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1 利用导数证不等式的思路和补充 一、利用导数证明不等式的基本思路 用导数证明不等式一般的解题步骤为： （1）构造辅助函数f(x) （2）求f′(x)，并讨论f(x)在指定区间上的单调性 （3）求最值作比较 二、做题思路与类型补充 𝟏. 类型一、一阶求导后证明不等式 理论依据：如果函数f(x)，g(x)满足以下条件： （1）f(x), g(x)在闭区间[a, b]内连续 （2）f(x), g(x)在开区间（a, b）内可导，且有f′(x) > g′(x)(或f′(x) < g′(x)) （3）f(a) = g(a) 则在（a, b）内，有f(x) > g(x)(或f(x) < g(x)) 例1：求证：对任意n ∈N∗, 不等式ln(1 n + 1) > 1 n2 −1 n3 分析：本题可以从所证结论出发，只需令1 n = x，则问题转化为：当x > 0 时，恒有ln(1 + x) > x2 −x3成立，因此可以构造函数 f(x) = x3 −x2 + ln (1 + x) (x > 0),利用导数的相关知识与方法证明即可 解析：令f(x) = x3 −x2 + ln (1 + x) (x > 0), 则 f ′(x) = 3x2 −2x + 1 1 + x = 3x3 + 3x2 −2x2 −2x + 1 1 + x = 3x3 + (x −1)2 1 + x 当x > 0 时，很明显f ′(x)恒> 0 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增，因此f(x) > f(0) = 0 即x3 −x2 + ln (1 + x) > 0，所以ln(1 + x) > x2 −x3 对于n ∈N∗，取x = 1 n ，则得证。 2. 类型二、n 阶求导后证明不等式 推论：设f(x), g(x)在[a, b]上n 阶可导，若 （1）f (k)(a) = g(k)(a), k = 0,1,2 … , n −1 （2）f (n)(x) > g(n)(x) 或f (n)(x) < g(n)(x) 则在(a, b)内f(x) > g(x) 或(f(x) < g(x)) 2 例2：求证tanx > x + 1 3 x3 x ∈(0, π 2) 分析：两边函数类型不同，右边多项式次数较高，不易比较，对它求一阶导数仍不宜比较， 则就可以想到上述推论。 解析：设f(x)=tanx, g(x)=x + 1 3 x3则 （1）f(0)=g(0)=0 （2）f'(x) = 1 cos2x , g'(x) = 1 + x2, f'(0) = g'(0) = 1 （3）f''(x) = 2sinx cos3x , g''(x) = 2x, f''(0) = g''(0) = 0 （4）f'''(x) = 2(1 + tan2x) (1 + 3tan2x), g'''(x) = 2 显然有f'''(x)>g'''(x) 又推论可知原式成立 3.类型三、利用函数的最值证明不等式 形式： （1）证明f(x) ≥g(x) 构造h(x) = f(x) −g(x)，证明h(x)的最小值≥0 （2）证明f(x) > g(x) 构造两个函数f(x) g(x)分别证明 （3）证明|f(x1) −f(x2)| ≤c 利用函数极差（最大值与最小值之差） 4. 类型四、变形构造函数证明不等式 例3：设f(x) = lnx, 已知0 < a < b, 求证：f(b) −f(a) > 2a(b−a) a2+b2 解析：把原题作如下变形： f(b) −f(a) = lnb −lna = ln b a ，2a(b-a) a2+b2 = 2( b a -1) 1+ b2 a2 令x = b a，则x>1,可构造函数h(x) = lnx − 2(x−1) x2+1 （x > 1） h'(x)求导后可化简为h'(x) = (x2−1)(x2+2x−1) x(x2+1)2 因为x > 1, 所以h'(x) > 0, 即在区间(1, +∞)上单调递增 又因为h(x) > h(1) = 0，所以lnx > 2(x −1) x2 + 1 ，由于x = b a > 1，故原命题得证 利用导数证明不等式除以上方法及讲义的方法还有其余很多种方法，现在所需 掌握的为现在总结+讲义上的几种方法，多做多练，才能掌握清楚。
