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跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——导数
6 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
隐零点问题
课时四（10.19）
零点个数问题
课时五（10.26）
极值点偏移
课时六（11.2）
函数放缩与不等式证明
跟着数学，玩转侃叔
第六讲
函数放缩与不等式证明
本讲重要性：★★★★
难度：★★★★
本讲内容：
一、对指数与对数的放缩方式
1、需要牢记的几组放缩
2、切线放缩
3、放缩为任一幂次
二、单变量不等式的证明
1、指数型、对数型
2、指对混合型
3、对参数的处理手法
三、双变量不等式的证明
1、比值代换
2、主元法
3、分离变量
跟着数学，玩转侃叔
一、对指数与对数的放缩方式
1、需要牢记的几组放缩
e
1
ln(
1)
(
0
)
1
x
x
x
x
x
x
时取等
1
e
ln
1(
1
)
x
x
x
x
时取等
e
e (
1
)
ln
(
e
)
e
x
x x
x
x
x
时取等
时取等
2、切线放缩
通过切线放缩可以将指数、对数放缩为任一给定斜率的一次函数.
3、放缩为任一幂次
e
e
e
e
e
e
n
x
x
x
n
x
x
n
n
x
x
x
n
n
两边次方
1
1
ln
ln
ln
e
e
e
n
n
n
n
x x
x
x
n x
x
x
x
跟着数学，玩转侃叔
二、单变量不等式的证明
1、指数型、对数型
常用方法：
（1）作差构造
（2）重构函数
【例1】【2016 全国2 卷】证明当
时，
【解析】
的定义域为
．
当且仅当
时，
，所以
在
上单调递增，
因此当
时，
，
所以
．
【例2】求证：
，不等式
恒成立．
【解析】解：
，
，
，要证
只需证
，即证
，即证
，
令
，则
，
设
，
，
，
，即
．
，则
在
上单调递增，
，
故
，不等式
恒成立．
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※※※ 2、指对混合型
常用方法：
（1）重构函数
（2）求导利用隐零点
（3）直接放缩
【例3】证明：当
时，
．
【解析】解：因为
，则需证
，
即证
.
设
，则
.
由
，得
；由
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，从而
，即
.
设
，则
.
由
，得
；由
，得
，则
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，从而
，即
.
因为
和
不同时为
，所以
，故原不等式成立．
【例4】证明：
．
【解析】
由
可知
，即
，
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因此原式
．而
，因此当
时，
．
而当
时，
，当
时，
．等号不同时成立．因此原式
．
【例5】证明：
，对
恒成立．
【解析】记
，则
，
由不等式链可知，
，可知，
，
．因此
，即
恒成立，而
，因此
．
【例6】证明：
．
【解析】证明：由
可知：
时，
，即
在
时恒成立．
要证明：
，
即证明：
，即
．
令
，
．
，
令
，
，令
，解得
．
可得：
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
而
，
，
存在
，使得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
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当
时，
，
单调递增．
又
，
，
对
，
恒成立，即
．
综上可得：
成立．
【例7】已知
2
ln
x
f x
x e
x
（ln 2
0.6931
，
1.649
e
），证明：当
0
x
时，不等式
1
f x
恒成立．
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3、对参数的处理手法
常用方法：
（1）直接放缩
（2）变更主元
（3）带参求导
【例8】【2017 新课标III（文）21】已知函数
．当
时，
证明
．
【解析】由
知，当
时，
在
取得最大值，最大值为
．
所以
等价于
，即
．
设
，则
．
当
时，
；当
时，
．所以
在
上单调递
增，在
上单调递减．
故当
时，
取得最大值，最大值为
．所以当
时，
．从而当
时，
，即
．
【例9】已知
．若
且
，证明：
．
【解析】证明：
且
，
．
，故只要证明：
时，
．
令
．
，
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，即
在
上单调递增，
．
在
上单调递增，
．
故
且
时，
．
【例10】【2015 高考真题全国卷I】设函数
．证明：当
时，
．
【解析】证明：法一
隐零点设参
根据第
问可知
，即有
．
此时
，
．
法二
变更主元
基本放缩
将
视为主元，构造函数
，
，
求导可得
，
．
所以有
，
．于是原命题得证．
三、双变量不等式的证明
常用方法：
（1）比值代换
（2）主元法
（3）分离变量
【例11】当
时，求证：
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【解析】
；
设
，
所以
，
得证．
【例12】当
时，证明：
【解析】
，令
，
则只要证明
在
上单调递增，又
，
显然函数
在
上单调递增．
，即
，
在
上单调递增，
即
，
当
时，有
．
【例13】当
时，求证：
【解析】
设
，
，
所以
单调递增，得证．
【例14】已知
，求证：
．
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【解析】设
所以
，所以
，得证．
【例15】
，当
时，求证
【解析】
则
当
时，
，因此
在
内为减函数；
当
时，
，因此
在
内为增函数．
从而当
时，
有极小值
．又因
，
所以
，即
设
，则
当
时，
，
在
上为减函数．因为
，
，所以
，即
．
