山东省2020 年高考数学模拟考试试题评析
一．题型、题量和分值分布的整体变化
2019 年
全国I 卷
题量与题型
总题量22 道：12 道单选题 + 4 道填空题 + 5 道必做解答题 +
1 道选做解答题（2 选1）
各题型分值分
布
单选题：5 分×12 道=60 分 填空题：5 分×4 道=20 分
解答题70 分：必做题60 分（每道题12 分），选做题10 分
2020 年新
高考山东
模考卷
题量与题型
总题量22 道：8 道单选题 + 4 道多选题 + 4 道填空题 + 6 道
解答题
各题型分值分
布
单选题：5 分×8 道=40 分 多选题：5 分×4 道=20 分
填空题：5 分×4 道=20 分
解答题70 分：17 题10 分，18~22 题每道题12 分
总结：
1. 题量题型上的主要变化有两点：一是将4 道单选改为多选，二是删掉了选做题，增加一
道必做解答题。总题量不变，但由于多选题花费时间较多，因此变相压缩了考试时间。
2. 两个小的变化也值得注意：一是填空题中有一道多空题，二是17 题让考生体验了一把出
题人的感觉，需要从三个条件中选择一个条件作为题干作答，算是一种变相的“选做题”。
3. 分值分布上变化不大，多选题与单选题分值相同，值得注意的是部分选对也有三分，且
至少有两个选项正确（非不定项），高考数学中初次尝试多选，对于考生还是比较友好的。
二．考点上的主要变化
此份模拟卷遵循新课程标准教学大纲，在考点分值上变化较大，如下表：
各模块考点变化
2019 年全国I 卷
2020 年新高考山东模考卷
集合与逻辑
1 道集合小题
增加1 道逻辑小题（命题的否
定）
函数与导数
3 道函导小题，1 道导数解答题
不变
三角与向量
1 道向量小题，1 道三角小题，1 道三角
解答题
不变
数列与不等式
2 道数列小题，压轴题中与概率统计结
单独考查1 道数列解答题，且
合；不等式未单独考查
压轴题中与导数结合；不等式
未单独考查
立体几何
1 道小题（外接球），1 道解答题（位置
关系与角度）
3 道小题（锥体体积、外接球、
位置关系综合），1 道解答题
（位置关系与角度）
解析几何
2 道小题（椭圆、双曲线），1 道解答题
题（直线与抛物线）
分值不变（但椭圆与抛物线调
换位置）
概率统计
2 道小题，1 道解答题（与数列结合）
2 道小题，1 道解答题
其它
1 道复数小题，1 道算法小题，1 道创新
型小题（维纳斯），1 道选考解答题
1 道复数小题，1 道创新型小
题（图表信息）
总结：
1. 新课程标准删掉的考点不会再出现，包括：①算法②三视图③线性规划④几何概型⑤极
坐标与参数方程⑥不等式选讲⑦定积分。删掉的考点大多为与主干知识无关的旁枝末节，一
定程度上减轻了考生备考的压力。
2. 新课程标准新增的考点在试卷中并没有考查，如百分位数、样本空间、全概率公式等等。
3. 由于删掉考点较多，因此逻辑单独考查的概率大增，逻辑部分主要关注两个知识点：命
题的否定和充分条件必要条件。
4. 函数导数、三角向量、解析几何这三个模块从考点到难度都几乎没有变化，大家正常备
考即可。
5. 数列近些年考的越来越难，不单单是等差等比计算类型的“送分”题目了，两份卷子的
压轴题核心难点都在于数列，有志于攻克压轴题的同学们务必引起重视。
6. 在删掉了三视图的情况下，此份模拟卷在立体几何部分反常地考查三道了小题，涵盖立
体几何的各个核心考点。是否成为常态尚不能确定。
三．整卷评析与备考建议
本次考试由教育部考试中心命题，权威性是毋庸置疑的。试卷的变化反映了2020 年新
高考试卷的改革方向，也是以后新高考题型结构、考查重点、命题趋势的风向标，课改地区
的同学们务必要关注和重视。
关于题型和考点已经给同学们做了详细的解读，除此之外，还有两点是大家需要注意
的：
1. 关于试卷难度：试卷整体难度并不大，小题没有偏难怪的题目，侧重于基础知识与通性
通法的考查，基础扎实的同学大多能顺利做出。解答题中除压轴题之外相对来说也都是比较
友好的。一方面由于文理合卷，难度应介于文科与理科之间；另一方面由于新加了多选题，
命题人在题目的实际难度上也会做相应的控制，因此试卷难度同学们不必过于担忧。
2. 拥抱变化，不畏变化。新高考看似变化非常大，但万变不离其宗，只要同学们科学认真
地备考，把根基打牢，所谓新题型不过是换一种考察形式而已。当然针对性的训练也是不可
缺少的，山东省今后所有的高三模拟卷都会有多选题，同学们不妨以考代练，培养应试技巧。
附：试卷题目与详细解析
2020 年普通高等学校招生考试全国统一考试（模拟卷）
数
学
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 设集合
,
|
2
A
x y
x
y
，
2
,
|
B
x y
y
x
，则A
B （ ）
A．
1 1， B.
-2 4
，
C.
1 1
-2 4
，，， D.
【答案】C
【解析】
,
|
2
A
x y
x
y
表示直线
2
x
y
上所有点构成的集合，
2
,
|
B
x y
y
x
表示抛物线
2
y
x
上所有点构成的集合，
所以A
B表示直线
2
x
y
与抛物线
2
y
x
交点所都成的集合，
由
2
2
1
2
1
4
x
y
x
x
y
y
y
x
或
,
故A
B
1 1
-2 4
，，，.
2. 已知
i
,
a
b a b
是1 i
1 i
的共轭复数，则a
b
（ ）
A．-1
B.
1
- 2
C. 1
2
D. 1
【答案】D
【解析】由
2
2
2
1 i
1 i
1 2i
i
2i
=
i
1 i
1 i 1 i
1 i
2
，
又
i
,
a
b a b
是1 i
1 i
的共轭复数，
则
0,
1
a
b
，则
1
a
b
.
3. 设向量
1,1 ,
1,3 ,
2,1 ,
a
b
c
且
a
b
c
，则=
（ ）
A．3
B. 2
C. -2
D. -3
【答案】A
【解析】因为
= 1,1
1,3
1
,1 3
a
b
，
由
a
b
c
，则
=0
a
b
c
，
则
1
,1 3
2,1 =2+2 +1 3
3
0
，
即=3
.
4.
10
1
x
x
的展开式中
4x 的系数是（ ）
A．-210
B. -120
C. 120
D. 210
【答案】B
【解析】
10
1
x
x
的展开式通项为
10
1
2
10
1
10
1
r
r
r
r
r
rT
C
x
x
x
，
令2
10
4
r
，解得
7
r
,
则展开式中
4x 的系数是
7
7
10
1
120
C
.
5. 已知三棱锥S
ABC
中，
,
4,
2 13,
2,
6,
2
SAB
ABC
SB
SC
AB
BC
则
三棱锥S
ABC
的体积是（ ）
A. 4
B. 6
c. 4 3
D. 6 3
【答案】C
【解析】由于
4,
2
SB
AB
且
2
SAB
，由勾股定理得
2
2
2 3
SA
SB
AB
同理可得
2
2
2 10
AC
AB
BC
计算可得
2
2
2
2
18
40
58
(2 13)
SA
AC
SC
由勾股定理的逆定理可得
2
SAC
即SA
AC
，又由SA
AB
，AC 平面ABC ，AB 平面ABC ，AB
AC
可知
SA 平面ABC ，因此三棱锥S
ABC
的体积
1
1
6
=4 3
3
ABC
V
SA S
SA AB BC
.
6.已知点A 为曲线
4 (
0)
y
x
x
x
上的动点，B 为圆
2
2
(
2)
1
x
y
上的动点，则AB 的
最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 3 2
D. 4 2
【答案】A
【解析】设圆心为点C ，半径为R . 由于曲线
4
y
x
x
和圆
2
2
(
2)
1
x
y
没有交点，根据圆外一点到圆上点距离的取值范围
性质可知
|
|
|
|
|
| AC
R
AB
AC
R
剕
?
因此只需求出AC 的最小值即可
注意到对勾函数
4 (
0)
y
x
x
x
的最低点为(2,4) ,圆心坐标(2,0) .
因此在最低点处|
|
AC 取到最小值（其它点横纵坐标差的绝对值均会变大）.
|
|
AC 最小值为4 ，|
|
AB 最小值为4 1
3
7.设命题p :所有正方形都是平行四边形，则
p
为（ ）
A. 所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形
C.有的正方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边形不是平行四边形
【答案】C
【解析】命题否定时，全称量词要变为存在量词，故原命题的否定是，“有的正方形不是平
行四边形”
8.若
1
a
b
c
，且
2
ac
b
，则（ ）
A. log
log
log
a
b
c
b
c
a
B. log
log
log
c
b
a
b
a
c
C. log
log
log
b
a
c
c
b
a
D. log
log
log
b
c
a
a
b
c
【答案】B
【解析】取特殊值：
16,
8,
2
a
b
c
，则
4
1
log
3,log
,log
3
4
a
c
b
b
a
c
，而
1
3
log
,log
,log
4
3
4
b
a
c
c
b
a
，故选B
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分。
9. 下图为某地区2006 年~2018 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图。根
据该折线图可知，该地区2006 年～2018 年 ( )
A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同
C. 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大
【答案】AD
【解析】由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A 正确；图中两曲线间隔越来越大，
说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B 错误，选项D 正确；又从图中可以看出财
政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C 错误，从
而选 AD.
10.已知双曲线C 过点(3, 2) 且渐近线为
3
3
y
x
，则下列结论正确的是（ ）
A. C 的方程为
2
2
1
3
x
y
B. C 的离心率为3
C.曲线
2
1
x
y
e
经过C 的一个焦点
D.直线
2
1
0
x
y
与C 有两个公共点
【答案】AC
【解析】
渐近线为
3
3
y
x
，
3
3
b
a
，设
2
2
:
1
9
3
x
y
C
，双曲线C 过点(3, 2)
1
3
，C 的方程为
2
2
1
3
x
y
，
2 3
3,
1,
2,
3
c
a
b
c
e
a
，故A 正确，B
错误.
曲线
2
1
x
y
e
经过(2,0) 为C 的一个焦点，C 正确.
直线
2
1
0
x
y
与C 联立，解得
2
y
，即直线与双曲线C 只有一个公共点，D 错
误.
故选AC.
11．正方体
1
1
1
1
ABCD
A BC D
的棱长为1，E ，F ，G 分别
为BC ，
1
CC ，
1
BB 的中点．则（ ）
A．直线
1
DD 与直线AF 垂直
B．直线
1AG 与平面AEF 平行
C．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9
8
D．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等
【答案】BC
【解析】
A 选项中，
1
1
DD
AA
∥
，而
1
AA 与AF 不垂直，故
1
DD 与AF 不
垂直，错误；
B 选项中，补全截面AEF ：连接
1
AD ，
1
FD ，∵
1
1
AD
BC
EF
∥
∥
，
∴
1
,
,
A D E F
,
四点共面，
∵
1
1
AG
D F
∥
，1AG 平面AEF ，1
D F 平面AEF ，∴
1AG∥
平面AEF ，正确；
C 选项中，截面
1
AD FE 为等腰梯形，
2
2
EF
，
1
2
AD
，
1
5
2
AE
D F
，
求得高为3 2
4
，面积
9
8
S
，正确；
D 选项中，连接CG ，交EF 于点H ，H 不是CG 的中点，故
,
C G 到平面AEF 的距离不相
等，错误．综上，正确的选项为B，C．
12.函数
( )
f x 的定义域为R ，且
(
1)
f x
与
(
2)
f x
都为奇函数，则（ ）
A.
( )
f x 为奇函数 B.
( )
f x 为周期函数
C.
(
3)
f x
为奇函数 D.
(
4)
f x
为偶函数
【答案】ABC
【解析】由
(
1)
f x
为奇函数，有
(
1)
(
1)
f x
f
x
；由
(
2)
f x
为奇函数，有
(
2)
(
2
f x
f
x
，
因此
(
2)
(
2)
( (
1)
1)
((
1)
1)
( )
f x
f
x
f
x
f
x
f x
，故B 正确；
于是
( )
(
2)
f x
f x
，故A 正确；
(
3)
(
1)
f x
f x
，故C 正确；
取
1
tan
,
(
)
2
( )
1
0,
(
)
2
x
x
k
k
f x
x
k
k
Z
Z
，则
( )
f x 满足条件，但
(
4)
( )
f x
f x
不是偶函数，故
答案为ABC．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.某元宵灯谜竞猜节目，有6 名守擂选手和6 名复活选手，从复活选手中挑选1 名选手为
攻擂者，从守擂选手中挑选1 名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有
________种
【答案】36
【解析】由分步乘法计数原理可知，从复活选手中挑选1 名选手为攻擂者，有
1
6
6
C
种可
能，从守擂选手中挑选1 名选手为守擂者，有
1
6
6
C
种可能，则攻擂者、守擂者的不同构
成方式共有
1
1
6
6
36
C C
种
14.已知
4 3
cos(
)
sin
6
5
=
，则
11
sin(
)
6
____________.
【答案】
4
5
【解析】cos(
)
sin
6
3
1
cos
sin
sin
2
2
3
3
cos
sin
2
2
3sin(
)
6
4 3
5
4
sin(
)
6
5
11
4
sin(
)
sin(
2 )
sin(
)
sin(
)
6
6
6
6
5
15.直线l 过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点
(1,0)
F
，且与C 交于A ，B 两点，则p
=_____，
1
1
AF
BF
_____.（本题第一空2 分，第二空3 分）
【答案】2 1
【解析】
（1）由已知，该抛物线开口向右，焦点坐标为(
,0)
2
p
故
1,
2
2
p
p
（2）该抛物线开口向右，由抛物线焦半径结论可知：
,
1 cos
1 cos
p
p
AF =
BF =
1
1
2
2
1
2
AF
BF
p
16．半径为2 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ，AC ，AD 两两垂直，则
ABC
△
，
ACD
△
与
ADB
△
面积之和的最大值为 ．
【答案】8
【解析】
由题设知AB ，AC ，AD 两两垂直，故可将三棱锥A
BCD
嵌入长方体中，
其中AB ，AC ，AD 的长度分别为长方体的长a ，宽b ，高c ，
且长方体体对角线为球的直径，由勾股定理得
2
2
2
2
2
16
R
a
b
c
，
则
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
8
2
2
2
4
4
ABC
ACD
ADB
S
S
S
ab
bc
ac
ab
bc
ac
a
b
c
△
△
△
，
当且仅当
4 3
3
a
b
c
时取等，故面积之和最大值为8．
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的
存在，求
的值；若
不存在，说明理由.
设等差数列
的前
项和为
，
是等比数列， ，
1
3
2
b
b
a
4
4
a
b
5
25
S
k
k
k
{ }
na
n
n
S
{ }
nb
，是否存在
，使得
且
【解析】
设数列
的公比为
，则有
① 若
则有
及
设
的公差为
,则
由二次函数性质可知：当
时，
取到最大值，因此
即
时问题中的要求成立.
② 若
则有
及
设
的公差为
,则
即数列
单调递减
而
矛盾.一次你不存在
满足题目中的条件.
③
5
3
5
25
a
S
3
5
a
又
5
1
a
2
11
na
n
1
5
2
5
,
3,
81
b
a b
b
k
1
k
k
S
S
1
2
k
k
S
S
{b }
n
q
3
5
2
27
b
b
q
3
q
1
( 3)n
nb
1
3
2
b
b
a
2
1 9
10
a
5
1
1
a
b
{
}
na
d
5
2
3
3
a
a
d
2
1
(
1)
2
2
9
2
2
3
n
n n
S
d
na
n
n
5
n
n
S
5
4
5
6
,
S
S S
S
4
k
4
4
a
b
4
4
27
a
b
5
1
1
a
b
{ }
na
d
5
4
28
a
d
a
{ }
na
1
1
0
k
k
k
S
S
a
2
1
2
0
k
k
k
S
S
a
k
2
10
n
n
n
S
5
n
时
n
S 取到最大值
即
5
4
5
6
,
S
S S
S
即
4
k
时问题中的要求成立.
18.
在
ABC
△
中，
90
A
，点D 在BC 边上，在平面ABC 内，过D 作DF
BC
且
DF
AC
.
（1）若D 为BC 的中点，且
CDF
△
的面积等于
ABC
△
的面积，求
ABC
；
（2）若
=45
ABC
，且
3
BD
CD
，求cos
CFB
.
【答案】（1）
= 3
ABC
；（2）
5 17
cos
=
51
CFB
【解析】（1）由题可得
CDF
ABC
S
S
△
△
，即1
1
2
2
CD DF
AB AC
，
又因为DF
AC
，所以CD
AB
，且D 为BC 中点，
所以
1
= 2
AB
CD
BC
，
1
cos
2
AB
ABC
BC
.
那么
= 3
ABC
.
（2）由题可得
45
,
ABC
ACB
AB
AC
DF
不妨设AB
AC
DF
t
，则
2
2 = 2
BC
AB
AC
t
，
因为
3
BD
CD
，所以
1
2
3
,
2
4
4
4
CD
BC
t BD
t
，
则
2
2
2
17
8
BF
DF
BD
t
，
2
2
2
2
9
8
CF
CD
DF
t
，
2
2
2
2
2
2
17
9
2
5 17
8
8
cos
2
51
17
9
2
8
8
t
t
t
CF
BF
BC
CFB
CF BF
t
t
.
19．如图，四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD为矩形，SA 平面ABCD，E ，F 分别为AD ，
SC 的中点，EF 与平面ABCD所成的角为45°．
⑴证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；
⑵若
1
2
EF
BC
，求二面角B
SC
D
的余弦值．
【解析】
⑴取SB 中点G ，取AB 中点H ，连接AG ，FG ，HG ，
∵E ，F ，G ，H 分别为AD ，SC ，SB ，AB 的中点，
∴FG
BC
∥
且
1
2
FG
BC
，
1
2
AE
AD
，HG
SA
∥
，
∵四边形ABCD为矩形，AB
AD
，AD
BC
∥
且AD
BC
，
∴AE
FG
∥
且AE
FG
，四边形AEFG 为平行四边形，
EF
AG
∥
且EF
AG
，
∵SA 平面ABCD，HG
SA
∥
∴HG 平面ABCD，
GAH
等于EF 与平面ABCD 所成的角，即
45
GAH
，
SA
AB
，SA
AD
，
又∵在Rt
SAB
△
中，AG 为斜边SB 的中线，
∴AG
SG
BG
，
45
GBA
GSA
，即
SAB
△
为等腰直角三角形，AG
SB
，
∵SA
AD
，AB
AD
，AG 平面SAB
∴AD 平面SAB ，AD
AG
，则BC
AG
，
∴AG 平面SBC ，AG
SC
，而EF
AG
∥
，
故EF
AD
，EF
SC
，即EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线．
⑵过点D 作DM
SC
，垂足为M ；过点M 作MN
SC
，垂足为N ，连接DN ，
∵SC 为二面角B
SC
D
的棱，DM
SC
，MN
SC
，
∴
DMN
为二面角B
SC
D
的平面角，
∵EF
AG
，
1
2
EF
BC
，
1
2
AG
SB
，∴SB
BC
，
不妨设
4
SC
，则
2 2
SB
BC
AD
，
2
SA
AB
CD
，
2 3
SD
，
在Rt
SCD
△
中，由三角函数知
60
SCD
，故在
Rt
MCD
△
中，
1
CM ，
3
DM
，
在Rt
SBC
△
中，由三角函数知
45
SCB
，故在
Rt
CMN
△
中，
1
MN ，
2
CN
，
在Rt
DCN
△
中，由勾股定理知
6
DN
，
利用余弦定理，求得
2
2
2
3
2
3
DM
MN
DN
DMN
DM MN
，
即二面角B
SC
D
的余弦值为
3
3
．
20. 下面给出了根据我国2012 年～2018 年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x 绘制
的散点图和线性回归方程的残差图（2012 年~ 2018 年的年份代码x 分别为1～7）．
(1) 根据散点图分析y 与x 之间的相关关系：
(2) 根据散点图相应数据计算得
,
4517
,
1074
7
1
7
1
i
i
i
i
i
y
x
y
，求y 关于x 的线性回归方
程；
(3) 根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果. (精确到0.01)
【答案】(1) 正相关关系 (2)
87
.
121
89
.7
ˆ
x
y
(3) 拟合效果较好，原因见解析.
【解析】
(1) 由散点图可以看出，当x 由小变大时，y 也由小变大，从而y 与x 之间呈正相关关系.
(2) 由题中数据可得：
,
43
.
153
1074
7
1
,4
)
7
6
5
4
3
2
1(
7
1
y
x
从而有：
,
89
.7
28
221
4
7
7
6
5
4
3
2
1
4
1074
7
1
7
4517
7
7
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
7
1
2
2
7
1
i
i
i
i
i
x
x
y
x
y
x
b
,
87
.
121
4
89
.7
43
.
153
ˆ
ˆ
x
b
y
a
从而所求y 关于x 的线性回归方程为
87
.
121
89
.7
ˆ
x
y
.
(3) 由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟
合效果较好．
21.
设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点
3
(1,
)
2
，且离心率为
3
2
. F 为E 的右焦点，P
为E 上一点，PF
x
轴，
F 的半径为PF.
(1) 求E 和
F 的方程；
(2) 若直线:
(
3)(
0)
l y
k x
k
与
F 交于A、B 两点，与E 交于C、D 两点，其中A、
C 在第一象限，是否存在k 使|
| |
|
AC
BD
？，若存在，求l 的方程，若不存在，说明理
由。
【答案】
（1）椭圆E 的方程
2
2
1
4
x
y
；
F 的方程
2
2
1
(
3)
4
x
y
（2）不存在k 使|
| |
|
AC
BD
【解析】
(1) 设椭圆方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
3
2
c
e
a
，
1
2
b
a
又
椭圆E 过点
3
(1,
)
2
，代入得
2
2
1
3
1
4
a
b
1,
2
b
a
，椭圆E 的方程
2
2
1
4
x
y
3, ( 3,0)
c
F
，又
PF
x
轴，
1
( 3,
)
2
P
1
|
|
2
r
PF
2
2
1
:(
3)
4
F
x
y
(2) 不存在，理由如下：
A、C 在第一象限，要使|
| |
|
AC
BD
，则|
| |
|
AB
CD
，而|
| 2
1
AB
r
联立直线:
(
3)(
0)
l y
k x
k
与椭圆方程
2
2
1
4
x
y
，
整理得
2
2
2
2
(1
4
)
8 3
12
4
0
k
x
k x
k
2
2
1
2
1
2
2
2
8 3
12
4
,
1
4
1
4
k
k
x
x
x
x
k
k
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
|
|
1
(
)
4
CD
k
x
x
k
x
x
x
x
代入得
2
3
|
| 1
1
1
4
CD
k
故不存在
0
k
满足条件.
说明：|
|
CD 其实是过焦点F 的焦点弦，椭圆的焦点弦中最短的是通径，在本题中即
2
1
2
2
|
|
1
b
PP
a
，其斜率不存在，而
0
k
，所以焦点弦|
| 1
|
|
CD
AB
，即不存在
0
k
满足题意.
22.
函数
( )
(
0)
1
a
x
f x
x
x
，曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线在y 轴上的截距为11
2
.
（1）求a ；
（2）讨论
2
( )
( ( ))
g x
x f x
的单调性；
（3）设
1
1
1,
(
)
n
n
a
a
f a
，证明：
2
2
2ln
ln7
1
x
na
.
【答案】（1）
7
a
（2）( )
g x 在(0,
)
上单调递增
【解析】（1）
'
2
1
( )
,
(1
)
a
f
x
x
'
1
(1)
4
a
k
f
又
1
(1)
2
a
f
，
所以切线方程为：
1
1
(
1)
2
4
a
a
y
x
即：
1
3
1
4
4
a
a
y
x
又切线在y 轴上截距为11
2
，所以3
1
11,
7
4
2
a
a
；
（2）由（1）得
7
( )
1
x
f x
x
则
2
7
( )
(
) ,
1
x
g x
x
x
定义域为(0,
)
，
'
2
2
7
7 (1
)
(
7)
( )
(
)
2 (
)
1
1
(1
)
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
2
2
3
3
7
6
(
7)(
4
7)
(
)
2 (
7)
0
1
(1
)
(1
)
x
x
x
x
x x
x
x
x
( )
g x
在(0,
)
上单调递增．
（3）法一：
由题意知
0
na
，
1
7
1
7
7
7
7
7
7
7
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
，
故
1
7
na
与
7
na
异号，且
1
7
0
a
，
则当n 为奇数时，
7
na
；当n 为偶数时，
7
na
．
①当n 为奇数时，
7
na
，2ln
ln7
0
na
，
1
2ln
ln7
0
na
，结合⑵结论可知，
2
2
1
2ln
ln
2ln
ln
ln
ln 7
7
ln7
ln 7
n
n
n
n
n
n
a
a
f a
a
a f a
f
，
1
1
2ln
ln7
ln
ln 7
2ln
ln7
2
n
n
n
a
a
a
，
1
2ln
ln7
1
0
2
2ln
ln7
n
n
a
a
，
1
2ln
ln7
1
0
2ln
ln7
2
n
n
a
a
，
②当n 为偶数时，
7
na
，同理可得
1
2ln
ln7
1
0
2ln
ln7
2
n
n
a
a
，
即
1
2ln
ln7
1
0
2ln
ln7
2
n
n
a
a
对任意正整数n 恒成立，而
1
1
0
2ln
ln7
ln7
2
a
，
故
1
2
2
1
1
1
2ln
ln7
2ln
ln7
1
1
2ln
ln7
2ln
ln7
2
2ln
ln7
2ln
ln7
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
，
即
2
2
2ln
ln7
1
n
na
．
法二：
1
n 时1
ln7
| 2ln1 ln7 |
1
2
2
成立
当
2
n… 时
由对数均值不等式ln
ln
1
a
b
a
b
ab
可知
2
2
lna
ln7
1
7
7
n
n
n
a
a
即
2
2
7
lna
ln7
7
n
n
n
a
a
，因此只需证
2
2
7
1
2
7
n
n
n
a
a
当
2
n
时，由
2
4
a
可知
2
2
2
7
81
1
112
7
4
9
7
a
a
，不等式成立
假设n
k
时不等式成立，即
2
2
7
1
2
7
k
k
k
a
a
，则
2
2
2
1
2
1
7
7
1
1
7
1
7
7
7
6(
7)
7(
1)(
7)
(
7)
7
6
8
7
k
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
由
2
2
4
7
(
2)
3
0
n
n
n
a
a
a
可知
2
7
1
8
|
2|
n
n
n
a
a
a
因此
2
1
1
1
2
7
7
1
2
7
2 7
k
k
k
k
k
a
a
a
a
即不等式对
1
n
k
仍成立
因此不等式对任意n 恒成立.
解析由学而思网校高中数学教研提供
武洪姣 王博闻 朱思琦 祝斌 刘坤
徐强 吴旭 刘小钦 文博 王侃
