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解三角形课后总结
一、必会知识点
1.正弦定理与余弦定理
1）正弦定理：在三角形中，各边的长与它所对的角的正弦的比相等，即
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵=
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶=2R(R 为△ABC 的外接圆半径)。
2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们夹角的余
弦的积的两倍。即：
{
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 −2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 −2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴
或者变形为：
{
𝑐𝑜𝑠𝐶=
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏
𝑐𝑜𝑠𝐵=
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑐
𝑐𝑜𝑠𝐴=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
2.解三角形的情况
(1)利用正弦定理可以解以下两种类型的三角形:
①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．
(2)利用余弦定理可以解以下三种类型的三角形:
①已知三角形的两边及它们的夹角解三角形；
②已知三角形的三边解三角形；
③已知三角形的两边与一边的对角，可利用余弦定理先求出另一边，进而求出另外两个
角．
解三角形时，绝大多数的情况，题目时不会给到边和角的大小，而是给到一个关系式。此
时我们就需要用到边角互化的知识和一些重要的关系式。
由A+B+C=π可以得到重要的关系式：
①sin(A+B)= sinC,cos(A+B)=- cosC
②sin
𝐴+𝐵
2
= cos
𝐶
2, cos
𝐴+𝐵
2
= sin
𝐶
2
③𝑎> 𝑏⟺𝐴> 𝐵⟺𝑠𝑖𝑛𝐴> 𝑠𝑖𝑛𝐵.
边角互化公式：
2
①𝑎: b: c = 𝑠𝑖𝑛𝐴: 𝑠𝑖𝑛𝐵: 𝑠𝑖𝑛𝐶
②𝑎= 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴, 𝑏= 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐵, 𝑐= 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐶
③𝑠𝑖𝑛𝐴=
𝑎
2𝑅, 𝑠𝑖𝑛𝐵=
𝑏
2𝑅, 𝑠𝑖𝑛𝐶=
𝑐
2𝑅
3.解双三角形
解双三角形时，两个三角形组成的图形一般有四边形和三角形两种情况。
组合图形是三角形时：
需要注意邻角之和是180°，故这两个角的正弦值相等，余弦值互为相反数。
组合图形是四边形时：
如果是圆的内接四边形，注意对角之和等于180°。如果不是圆的内接四边形直接通过公共
边作为桥梁解题即可。
二、易错点
易错点1 公式记忆错误。
易错点2 分不清合适运用正弦定理，合适运用余弦定理。
易错点3 经常局限于正余弦定理解题，而忘记之前学习的三角函数，三角恒等变换。
