文档文本内容
{前排提醒：解析并不能体现题目真正的价值，做题的意义
在于识别题型、摸透方法，所以大家一定要看课哦}
一轮复习——导数
调整前：
5 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
零点个数与隐零点问题
课时四（10.19）
极值点偏移
课时五（10.26）
函数放缩与不等式证明
调整后：
6 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
隐零点问题
课时四（10.19）
零点个数问题
课时五（10.26）
极值点偏移
课时六（11.2）
函数放缩与不等式证明
第四讲 零点个数问题
【注】零点的讨论难点往往在于找点。我们学习的目标首先要保证会判断极限，
能通过极限说明零点的存在性；其次关于找点我们会通过例题讲解一些基础的方
法技巧，而在寒假对找点作更加系统的学习.
本讲内容：
1、判断零点个数的基本方法：求导求极值——判断各端点符号——得
到零点个数
2、技巧手段：
（1）对原函数的重构：①分参 ②指对重构 ③换元重构
（2）求导与判断符号：①瞪眼法 ②高阶导 ③隐零点技术
（3）间断点与无穷处的处理：①判断极限 ②找点技术
（4）找点技术：①放缩找点 ②观察构造 ③分而治之
【方法点拨】
基本方法
题型一——不含参的零点个数问题
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例1】（2019 年新课标Ⅱ第1 问）已知函数
．讨论
的单调性，
并证明
有且仅有两个零点．
【例2】（2019 全国一卷）已知函数
，
为
的导函数．
证明：（1）
在区间
上存在惟一极大值点．
（2）
有且仅有
个零点．
题型二——含参的零点个数问题
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆☆
【方法点拨】
1、函数重构
含参的零点个数问题，与含参恒成立问题类似，首先一定要构造合适的函数，构造函数
的主要方法有：
（1）分离参数
在解答题中，分参是解决零点问题的有效手段．分参后得到一个不含参的函数
( )
f x ，然
后：
①求出函数的所有单调区间；
②求出函数在各个单调区间上的值域；
③根据
( )
y
f x
与y
a
的交点个数求出参数范围．
分参的优点在于思路清晰，无须分类；但也有缺点：一是分参后的函数可能无法处理；
二是若涉及极限找点，分参之后很难用找点说清楚，往往只能冒着扣分的风险用极限。
（2）指对重构
指数找基友，对数单身狗．
这是指对型函数重构的基本原则，但也不能一概而论，能分参的时候有时还是分参来的
简便。
（3）换元重构
【引例】如下两个函数零点问题，试通过换元构造更简单的函数．
①判断
( )
ln(
1)
1
1
x
f x
x
x
的零点个数．
②判断
( )
e
2
ln
ax
f x
ax
x
a
的零点个数．（
0
a
）
换元也是重构函数的一种重要手段，通过换元，可以起到两个作用：①简化函数结构；
②消参。
2、零点讨论中常用到的技巧
（1）瞪眼法
（2）高阶导
（3）隐零点技术
3、间断点与无穷处的处理
在间断点和无穷处的符号讨论是零点问题的难点，要注意无论用极限说明还是用找点说
明，首先都需要判断在该处的极限，因此务必要掌握判断函数极限的方法。
【附录】是判断函数极限的补充讲义，不熟悉的同学一定要掌握哦。
【注意】要注意在x 时可能有水平渐近线，在间断点处可能有竖直渐近线．
【易错题】判断
ex
y
kx
的零点个数.
4、找点技术
（1）观察构造 （2）放缩找点 （3）分而治之
（1）观察构造：观察目标函数的结构特点，直接构造合适的取点，要点在于通过构造消掉指
对。如
( )
e
x
考虑令( )
0
x
，
ln
( )x
考虑令( )
1
x
。
（2）放缩找点：常用的放缩思路有两种：
①目标函数的极限由某一项所决定，我们称之为核心部分。除此之外，把能放缩掉的部分都
放缩掉（一般放缩为常数）（俗称扔垃圾），当然要注意放缩的方向一致。
②将目标函数难以处理的部分（一般为指数或对数）通过适当的放缩化为简单形式（一般化
为常数或者多项式），从而找到满足条件的点。
（3）分而治之：在构造或放缩时我们可以要求所找的点同时满足两个或多个条件，然后用
max{ , ,...}
a b
（或min{ , ,...}
a b
）的形式来表达即可。
【附】极限的判断方法
1. 基本初等函数的极限
2n
x
2
1
n
x
1
x
ex
ln x
sin x
cosx
x
0
不存
在
不存在
x
0
0
无意
义
不存
在
不存在
0
x
0
0
0 ,
x
1
x
1
0
1
0 ,
x
1
x
2. 极限的四则运算
若函数
y
f x
和
y
g x
在
0
x
x
处均存在极限，那么：
0
0
0
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
；
0
0
0
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
f x g x
f x
g x
；
0
0
0
0
lim
lim
lim
0
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
f x
g x
g x
g x
.
3. 无穷大与无穷小
若用表示趋近于正无穷或负无穷的数，用表示趋近于正无穷的数，用表示趋近
于负无穷的数，用0 表示无穷小（趋近于0）的数，那么：
c
，
，
，0
0
0
，
不确定；
(
0)
c
c
，，0 0
0
，0不确定；
1
0
，1
0 ，0
0 、
不确定．
4. 不定式的极限
有些形式的极限是不确定的，如：
；0；0
0 、
．
此时判断的关键在于两个函数的增长（减慢）速度，整个式子的极限由增长（减慢）更
快的那个函数所决定.
我们主要利用如下结论：指数函数幂函数对数函数；
而不同幂函数比较时，极限由最高次项的幂函数所决定.
【附】极限的判断练习
【1】判断下列函数的极限：
lim e
(
0)
x
n
x
x
n
，
lim ln
(
0)
n
x
x
x
n
，
e
lim
(
0)
x
n
x
n
x
，
ln
lim
(
0)
n
x
x n
x
，
lim
e (
0)
n
x
x
x
n
，
0
lim
ln (
0)
n
x
x
x n
.
【答案】, , , 0 , 0 , 0 .
【2】关于下列函数的极限，判断正确的是（ ）
①
0
x
时，ln
e x
x
x
②x 时，
1
0
e
sin
x
x
x
③x 时，ln
x
x
x
④x 时，e +1
0
x
x
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D
【3】关于下列函数的极限，判断正确的是（ ）
①x 时，
2
ln
2sin
(
0)
x
ax
x
a
②
0
x
时，
e
ln
0
x
x
x
③
1
x
时，(
1)ln
e
e
x
a x
x
a
④x 时，
3
2
e x
a
x
x
ax
x
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【例3】（2017 深圳市一模文第3 问）已知函数
当
0
a
时，判断函数
零点的个数，并说明理由．
【例4】（2016 全国卷I 第一问）已知函数
有两个零点．
求
的取值范围．
【例5】已知函数
，若函数
在
上有且只有一个
零点，求实数
的取值范围．
题型三——可转化为零点的问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例6】（2017 辽宁省实验高二期末）已知函数
，
．
若
，
，且曲线
与
存在公共的切线，求正数
的最小值．
【解析】当
，
时，
，
在点
处的切线方
程为：
，即
，
由
得：
①，
，
总存在公切线，
①的
，
即关于
的方程
②总有解．
左边
，
，
，于是，②式
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
在
递减，
递增．
，
要使②有解，
，即
， 故
．
