椭圆相交.
②验证方法：无须联立求判别式，可等价的用弦中点落在椭圆内，即
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
来作为验证条
件.
【题型归纳】
题型1——点差法
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例1】已知椭圆
过点
，且离心率
．
（1）求椭圆
的方程．
（2）若直线
与椭圆交于不同的两点
，
，且线段
的垂直平分线
过定点
，求
的取值范围．
【提醒】答案用的是联立方法，大家对照我们课上讲的点差方法比较一下计算量.
跟着数学，玩转侃叔
【解析】（1）由题意椭圆
的离心率
，
，
，
椭圆
方程为
，又点
在椭圆上，
，
，
椭圆
的方程为
．
（2）设
，
，由
，
消去
并整理得
．
直线
与椭圆有两个交点，
，可得
①．
又
，
的中点
的坐标为
．
设
的垂直平分线
方程为
．
在
上，
，化简，得
，
，将上式代入①得
，
，
即
或
，
的取值范围为
．
【例2】已知椭圆
：
的左焦点为
，过点
的直线
交
椭圆
于
，
两点，线段
的中点为
，且当
时，点
横坐标为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若线段
的垂直平分线与
轴和
轴分别交于
，
两点．记
的面积为
，
(
为原点)的面积为
，若存在直线
，使得
，求
的取值范围．
跟着数学，玩转侃叔
【解析】（1）直线
经过焦点
，可得
，即
，
与椭圆
：
联立，
可得
，
则
，
，
当
时，点
横坐标为
，
可得
，化为
，解得
，
，椭圆
的方程为
；
（2）由
不为
，可得
，设
，由
可得
，解得
，即
，
由
，
，可得
，
即
，
化为
，
，即为
，则
，由
，可得
，
即
的取值范围是
．
【例3】如图所示，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
，
，
，
，
是椭圆上的四
个动点，且
，
，线段
与
交于椭圆
内一点
．当点
的坐标为
，且
，
分别与椭
圆
的上顶点和右顶点重合时，四边形
的面积为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）证明：当点
，
，
，
在椭圆上运动时
是定值．
跟着数学，玩转侃叔
【解析】（1）由题可知：
，解得
，
，
所以椭圆
的标准方程
．
（2）证明：设
，
，
，
，
将点
，
的坐标代入椭圆方程得：
，
．
两式相减得：
，
，
，①
将点
，
的坐标代入椭圆方程，同理可得：
，
，
，
，
由
，得
，
即
，即
，
，②
由
，同理可得：
，③
由①②③得：
，
整理得：
，
即
，
，
，
，所以
是定值．
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模块二 单动点问题
【方法点拨】
1． 圆锥曲线问题如果是由圆锥曲线上某一动点的运动所引起的，则可直接设点的坐标表达几
何量，解题过程中注意利用圆锥曲线上点满足圆锥曲线方程这一条件．
2． 如果题中有直线与圆锥曲线交于两点的条件，但问题关于
1
2
,
x x 并不对称（比如问题只和一
个交点相关），此时也可考虑设点的方法．
【题型归纳】
题型2——单动点问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例4】（ 2017 高考真题江苏卷17）在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、右
焦点分别为
．点
在椭圆
上，且位于第一象限，过点
作直线
的垂线
，过点
作直线
的垂线
．
（1）求椭圆
的标准方程．
（2）若直线
的交点
在椭圆
上，求点
的坐标．
【解析】设
，则直线
的斜率
，
则直线
的斜率
，直线
的方程
，
直线
的斜率
，
则直线
的斜率
，直线
的方程
，
联立
，解得：
，则
，
由
在椭圆上，
的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则
，
，则
，解得：
，则
，
又
在第一象限，所以
的坐标为：
．
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【例5】已知
，
是椭圆
上两点，满足直线
的斜率为
，且线段
被直线
平分．
（1）求椭圆
的方程．
（2）设点
是椭圆
上异于
，
的动点，若直线
交于
点
，直线
交于点
，试探究
是否为定值，并说明理由．
【解析】（1）
，
是椭圆
上两点，
，则
，代入
，得
，
由韦达定理得
，推导出
，
，
得到
的中点为
，由
，解得
，
椭圆
的方程为
．
（2）由
得
，设
，
，
，
直线
，代入
，得
，
直线
，代入
，得
，
则
．
为定值
．
跟着数学，玩转侃叔
模块三 抛物线设参策略
【方法点拨】
抛物线的问题，设参主要考虑两点：
（1）由于抛物线设点可以直接消掉另一坐标，因此设点总是可行的；
（2）若条件是过某一定点的直线与抛物线相交，此时更适合设直线．
【题型归纳】
题型3——抛物线设参策略
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例6】（2018 浙江省21）如图，已知点
是
轴左侧(不含
轴)
一点，抛物线
：
上存在不同的两点
，
满足
，
的中点均在
上．设
中点为
，证明：
垂直于
轴．
证明：可设
，
，
，
中点为
的坐标为
，
抛物线
：
上存在不同的两点
，
满足
，
的中点均在
上，
可得
，
，
化简可得
，
为关于
的方程
的两根，
可得
，
，
可得
，
则
垂直于
轴．
跟着数学，玩转侃叔
【例7】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是
轴，经过点
，
，
是抛物线上异于点
的两点，
．
（1）求抛物线的方程．
（2）求证：直线
经过定点，并求定点坐标．
（3）若
，点
，
，
在
轴上的投影分别是
，
，
，求
的最小值．
【解析】（1）
抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是
轴，经过点
，
设抛物线的标准方程为：
，
，把
的坐标代入上式，得
，
抛物线的标准方程为：
；
（2）证明：设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立方程组
，消去
并整理得
，
，
，
，
，同理，得
，
直线
的斜率为：
，
根据两点式得直线
的方程为：
，
，令
，
，
，令
，得
，
此时，
，解得
，
直线
经过定点
．
（3）
，
，
，
，
跟着数学，玩转侃叔
．
，
则
，
即
，
则
，
，
，即
，
则
，
，当且仅当
取等号，
，故
的最小值为
．
【例8】（2017 高考真题北京卷）
已知抛物线
：
过点
．过点
作直线与抛物线
交于不同的两点
，
，过点
作
轴的垂线分别与直线
、
交于点
，
，其中
为原点．
（1）求抛物线
的方程，并求其焦点坐标和准线方程．
（2）求证：
为线段
的中点．
【解析】（1）
过点
，
，解得
，
，
焦点坐标为
，准线为
．
（2）设过点
的直线方程为
，
，
直线
为
，直线
为：
，由题意知
，
跟着数学，玩转侃叔
由
，可得
，
，
，
为线段
的中点．
【例9】如图，已知抛物线
，焦点为
，过点
作直线交抛物线
于
，
两点，设
．
（1）若
，求抛物线
的方程．
（2）若直线
与
轴不垂直，直线
交抛物线
于另一点
，
直线
交抛物线
于另一点
．求证：直线
与直线
斜
率之比为定值．
【解析】（1）设直线
的方程为
，代入
得
，
，
，
抛物线
．
（2）设
，
设直线
，代入抛物线方程，可得，
，
则
，同理可知
，
直线
与直线
斜率之比为
．
