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跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——概率统计
1 次课 计数问题
注：概率统计部分的难点在于计数，这节课我们重点攻克计数问题，到了春季二轮
冲刺阶段我们再系统梳理概率统计大题的几个重要考点。
本讲内容：计数模型与方法
一、有限定条件的全排列问题
1. 相邻与不相邻条件
2. 定序或有相同元素
3. 特元特位问题
数字问题
4. 多限定条件
5. 有限定条件的部分排列问题
二、分组问题与分配问题
1. 定额分组问题
不平均分组
完全平均分组
部分平均分组
2. 定额分配问题
定额定向分配问题
定额不定向分配问题
3. 不定额分配问题
信箱问题
相同元素的分配问题（隔板法）
三、枚举法（分类计数）
跟着数学，玩转侃叔
模块一 有限定条件的全排列问题
【方法点拨】
一、相邻与不相邻条件（捆绑与插空）
（相邻条件）捆绑法：指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素
视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序．其首要特点是相邻．
（不相邻条件）插空法：指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，
再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置．其首要特点是不相邻．
【题型归纳】
题型1——相邻与不相邻问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例1】（1）六个人站一排，甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，共有________种站法．
（2）六个人站一排，甲乙丙不相邻，站法共有( )种
A.
B.
C.
D.
（3）甲，乙，丙，丁，戊
人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有( )
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
【清北班】（4）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将
这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( )
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
（1）【答案】96 【解析】解：
(种)．
（2）【答案】A 【解析】解：先排其他人，
(种)．
（3） 【解析】解：根据题意，先排丁、戊两人，有
种排法，排好后，丁、戊的两边和中间
共有
个空位．再排甲、乙、丙三人，若甲乙相邻，则把甲乙视为一个元素，与丙一起放进三
个空位中的两个空位中，有
种方法；
若甲乙不相邻，则甲、乙、丙一起放进三个空位中，有
种方法，
根据分步、分类计数原理，不同的排法种数为：
，故选：C．
（4）【解析】解：由题意知先使五个人的全排列，共有
种结果．穿红色相邻或穿黄
色相邻两种情况，有
种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有
种，故：
穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是
种，故选：A．
跟着数学，玩转侃叔
【例2】
（1）一排
个座位坐了
个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A.
B.
C.
D.
（2）停车场划出一排
个停车位置，今有
辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停
车方法有________种．
（3）
个人坐在一排
个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有________种．
【清北班】（4）一条马路上有编号
，
，
，
，
，
，
，
，
的九盏路灯，为了
节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方
法有____种．
（1）【答案】C
【解析】根据题意，分
步进行：
将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有
种排法；三个三口之家共有
种排法，将三个整体元素进行排列，共有
种排法，故不同的坐法种数为
．故选C．
（2）【答案】
【解析】解：先排好
辆车有
种方法，要求空位置连在一起，则在每
辆之间及其两端的
个空当中任选一个，将空位置插入其中有
种方法．所以共有
种方法．
（3）【答案】24
【解析】解：解法
：先将
个人(各带一把椅子)进行全排列有
种，产生的四个空中分别放
一把椅子，还剩一把椅子再去插空有
种，所以每个人左右两边都空位的排法有
种．
解法
：先拿出
个椅子排成一排，在
个椅子中间出现
个空，再让
个人每人带一把椅子
去插空，于是有
种．
（4）【答案】35
【解析】解：如果直接解答需分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三
盏灯去插七个空位共有
种方法，因此所有不同的关灯方法为
种．
【方法点拨】
二、定序或有相同元素（除法法则）
（1）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．
（2）对于有相同元素的排列问题，也可先不考虑相同元素限制，排列后，再除以相同元素的
全排列．
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【题型归纳】
题型2——定序或相同元素的全排列问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例3】（1）将
、
、
、
、
、
六个字母排成一排，且
、
均在
的同侧，则
不同的排法共有________种(用数字作答)．
（2）一次演出，原计划要排
个节目，因临时有变化，拟再添加
个小品节目，若保持原有
个节目的相对顺序不变，则这
个节目不同的排列方法有( )
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
（3）七人身高不同，排成一排，要使得中间最高，两侧依次降低，共多少种排法？
【清北班】（4）在一次射击比赛中，
个泥制的靶子挂成三列(如图)，其中有两列各挂
个，
一列挂
个，一位射手按照下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎
的靶子中最低一个，若每次射击都严格执行这一规则，击碎全部
个靶子的不同方法有( )
A.
B.
C.
D.
（1）【答案】480
【解析】对特殊元素
进行分类讨论即可，即
在第
位置上讨论，
其中
在第
和第
位置上，结果是相同的；
在第
和第
位置上，结果是相同的；
在第
和第
位置上，结果是相同的，
在第
位置上有
，
在第
位置上有
，
在第
位置上有
，所以共有：
种．
（2）【答案】C
【解析】解：本题需要分类来解，首先当两个节目放在相邻的位置，有
种结果，
当两个节目不相邻，从原来形成的五个空中选两个空排列，共有
种结果，
根据分类计数原理知共有
种结果，故选：C．
（4）【答案】A
【解析】解：
个泥制的靶子，看作
个位置，从中选出
个放左侧一列，再选一列放右侧一
列，余下放中间列，并且下边先破最上边最后破，故有
种．故选：A．
【例4】（1）用1,1,2,3,3,3,4 能组成多少个不同的七位数？
（2）把“good”的字母顺序写错有______种写法．
【答案】（1）
7
7
2
3
2
3
A
A A
（2）
4
4
2
2
1
11
A
A
跟着数学，玩转侃叔
【方法点拨】
三、特元特位问题（特殊优先原则）
（1）排列时，某个（或某些）元素一定在（或一定不在）某个（或某些）位置．
（2）基本原则：特殊元素（特殊位置）优先原则
（3）解题思路：
①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
③先不考虑附加条件，正难则反．
【注意】题目中若有多个特殊元素，分类讨论往往是不可避免的．
【题型归纳】
题型3——特元特位问题
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例5】（1）用0,1,2,3,4 能组成_____个不同的五位数？
（2）用0,1,2,3,4 能组成_____个不同的五位奇数？
（3）用0,1,2,3,4 能组成_____个不同的五位偶数？
【答案】考虑特殊位置
（1）先排首位：
4
4
4
96
A
（2）（个位要求更高）先排个位，再排首位：
3
3
2 3
36
A
（3）方法1：正难则反，由（1）（2），共96
36=60
方法2：（正面分类）①个位选0：
4
4
24
A
②个位不选0：
3
3
2 3
36
A
，共60 个
【例6】某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课．
（1）要求第一节课只能排语数英，最后一节课只能排物理或化学，共_____种排法？
（2）要求第一节课只能排语数英，最后一节课只能排数物化，共_____种排法？
（3）要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，共______种排法？
【解析】
（1）按特殊位置，先第一节，再最后一节，再其他：
4
4
3 2
144
A
（2）分类讨论：①第一节排数学：
4
4
2
48
A
②第一节排语文或英语：
4
4
2 3
144
A
，
共192种
（3）学校安排六节课程可看做是用
个不同的元素填
个空的问题，
要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类．
一类是体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，
排法种数是
；
一类是体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化
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学课中任取
节来安排，有
种安排方法，然后安排第一节课，第一节课可从语文、英语、物
理、化学课中剩下的
个科目及数学科目
个科目中任选
节，有
种安排方法，
最后剩余的
个科目和
节课可全排列有
种排法，由分步计数原理，第二类安排方法
共有
种．所以这天课表的不同排法种数为
．
题型4——多限定条件
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例7】（1）由0,1,1,2,3 能构成_____个不同的五位数？
（2）山城农业科学研究所将
种不同型号的种子分别试种在
块并成一排的试验田里，其中
，
两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的
试种方法数为( )
A.
B.
C.
D.
【清北班】（3）由
组成没有重复数字且
、
都不与
相邻的六位偶数的个数
是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】（1）
4
4
2
2
4
=48
A
A
（2）B
【解析】解：先从不含
型号的
种不同型号中选
种试种在两端，再把
捆绑在一
起和剩下一种全排列试种在不含两端的三块实验田，故有
种
（3）C
【解析】先选一个偶数字排个位，有
种选法
①若
在十位或十万位，则
、
有三个位置可排，
个；
②若
排在百位、千位或万位，则
、
只有两个位置可排，共
个；
算上个位偶数字的排法，共计
个，故选C．
题型5——有限定条件的部分排列问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例8】（1）从
名学生中选出
名分别参加
，
，
，
四科竞赛，其中甲不能参加
，
两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A.
B.
C.
D.
（2）甲、乙、丙
位志愿者安排在周一至周五的
天中参加某项志愿者活动，要求每人参加
一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
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（3）某车队有
辆车，现在要调出
辆，再按一定顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须
参加，而且甲车比乙车先开出，那么不同的调度方案有________种．
（4）
张卡片上分别写有数字
，
，
，
，
，
，从中取
张排成一排，可以组成不
同的
位奇数的个数为( )
A.
B.
C.
D. 60
（1）【解析】根据题意，可分为以下几步：
①先从
人中选出
人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加；有甲参加时，选法有：
种；无甲参加时，选法有：
种．
②安排科目
有甲参加时，先排甲，再排其它人.排法有：
种．无甲参加时，排法有
种．
综上，排法共有
种，
不同的参赛方案种数为
．故选C．
（2）【解析】法一：三个人，每个人排在其他两人前面的方法一样多，从而甲排在另外两位
前面的方法数为
．
法二：从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有
种，其中甲要排在三天中的第一天，
乙与丙还有两种顺序，故共有
种安排方法．
（3）【解析】由甲乙的对称性，甲比乙先开和乙比甲先开的方案数应该一样，
种．
（4）【解析】尾数为
，有
个；
尾数为
，
，同样分情况讨论，以
在末尾为例，
，
被同时选中，再从
，
，
中任取
个，再与
，
排在前
位，共有
个，
，只有
个被选中或均未选，共有
个，综上，在末尾的奇数的个数为
．
同理
在末尾的奇数的个数为是
．由上述分析知，可以组成不同的
位奇数的个数为
．故选：B．
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模块二 分组问题与分配问题
【方法点拨】
零、题型特点
1、分组问题：把一个集合中的元素按要求分成若干组；
2、分配问题：把一个集合中的元素按要求分到几个去处．
【注意1】大多数的分组分配问题都给定了各组（各去处）的元素个数配比（或者可以由条件
推出），这种问题我们称之为定额分组（分配）问题．
【注意2】分组与分配的区别在于组与组之间是否有顺序．
一、定额分组问题
分组的两个原则：
（1）各组之间没有顺序，因此按任意次序一组一组的分出来即可，不用再排列；
（2）有若干组（m 组）的元素个数相同，则由①得到的结果须除以Am
m .
【注意】根据各组元素个数是否相同，分组有三种情况：不平均分组、平均分组、部分平均分
组.注意每种情形下方法数的区别.
二、定额分配问题
1、定向分配问题：各分配去向的分配数都是确定的，即
去向
1
2
3
…
m
分配元素个数
1n
2
n
3n
…
m
n
逐方向分配即可，共有分配数
3
2
1
1
1
2
C C
C
...C m
m
n
n
n
n
n
n n
n n
n
n
N
.
【注意】定向分配问题与分组问题有所不同，对于完全不平均分组来说是没有区别的，但若有
元素个数相同的情况，分组问题需要除以组数的全排列，而定向分配问题不需要.
2、不定向分配问题：配比确定，但各分配去向的名额数不确定.此时先分组，求出分组的方法
数M ，再把每组打包成一个元素，在m 个分配去向上全排列（此种方法称之为组排法）.故方
法数为
Am
m
M
.
题型6——分组问题与分配问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例9】将
本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
（1）分成
堆，一堆
本，一堆
本，一堆
本．
跟着数学，玩转侃叔
（2）分成
堆，每堆
本．
（3）分成
堆，其中一堆
本，另两堆每堆1 本．
（4）分给学生甲
本，学生乙
本，学生丙
本．
（5）分给甲、乙、丙
人，其中
人得
本、
人得
本、
人得
本．
（6）分给甲、乙、丙
人，每人
本．
（7）分给学生甲4 本，学生乙1 本，学生丙
本．
（8）分给甲、乙、丙
人，其中一人
本，另两人每人
本．
【答案】（1）是分堆的非均匀问题：方法数为
．
（2）是分堆的均匀问题：方法数为
．
（3）是部分均匀地分堆的问题：方法数为
．
（4）是定向分配的非均匀问题：方法数为
．
（5）是非定向分配的非均匀问题：方法数为
．
（6）是定向分配的均匀问题：方法数为
．
（7）是定向分配的部分均匀问题：
（8）是不定向分配的部分均匀问题：方法数为
．
【例10】
（1）有
名优秀学生
，
，
，
全部被保送到甲，乙，丙
所学校，每所学校至少去
一名，则不同的保送方案共有( )
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
（2）名志愿者分到
所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分配方法共有( )
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
【清北班】（3）
年
月
日青海玉树发生
级地震，震后由重庆第三军医大学组成的
名医生(含甲乙)奔赴灾区．现将这
名医生分成三个医疗小组，一组
人，另两组每组各
人，
则甲乙不分在同一组的分法有( )
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
（4）四个不同的小球放入编号为
，
，
，
的四个盒子中，则恰有一个空盒子的方法共
有________种．(用数字作答)
（1）【答案】C
【解析】第一步从
名优秀学生中选出
个组成复合元素共有
种方案，再把
个元素(包含
一个复合元素)保送到甲、乙、丙
所学校有
种方案，
跟着数学，玩转侃叔
根据分步计数原理不同保送方案共有
种．
故选C．
（2）【答案】A
【解析】解：人数分配上有两种方式，即
，
，
与
，
，
．
若是
，
，
，则有
种，
若是
，
，
，则有
种，所以共有
种，故选：A．
（3）【答案】A
【解析】解：除甲乙外的
人分三组，
人、
人、
人；和
人、
人、
人两种类型．
人、
人、
人的方法种数是
=
；
人、
人、
人的类型方法种数是
；
对于
人、
人、
人类型：甲乙二人必有一人进三组中的
人组，另一人进另两组，方法种
数是
．
对于
人、
人、
人的类型：甲乙二人都进一人组，方法是
．所以总方法有
种，故选：A．
（4）【答案】144
【解析】解：四个不同的小球放入四个盒子要求恰有一个空盒子，
则只能将四球分成
、
、
、
四堆，放入四个盒子中．
故共有
种放置方法．
【方法点拨】
三、不定额分配问题
除定额分配之外，还有两类特殊的分配问题：
1、任意分配，无任何要求，即信箱问题：把n 封不同的信任意投入m 个信箱，则方法数为
n
m .
2、相同元素的分配问题——隔板法
若分配的元素都是相同的（即彼此不作区分），则其等价于不定方程的解的个数问题，适合用
隔板法解决.比如n 个相同元素分配到m 个不同的去处，且每个去处名额数至少为1，则方法数
为
1
1
Cm
n
（在n 个元素所形成的n-1 个空档中隔m-1 个板）.
【注意】若没有名额至少为1 的限定，则需要在该处事先配一个元素.
跟着数学，玩转侃叔
题型7——信箱问题与隔板法问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例10】不定方程
．
（1）求正整数解的个数．
（2）求非负整数解的个数．
（3）求满足
1
2
3
x
y
z
的正整数解的个数．
（1）隔板法：
2
9
36
C
（2）注意到
、
、可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎
么办呢？只要添加三个球，给
、
、各一个球．这样原问题就转化为求
的正
整数解的个数了，故解的个数为
(个)．
（3）令
,
1,
2
x
xy
y
z
z
，则
7
x
y
z
，且取值范围均为正整数，故方法数为
2
6
15
C
【例11】
（1）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名
学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则冠军的所有可能性有________种．
（2）某校组建一球队需
人，该校共
个班级，且每个班至少分配一个名额，共有几种情况？
（3）将
个大小形状完全相同的小球放入
个不同的盒子，球必须放完，允许有盒子为空，
一个盒子最多放
个，有( )种不同的方法．
A.
B.
C.
D.
【清北班】（4）将
个参加青少年科技创新大赛的名额分配给
所学校，要求每校至少有一
个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( )
A.
B.
C.
D.
（1）【答案】1024 625
【解析】报名的方法种数为
．获得冠军的可能情况有
种．
（2）【解析】
(种)．
（3）【答案】C 【解析】解：
种．
（4）【答案】B
【解析】解：先用隔板把
个元素形成的
个空放上
个隔板有
，再减去名额相
等的情况
，
，
，
，
，
，
，
，
共有
．所以不同的分配方法种数为
．故选B．
跟着数学，玩转侃叔
模块三 枚举法（分类计数）
【方法点拨】
枚举法的本质在于分类计数，因此枚举并不是毫无章法的，合理的分类顺序至关重要．
字典序与树状图是枚举时最常用的分类顺序．
题型8——枚举法
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例12】
（1）一个四位数，每一数位上的数字均是
，
，
，
之一，且相邻的两个数位的数字之
差都是
，这样的四位数有多少个？
（2）将长为
的木棒截成长为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则得到的不同三
角形的个数为( )
A.
B.
C.
D.
（3）如果一个三位数
同时满足
且
，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的
三位“凹数”的个数是________．
（4）定义“规范
数列”
如下:
共有
项,其中
项为
,
项为
,且对任意
,
中
的个数不少于
的个数．若
,则不同的“规范
数列”共有（ ）
A.
个 B.
个 C.
个 D.
个
【清北班】（5）将2 枚白色棋子、2 枚黑色棋子、2 枚红色棋子全部摆在桌面上，形成一个圆
圈．一共能得到多少种不同的圈？（若两个圈旋转后颜色顺序相同，则当成相同的圈）
（1）【答案】
个
【解析】解：
个．
首位是
、
时的树状图如图所示，容易看出首位是
与首位
情况相同，首位
与首位
情
况相同，故共有
个．
（2）【答案】B
【解析】解：将长为
的木棒截成长为整数的三段，
使它们构成一个三角形的三边，
根据三角形三边之间的关系，可以列举出所有情况：
跟着数学，玩转侃叔
；
；
；
；
；
；
，共有
种结果，
故选：B．
（3）【答案】285
【解析】解：根据题意，按十位数字分类讨论：
①十位数字是
时不存在，此时三位“凹数”的个数为
；
②十位数字是
时，只有
，此时三位“凹数”的个数为
；
③十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
；
④十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
；
⑤十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
；
⑥十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
；
⑦十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
；
⑧十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
；
⑨十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
；
⑩十位数字是
时，则百位与个位都有
种可能，所以此时三位“凹数”的个数为
，
所以所有不同的三位“凹数”的个数是
．
故答案为：
．
（4）【答案】C
【解析】由题意,得必有
,
,则具体的排法列表如下:
（5）答案：16 种．
按2 枚白子之间夹的棋子数来分类枚举．因为旋转后颜色顺序相同就当成同一种圈，所以2 枚
白子之间夹的棋子数目只有0、1、2 这三种类型，分别枚举可知各有6、6、4 种．故共能得到
6+6+4=16 种不同的圈
