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理数（目标清北）课后总结第13讲-e7caca23f51a_学而思高三全套_2019秋季高三直播_秋季目标清北班高三理科数学1(1).5轮复习直播班（全国）16讲王侃_资料

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1
圆锥曲线的几何性质课后总结
一、离心率问题
圆锥曲线
类型
椭圆
双曲线
抛物线
标准方程
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b






2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




2
2
y
p x



0
p 
轴长
长轴长a
2
，短轴长2b
实轴长a
2
，虚轴长2b
焦距
2
2
2
1
2
2
(
)
F F
c
c
a
b



2
2
2
1
2
2
(
)
F F
c
c
a
b



焦准距p
顶点


1
,0
a


、


2
,0
a



1 0, b


、


2 0,b



1
,0
a


、


2
,0
a



0,0
离心率݁
uܿܽ᩸
ሺ. 2݁
2 61݁
uܿܽ᩸
ሺ݁൐61
1
e 
二、圆锥曲线中的重要结论
1、椭圆（以
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




为例）
①焦点三角形△ܯܨ6ܨʹ,周长为
c
a
2
2 
，面积为
1 2
2
1
2
tan
(
)
2
MF F
S
b
F MF





。
②焦半径公式：左焦半径：ܯܨ6 uܽ
൅݁ݔ.，右焦半径：ܯܨʹ uܽ
−݁ݔ.
③焦点弦长度最大值为长轴长a
2 ，最小值为通径
.
2
2
a
b
④椭圆上任一点（除长轴两端点）与两长轴端点连线的斜率之积为定值：
.
2
2
2
1
a
b
k
k
PA
PA



⑤点差公式：
2
2
a
b
k
k
OM
PQ



（PQ为椭圆上任意一条弦，M 为弦中点）
⑥椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




上一点
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b

.
⑦过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




外一点
0
0
(
,
)
P x
y
所引两条切线的切点弦方程是
2
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b

.
2、双曲线（以


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




为例）
2 焦点三角形△
2
1F
PF
,周长为
c
a
2
2 
，面积为
）
（
△
2
1
2
2
2
cot
1
PF
F
b
S
F
PF





。
②焦半径公式：ܯܨ6 u tܽ൅݁ݔ.t，ܯܨʹ u t݁ݔ. െܽ
t|.
③双曲线任一点（两实轴端点除外）与两实轴端点连线的斜率之积为定值：
.
2
2
2
1
a
b
k
k
PA
PA


④点差公式：
2
2
a
b
k
k
OM
PQ


（PQ为双曲线上任意一条弦，M 为弦中点）
⑤双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




上一点
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b

.
⑥过双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




外一点
0
0
(
,
)
P x
y
所引两条切线的切点弦方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b

.
3、抛物线（以
px
y
2
2 
)
0
(

p
为例）
①焦半径
0
2
p
CF
x


.
②焦点弦长
p
x
x
p
x
p
x
CD







2
1
2
1
2
2
.
③抛物线
px
y
2
2 
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程是
0
0
(
)
y y
p x
x


.
④过抛物线
px
y
2
2 
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
所引两条切线的切点弦方程是
0
0
(
)
y y
p x
x


.

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