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跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——三角与向量
2 次课
主题
课时一
三角函数与平面向量
课时二
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形
本讲内容：
一、三角恒等变换
1. 常见套路
弦化切与切化弦
整角代换
sin
cos
a
x
b
x
化正弦型函数
降幂公式
2. 给值求值问题
3. 给角求值问题
二、解三角形
1. 解三角形基础问题
2. 边角互化
3. 面积相关问题
4. 最值范围问题
跟着数学，玩转侃叔
模块一三角恒等变换
【知识总结】
1．同角三角函数基本关系：
（正余关系）
2
2
sin
cos
1
，
（切弦关系）
sin
tan
cos
．
2．诱导公式：
⑴周期性：
sin
2 π
k
cos
2 π
k
tan
π
k
⑵奇偶性：
sin
cos
tan
⑶与
π
：
sin
π
cos
π
⑷与π
：
sin π
cos π
tan π
⑸与π
2
：
π
sin 2
π
cos 2
⑹与π
2
：
π
sin
2
π
cos
2
3．和差角公式：
sin
sin
cos
cos
tan
tan
4．辅助角公式：
2
2
sin
cos
sin
a
b
a
b
，其中角满足
2
2
sin
b
a
b
，
2
2
cos
a
a
b
．
5．二倍角公式：
sin 2
cos2
tan 2
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【方法点拨】常见套路
1、弦化切与切化弦
（1）关于正弦、余弦的齐次式可以变形为关于正切的式子，由此直接求正切或由正切求值．
（2）式子中切与弦同时出现，且难以作弦化切，则考虑把切化为弦．
2、整角代换
给值求值问题，关键在于将已知的角作为整体，去表示所求的角，这一步称为整角代换．
3、
sin
cos
a
x
b
x
化正弦型函数
解题中经常遇到
sin
cos
a
x
b
x
这种一次型的式子，处理手段是利用辅助角公式化为正弦型函
数．
4、降幂公式
这组公式是二倍角公式的变形，称之为降幂公式．它的作用是将二次变为一次，往往与辅助角
公式结合使用．
【题型归纳】
题型1——常见套路
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆
【例1】
（1）已知
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
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【解析】由
得
，解得
，
，故选A．
（2）已知
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得
，
，选A．
（3）（2017 新课标II 卷文科13）函数
的最大值为________．
【答案】
【解析】
．
（4）（2013 新课标I 卷理科15）设当
时，函数
取得最大值，则
________．
【答案】
【解析】
，其中
，
，当
时函数
取
到最大值，即
，则
，所以
．
（5）函数
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
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【解析】
题型2——给值求值问题
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆
【例2】
（1）已知
，
，且
，
，则
的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：
，
，
，
，
，而
，
，
，
，
.
（2）已知在
中，
，
，则
的值为（
）
A.
或
B.
或
C.
D.
【答案】D
【解析】在
中，
，
，
．
因为
，所以
．
又
，所以
，所以
，所以
为锐角，故
．
从而
．
（3）已知在
ABC
△
中，
3
sin
5
A
，
12
sin
13
B
，则cosC 的值为（
）
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A．
16
65
或56
65
B．16
65 或56
65
C．56
65
D．16
65
【解析】在
ABC
△
中，0
π
B
，0
π
A
，
π
A
B
C
．
因为sin
sin
B
A
，所以B
A
，
所以A 为锐角，故
4
cos
5
A
，
5
cos
13
B
，
从而
cos
cos π
C
A
B
cos A
B
cos
cos
sin
sin
A
B
A
B
16
65
或
16
65
．
（4）若
与
是锐角，
，
，则
________．
【答案】
【解析】
为锐角，
，
，
，
当
时，
，不符合题意，所以舍去.
当
时，
，
．
（5）已知
，
，
，求
的值．
【答案】
【解析】
，
又由
，
，即
．①
，
，
．得到
．②
由①，②知
．
，
．
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题型3——给角求值问题
重要性：☆☆
难度：☆☆☆
【例3】
（1）计算
________．
【答案】
【解析】解：
．
（2）
的值为________．
【答案】
（3）
________．
【解析】
．
（4）求值：
________．
【答案】4
【解析】
（5）计算：
________．
【答案】2
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【解析】
．
（6）
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得，
．
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模块二解三角形
【知识总结】
1．正弦定理：
2．余弦定理：
2c
cosC
3．三角形面积公式：S
解三角形问题，也就是利用三角形内蕴的基本方程或不等式（正弦定理、余弦定理，三角形内
角和定理，三角形三边的不等式关系），解决给定代数条件下或几何条件下的三角形三条边与
三个角的度量问题.
【方法点拨】
1．利用正余弦定理解题时，注意是否有多解情况：
①由sin A 求A ，注意A 可能有锐角、钝角两种情况；
②结论：在
ABC
△
中，A
B
sin
sin
A
B
；常利用该结论舍去多余的解．
2．边化角的技巧：
①
2 sin
a
R
A
，
2 sin
b
R
B
，
2 sin
c
R
C
（R 为
ABC
△
的外接圆半径）；
②遇到
2
2
2
,
,
,
,
,
a
b
c
ab bc ca 相关的整体，考虑套用余弦定理．
3．角化边的技巧：
①sin
2
a
A
R
，sin
2
b
B
R
，sin
2
c
C
R
；
②cos , cos , cos
A
B
C 利用余弦定理化为边；
③遇到tan ,tan ,tan
A
B
C ，先切化弦，再全部化为边．
4．若题中涉及
,
,
A B C 三个内角，考虑用
π
C
A
B
消元．
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【题型归纳】
题型1——解三角形基础问题
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆
【例4】
（1）在
中，
，
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
或
【答案】D
【解析】解：在
中，
，
，
，
由正弦定理可得：
，
，
或
．
（2）（2017 新课标III）
的内角
，
，
的对边分别为
，，，已知
，
，
，则
________．
【答案】
【解析】根据正弦定理可得
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）
中，
，，分别为角
，
，
的对边，已知
，
，
，
则
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：
，
由余弦定理得
，可得：
，整理可得：
，解得：
或
(舍去)．故选：D．
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（4）已知
，
，
分别是
内角
，
，
的对边，
，
，
，则
________．
【答案】1
【解析】
中，
，
，
，
，
，
，
，
．
题型2——边角互化
重要性：☆☆☆☆☆
难度：☆☆☆
【例5】
（1）在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，若
，则角
等于(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：
，
，
，
由余弦定理可得：
，
是三角形的内角，
．
（2）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
，
则角C 的度数为________．
【答案】
【解析】解：由
，则
，
即
，
由正弦定理得
，
，
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，
即
，
，
，即
，即
．
（3）已知在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，
，
由正弦定理可得：
，可得：
，
为锐角，
，
．
（4）在
中，角
，
，
的对边分别
，
，
，若
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】在
中，
，所以
．
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题型3——面积相关问题
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆
【例6】
（1）
（2015 天津卷13）在
中，内角
，
，所对的边分别为
，，．已知
的面积为
，
，
，则
的值为________．
【答案】8
【解析】解：
，
．
，化为
，
又
，解得
，
．由余弦定理可得：
．解得
．
（2）（2019 年新课标Ⅱ卷）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．若
，
，
，则
的面积为________．
【答案】
【解析】解：由余弦定理有
，
，
，
，
，
，
，故答案为：
．
（3）（2018 新课标III 卷9）
的内角
，
，
的对边分别为
，，．若
的面积为
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．
的面积为
，
，
，
，
．故选：C．
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题型4——最值范围问题
重要性：☆☆☆
难度：☆☆☆☆
【例7】
（1）在
中，
，
，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】令
,
,
,由余弦定理变形公式得
,且
,故选B．
（2）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，则
的
最大值是________．
【答案】
【解析】解：根据题意，
中，若
，则有
，
变形可得：
，
则有
，即
，
分析可得：当
时，
取得最大值，则有
，即
的最大值
是
，故答案为：
．
（3）在
中，
，
，
依次成等差数列，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：由已知得
(显然
，若
，因为
且
，
，这与
矛盾)，
又因为：
，
所以：
．
跟着数学，玩转侃叔
又因为：
，
因此：
，又
，所以
，可得：
，即
的取值范围
是
．
【例8】（2019 年新课标Ⅲ）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
．
（1）求
．
（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
（1）【答案】
【解析】解：
，即为
，
可得
，
，
，若
，可得
，
，不成
立，
，由
，可得
．
（2）【答案】
【解析】解：若
为锐角三角形，且
，
由余弦定理可得
，
由
为锐角三角形，可得
且
，
解得
，可得
面积
．
