文档文本内容
跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——解析几何
4 次课
主题
课时一
直线、圆、圆锥曲线小题强化
课时二
圆锥曲线大题（一）直线型问题
课时三
圆锥曲线大题（二）点型问题（含点差法）
课时四
圆锥曲线大题（三） 第三定义与参数方程法
本讲内容：
一、第三定义的应用
二、椭圆参数方程的应用
三、直线参数方程的应用
四、仿射变换秒杀圆锥曲线
跟着数学，玩转侃叔
圆锥曲线大题（三）
——第三定义与参数方程法
模块一 第三定义的应用
【方法点拨】
一、圆中的四个直角→椭圆中的四个“
2e
1
”
1、圆
（1）垂径定理
（2）直径所对圆周角
（3）切线
（4）切点弦
2、椭圆
（1）弦中点
（2）第三定义
（3）切线
（4）切点弦
二、椭圆与双曲线的第三定义
（1）第三定义：平面内动点到两定点A1(a,0)和A2(-a,0)的斜率乘积等于常数e²-1 的点的轨迹为
椭圆或双曲线。其中两定点为椭圆或双曲线的顶点。当0<e²<1 时为椭圆，当e²>1 时为双曲线。
（2）第三定义的推广：
三、第三定义在解题中的应用
跟着数学，玩转侃叔
【题型归纳】
【例1】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的焦距为
，且过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若点
、
分别是椭圆
的左、右顶点，直线经过点
且垂直于
轴，点
是椭圆上异于
、
的任意一点，直
线
交于点
．
①设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证：
为定值；
②设过点
垂直于
的直线为
．求证：直线
过定点，并求出定点的坐标．
【例3】（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））
已知点
，
，动点
满足直线
与
的斜率之积为
．记
的轨迹为曲线
．
（1）求
的方程，并说明
是什么曲线．
（2）过坐标原点的直线交
于
，
两点，点
在第一象限，
轴，垂足为
，连接
并延长交
于点
，连接
．
求证：
是直角三角形；
求
面积的最大值．
【例2】椭圆
2
2
:
2
1
C x
y
的左右顶点分别为
,
A B ，若不垂直于x 轴的直线与椭圆交于
,
P Q 两点，
直线AP 与BQ 交于点M ，直线AQ 与BP 交于点N ，求证：直线MN 垂直于x 轴．
跟着数学，玩转侃叔
模块二 椭圆参数方程的应用
【方法点拨】
一、椭圆的参数方程
椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个参数方程
cos
sin
x
a
y
b
（为参数）
这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程．
二、椭圆参数方程的应用
椭圆参数方程实际上可以看作对点的坐标作三角代换，相当于一种特殊的设点法．它的好处主
要在于：
（1）设参数方程本身已经用上了椭圆条件，因此后面无须再考虑椭圆方程条件．
（2）椭圆上若有两个（多个）动点，利用参数方程往往更容易找到它们坐标之间的关系．
【题型归纳】
【例4】在椭圆
2
2
1
9
4
x
y
求一点M ，使得点M 到直线2
3
10 2
0
x
y
的距离最小．
【例5】（2014 高考真题浙江卷21）
设椭圆
：
，动直线与椭圆
只有一个公共点
，且点
在第一象
限．若过原点
的直线
与垂直，证明：点
到直线
的距离的最大值为
．
【拓展】已知A ，D 分别为椭圆E :
2
2
1
4
x
y
的左顶点和上顶点，
1F ，
2
F 为椭圆的左，右焦
点，设直线l 与圆C :
2
2
2
x
y
R
(1
2
R
＜＜)相切与
1A ，且l 与椭圆E 有且仅有一个公共点
1
B ，
当R 为何值时，
1
1
A B 取最大值？并求出最大值.
O
B1
A1
l
y
x
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【例6】已知直线与椭圆
：
交于
两不同点，且
的
面积
，其中
为坐标原点．
（1）证明
和
均为定值；
（2）设线段
的中点为
，求
的最大值．
（3）椭圆
上是否存在三点
，使得
，若存在，判断
的形状；若不存在，请说明理由．
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模块三 直线参数方程的应用
【方法点拨】
一、直线的参数方程
二、直线参数方程的应用
直线参数方程最大的价值在于取定起点
0P 之后，以
0P 为端点的所有线段长度都可以用一个单纯
的参数t 表示．因此若题中需要求的所有线段都有一个公共的端点，此时把直线设为参数方程
会非常的简便．
【题型归纳】
【例7】已知椭圆
：
（
）中，
，且椭圆
上任一点到点
的最小距
离为
．
（1）求椭圆
的标准方程．
（2）如图，过点
作两条倾斜角互补的直线
，
（
，
不重合）分别交椭圆
于
点
，
，
，
，求证：
．
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【例8】（2016四川理20）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的两个焦点与短轴的一个端点是直
角三角形的3个顶点，直线:
3
l y
x
与椭圆E 有且只有一个公共点T ．
⑴求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
⑵设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .
证明：存在常数，使得
2
PT
PA
PB
，并求的值．
【练习】已知椭圆
，与
轴不重合的直线经过左焦点
，且与椭圆
相交于
两点，弦
的中点为
，直线
与椭圆
相交于
两点．
（1）若直线的斜率为
，求直线
的斜率．
（2）是否存在直线，使得
成立？若存在，求出直线的方程；若不存
在，请说明理由．
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模块四 仿射变换秒杀椭圆
【方法点拨】
一、仿射变换解题的一般方法
1、对于椭圆：𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1，作伸缩变换：{𝑥= 𝑎𝑥′
𝑦= 𝑏𝑦′，即将椭圆化为单位圆：𝑥′2 + 𝑦′2 = 1
2、利用圆的几何性质结合解析法求解圆中的问题
3、利用伸缩变换的性质将圆中结论还原回椭圆中的结论
二、仿射变换前后量的对应关系
在伸缩变换{𝒙= 𝒂𝒙′
𝒚= 𝒃𝒚′下，有如下基本性质：
1、点的坐标成比例变化：P（x , y）→ P′（
𝑥
𝑎,
𝑦
𝑏）
2、对应图形的位置关系不变：具体来说，点共线、线共点、平行关系、相切关系等均不变（但
不保持垂直），且交点仍对应为交点，切点仍对应为切点
3、共线（平行）线段的比例关系不变
4、直线斜率成比例变化：𝑘→𝑘′ =
𝑎
𝑏∙𝑘
5、平面图形的面积成比例变化：𝑆→𝑆′ =
𝑆
𝑎𝑏
三、仿射变换的适用题型
（1）伸缩变换前后，弦长的变化较为复杂，因此和弦长相关的问题（非比例问题）不适合用
仿射变换求解；
（2）面积的结论证明较为复杂，因此面积问题慎用仿射变换；
（3）比例、斜率、中点定比分点、切线等问题适合用仿射变换求解，但要注意步骤的规范性
和严谨性，仿射变换的相关结论都是需要证明的．
【例9】已知椭圆
：
经过点
，离心率为
．
，
是椭
圆
上两点，且直线
，
的斜率之积为
，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的方程．
（2）若射线
上的点
满足
，且
与椭圆交于点
，求
的值．
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【例10】
【例11】已知点
0
2
A
，椭圆E ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2 ，F 是椭圆E 的右
焦点，直线AF 的斜率为2 3
3
，O 为坐标原点．
⑴求E 的方程；
⑵设过点A 的直线l 与E 相交于
,
P Q 两点，当
OPQ
△
的面积最大时，求l 的方程．
【例12】过椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上一点A 作切线l，点A 关于x 轴的对称点为B，作一条直线m 平
行于l，且使得A、B 分居直线m 两侧， m 交椭圆于M、N，求证：∠MBA=∠NBA
已知A
B
C
、、
是椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上的三个定点，O 为坐标原点，且直线OC 平分弦AB，P
为椭圆上的动点，直线PA、PB 与直线OC 分别交于点M、N，试问
2
OM
ON
OC
是否为定值？
若为定值请求出该定值并证明；若不为定值，请说明理由．
