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1
几何条件的代数转化
(一)斜率与角度问题
1.直线的斜率
斜率：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常
用小写字母k 表示，也就是k=tanα。
直线的斜率公式:设𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)则：k=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥1 ≠𝑥2)。
2. 角度条件的转化
当AOB 三点不共线的时候:
①∠AOB 为直角，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
②∠AOB 为锐角，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ > 0
③∠AOB 为钝角，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ < 0
当不确定三点是否共线时：
①∠AOB 为直角，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 且 O 点与A 点B 点都不重合。
②∠AOB 为锐角，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ > 0 且排除两向量共线的情况
③∠AOB 为钝角，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ < 0 且排除两向量共线的情况
总结：解决斜率与角度的问题时，由于斜率和角度这两个都是形的概念，无法直
接进行计算，所以一般要将其转化为数的概念，然后进行计算。当然并不是对于
所有相关的问题都是需要无脑按照上面的方法进行转化，一切的目的是为了在做
出题目的同时尽量的减少计算量。
（二）弦长与面积问题要点及例题
一. 直线方程的处理
若直线方程未给出，应先假设。
（1）若已知直线过点
0
0
(
,
)
x
y
，则假设方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
-
=
-
；
（2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y
kx m
=
+
；
（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y
kx m
=
+
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
2
（4）若已知直线恒过x 轴上一点( ,0)
t
，且水平线不满足条件（斜率为0），可以
假设直线为x
my t
=
+ 。【反斜截式，
1
m
k
=
】不含垂直于y 轴的情况（水平线）.
二.弦长公式
若直线:l y
kx
m
与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交于,
P Q 两点，
求弦长|
|
PQ 的步骤： 设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
Q x
y
，联立方程组（将直线方程代入椭圆
方程）：
2
2
2
2
2
2
,
,
y
kx
m
b x
a y
a b
消去y 整理成关于x 的一元二次方程：
2
0
Ax
Bx
C
，则
1
2
,
x x 是上式的两个根，
2
4
0
B
AC
；由韦达定理得：
1
2
,
B
x
x
A
1
2
,
C
x x
A
又
,
P Q 两点在直线l 上，故
1
1
2
2
,
y
kx
m y
kx
m
，则
2
1
2
1
(
)
y
y
k x
x
，从而
2
2
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
PQ
x
x
y
y
2
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
k
x
x
2
2
2
1
(1
)(
)
k
x
x
2
2
1
2
1
2
(1
)[(
)
4
]
k
x
x
x x
2
2
(1
)
k
A
【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：
2
0
Ay
By C
+
+
= ，
则
2
2
1
2
1
|
|
(1
)(
)
PQ
y
y
k
2
2
1
(1
)
k
A
】
三、其他常见问题处理
（1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角
线中点重合）
（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1
- ），其次考虑是否需要
求圆的方程。
（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化
为斜率求解；
（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：
,(
)
2
a b c
S
rp
p
D
+ +
=
=
这里
；
（5）圆的弦长用垂径定理；
3
（6）涉及到焦点要联想到定义；
（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
四、高考原题练习：
例1．（2007 山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，椭圆的短
轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为
2
a
x
c
=?
)
间的距离为4(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B
两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.
例1.解：(1)
2
2
1
2
x
y
.
（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
1
1
2
2
2, ( ,
), (
,
)
y
kx
A x y
B x
y
由
2
2
2
2
2
y
kx
x
y
，消去y 得关于x 的方程：
2
2
(1 2
)
8
6
0
k
x
kx
由直线l 与椭圆相交于A、B 两点，
2
2
2
64
24(1
2
)
8(2
3)
0
k
k
k
解得
2
3
2
k
又由韦达定理得
1
2
1
2
2
2
8
6
,
1 2
1 2
k
x
x
x x
k
k
,|
|
AB
2
2
2
2
8(2
3)
(1
) (1 2
)
k
k
k
点O 到直线l 的距离
2
2
1
d
k
，
2
2
2
2
8(2
3)
1
2 2 2
3
|
|
2
1 2
1 2
AOB
k
k
S
AB d
k
k
令
2
2
3(
0)
m
k
m
，
则
2
2
2
3
k
m
，
2
2 2
2 2
2
4
4
2
m
S
m
m
m
当且仅当
4
m
m
即
2
m
时，
max
2
2
S
此时
14
2
k
.所求直线为±√14𝑥−
2𝑦+ 4=0
解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.设直线l 的方程为
1
1
2
2
2, ( ,
), (
,
)
y
kx
A x y
B x
y
，则直线l 与x 轴的交点
2
(
,0)
D
k
，由解法一知
2
3
2
k
4
且
1
2
1
2
2
2
8
6
,
1 2
1 2
k
x
x
x x
k
k
，
解法（1）：
1
2
1
2
1
1 2
|
| |
|
|
| |
2
2|
2
2
AOB
S
OD
y
y
kx
kx
k
=
1
2
|
|
x
x
2
2 2
1
2
(
)
4
x
x
x x
2
2
16
24
1 2
k
k
2
2
2 2 2
3
1 2
k
k
.下同解法一.
解法（2）：
AOB
POB
POA
S
S
S
2
1
1
2 ||
|
|
||
2
x
x
2
1
|
|
x
x
=
2
2
2 2 2
3
1 2
k
k
.下同
解法一.
例2、(2014 全国I 卷理)已知点A(0，－2)，椭圆E：x
2
a
2＋y
2
b
2＝1(a>b>0)的离心率
为3
2 ，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为2 3
3 ，O 为坐标原点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求
l 的方程．
例2．解：
(1) x
2
4＋y
2＝1.
(2)当l⊥x 轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx
－2 代入x
2
4＋y
2＝1 得(1＋4k
2)x
2－16kx＋12＝0，当Δ＝16(4k
2－3)>0，即k
2>3
4
时，从而|PQ|＝
2
2
2
2
16(4
3)
(1
) (4
1)
k
k
k
-
+
+
=4 k
2＋1· 4k
2－3
4k
2＋1
.
又点O 到直线l 的距离d＝
2
k
2＋1，所以△OPQ 的面积S△OPQ＝1
2d·|PQ|＝4 4k
2－3
4k
2＋1 .
设4k
2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝4t
t
2＋4＝4
t＋4
t
.因为t＋4
t≥4，当且仅当t＝2，即k
5
＝± 7
2 时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k＝± 7
2 ，l 的
方程为y＝± 7
2 x - 2
