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定值定点问题与轨迹方程问题课后总结
一、定值定点问题解题思路
解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决
这类问题基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不
变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，
也就是说与题中的可变量无关。
二、圆锥曲线中定点问题的两种解法
1.引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的
量与参数何时没有关系，找到定点.
2.特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量
无关.
三、圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
2.两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量
↓
函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数
↓
定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值
四、椭圆中常见的定值结论
结论1：经过原点的直线l 与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交于
N
M、
两点，P 是
椭圆上的动点，直线
PN
PM、
的斜率都存在，则
.
-
2
2
a
b
k
k
PN
PM
为定值
结论2：已知
N
M、
是椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
两点，P 是
N
M、
的中点，直线
2
OP
MN、
的斜率都存在，则
.
-
2
2
a
b
k
k
OP
MN
为定值
结论3：设
C
B
A
、
、
是椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上的三个不同点，
C
B、
关于x
轴对称，直线
AC
AB、
分别与x 轴交于
N
M、
两点，则
.
2
a
ON
OM
为定值
结论4：过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上一点
）
（
0
0, y
x
P
任意作两条斜率互为相反
数的直线交椭圆于
N
M、
两点，则直线MN 的斜率为定值
.
0
2
0
2
y
a
x
b
结论5：分别过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上两点
）
（
）
（
2
2
1
1
,
,
,
y
x
Q
y
x
P
作两条斜率
互为相反数的直线交椭圆于
N
M、
两点，则直线MN 的斜率为定值
.)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
y
y
a
x
x
b
这些结论不一定能在每个题中进行使用，或者说即使有能用到的题目，不知
道这些结论确实也可以慢慢算得到答案，但是记住可以提高计算速度，在合适的
时候节省最多的时间。
五、轨迹方程问题
1.求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；
（2）写出适合条件P 的点M 的集合
(
)
P M ；
（3）用坐标表示条件
(
)
P M ，列出方程
0
)
,
(
y
x
f
；
（4）化方程
0
)
,
(
y
x
f
为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
上述方法简称“五步法”，在步骤（4）中若化简过程是同解变形过程；或
最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤（5）可省略不写，因为此时所
求得的最简方程就是所求曲线的方程。
【注意】
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
定形----指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
定式----根据“形”设方程的形式，但当椭圆（或双曲线）的焦点不确定在哪个
坐标轴上时，可设方程为
2
2
1
mx
ny
；
3
定量----由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到到
量的大小。
2. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有：
直接法、定义法、待定系数法、相关点法（代入法）、参数法、交轨法。
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出
等式化简即得动点轨迹方程。
(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物
线、圆等)，可用定义（待定系数法）直接探求。
(3)待定系数法：在已知曲线形状的前提条件下，可以设曲线方程（含待定系数），
再通过各种条件，确定相关系数而求出轨迹方程。
(4)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程。
(5)参数法：若动点的坐标( , )
x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可
以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，然后消去参数，就得到轨迹的普通
方程。
(6)交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的
方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
【注意】
（1）要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范
围，由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯
粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明
y
x,
的取值范围。
（2）“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨
迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若
轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。
