文档文本内容
跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——解析几何
4 次课
主题
课时一
直线、圆、圆锥曲线小题强化
课时二
圆锥曲线大题（一）直线型问题
课时三
圆锥曲线大题（二）点型问题（含点差法）
课时四
圆锥曲线大题（三） 第三定义与参数方程法
本讲内容：
一、直线与圆的典型问题
1. 直线与圆的相交问题
2. 直线与圆的相切问题
3. 隐形圆问题
二、圆锥曲线小题典型考法
1. 基本量
2. 离心率
3. 抛物线焦点弦
跟着数学，玩转侃叔
直线、圆、圆锥曲线小题强化
模块一 直线与圆的典型问题
【方法点拨】
一、直线与圆的相交问题
条件和直线与圆的交点相关时，通常的处理方式：
① 转化为弦长、圆心到直线的距离处理；
② 联立直线与圆的方程，利用韦达定理帮助解题．
二、直线与圆的相切问题
三、隐形圆问题
1. 隐形圆问题：
圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题
目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解．
2. 常见的隐形圆条件：
（1）利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
（2）利用直径所对圆周角为90°确定隐圆；
（3）利用两定点A，B，动点P 满足AP＝λBP(λ>0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)．
跟着数学，玩转侃叔
【题型归纳】
题型1——直线与圆的相交问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例1】
（1）已知直线
与圆
交于
，
两点，若
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】解：圆
，半径为：
. 圆心
到直线的距离
，
，
，
，故选：A．
（2）已知直线
与圆心为
的圆
相交于
、
两点，且
，则实数
的值为________．
【答案】
或
【解析】解：圆的标准方程为
，圆心
，半径
，
，
圆心
到直线
的距离
，
即
，即
，解得
或
，故答案为：
或
．
（3）已知
的方程为
，直线：
与
交于
，
两点，
当
取最大值时
________，当
的面积最大时，
________．
【答案】
或
【解析】解：
的方程为
，即为
，则圆半径
，圆心
，
直线：
与
交于
，
两点，
当
取最大值时，直线过圆心
，
，解得
．
设
与
的夹角为
，
，当
时，即
时，面积
最大，最大值为
，此时
，设圆心到直线的距离为
，
则
，即
，解得
或
．故答案为：
；
或
．
跟着数学，玩转侃叔
（4）已知
、
为圆
上的两个动点，
为坐标原点，
，
则
的最小值为________．
【答案】8
【解析】解：
圆
，
，
圆心
，半径
．如图，
取
的中点
，连接
，
，
，
．
，
弦心距
，
点
的轨迹
为
，半径
，
，
．
题型2——直线与圆的相切问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例2】
（1）过点
的直线与圆
相切，且与直线
垂直，则实数
的值
为( )
A.
B.
C.
或
D.
【解析】圆
的圆心为原点
，半径等于
，显然点
在圆的外部．
过点
能作
条圆的切线，当
存在时，设切线的斜率为
，则切线方程为
，
即
，根据圆心
到
的距离等于半径
，可得
，
求得
．当
时，过点
的直线斜率为
，故与之垂直的直线
的
斜率为
，
，
当
不存在时，
，故选：C．
跟着数学，玩转侃叔
（2）（2018 新课标III 卷6）
直线
分别与
轴，轴交于
，
两点，点
在圆
上，则
面积的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】解：
直线
分别与
轴，
轴交于
，
两点，
令
，得
，令
，得
，
，
，
点
在圆
上，
设
，
点
到直线
的距离：
，
，
，
面积的最小值为
，
面积的最大值为
，
面积的取值范围是
．故选：A．
（3）点
是直线:
上一动点，
与
是圆
的两条
切线，
、
为切点，则四边形
的最小面积为________．
【答案】
【解析】解：根据题意：圆
，圆心为
，半径
，
点
是直线:
上一动点，
设
，切线与切点和圆心的连线垂直，即
，
，
直线上的动点
到圆心的距离
，
化简：
，
，
那么：
， 则
，
三角形
的最小面积为：
， 可得：
，
所以四边形
的最小面积
，故答案为：
．
跟着数学，玩转侃叔
（4）已知点
为圆
外一点，若圆
上存在一点
，使得
，则正数
的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：
圆的方程为标准方程
，
圆的圆心为
，半径
，
，
，设过
的一条切线与圆的切点是
，则
，
当
为切点时，
最大，
圆
上存在点
使得
，
满足
，
即
，整理可得
，解得
或
，
又点
为圆
外一点，
，解得
，
，
综上可得
，故答案为：
．
题型3——隐形圆问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例3】
（1）在平面直角坐标系
中，已知点
均在圆
：
外，且圆
上存在唯一一点
满足
，则半径
的值为________．
【答案】4
【解析】根据题意，点
，若点
满足
，则点
在以
为直径的
圆上，设
的中点为
，则
的坐标为
，
，则圆
的方程为
，
若圆
上存在唯一一点
满足
，则圆
与圆
只有一个交点，即两圆外切，
则有
，解得
．
（2）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于
点
，则
的最大值是________．
【答案】5
跟着数学，玩转侃叔
【解析】由题意知
，
，
．
则
点的轨迹为以
为直径的圆，
，
．
（3）在平面直角坐标系
中，点
，若圆
：
上存在一
点
满足
，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：设点
，由
，得到：
，
整理得：
，
点
在圆心为
，半径为
的圆上．
又点
在圆
上，
圆
与圆
有公共点，
，
，解得
．
（4）已知圆
：
，直线：
与
轴交于点
，过上一点
作圆
的切线，切点为
，若
，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：圆
：
，直线：
与
轴交于点
，
设
，由
，可得
，
即
，即满足
的点
的轨迹是一个圆
，
所以问题可转化为直线与圆
有公共点，所以
，
，解得
．
跟着数学，玩转侃叔
模块二 圆锥曲线小题典型考法
【知识梳理】
一、 圆锥曲线的基本量
曲线C
椭圆
双曲线
抛物线
定义
标准方
程
顶点与
轴长
焦点
渐近线
准线
离心率e
二、焦点三角形
1. 椭圆焦点三角形：以椭圆两个焦点
1F 、
2
F 与椭圆上任意一点P （非长轴顶点）组成的三角
形；
椭圆的焦点三角形周长为2
2
a
c
，面积为
1 2
2
1
2
tan
2
PF F
F PF
S
b
△
；
P 为椭圆上任意一点，则当点P 为椭圆短轴的端点时，
1
2
F PF
最大．
2. 双曲线焦点三角形：面积
1 2
2
1
2
tan
2
PF F
b
S
F PF
△
．
跟着数学，玩转侃叔
【题型归纳】
题型1——基本量问题
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆
【例4】（1）（2018 高考真题全国卷II5）
双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】双曲线的离心率为
，则
，
即双曲线的渐近线方程为
，故选：A．
（2）（2019 年新课标Ⅱ卷）
若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意可得：
，解得
．故选：D．
（3）已知抛物线
的准线过双曲线
的左焦点，且被双曲线截
得的线段长为
，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【解析】解：由抛物线
，可得
，故其准线方程为
，
抛物线
的准线过双曲线
的左焦点，
．
抛物线
的准线被双曲线截得的线段长为
，
，
，
，
，
双曲线的渐近线方程为
．
（4）已知
为椭圆
上一点，
、
是椭圆的焦点，
，则
点的
坐标为________．
跟着数学，玩转侃叔
【答案】
【解析】在
中，
，
即
，
由椭圆的定义得
，即
，
由
得
．
，又因为
，得
，所以
．
（5）（2019 高考真题新课标III15）
设
、
为椭圆
：
的两个焦点，
为
上一点且在第一象限．若
为等腰三角形，则
的坐标为________．
【答案】
【解析】解：
椭圆
：
，
，
为等腰三角形，
仅可能为
．
，
．
，即
，
，
，
点
的坐标为
．
题型2——离心率问题
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
在求椭圆和双曲线的离心率的问题中，结合圆锥曲线的定义，寻找已知点、已知线段和焦
点的联系，建立关于a、c 的方程或不等式．时刻注意题设条件中的三角形中线、中位线，直角
和特殊角，利用正余弦定理、平面几何和解析几何的相关知识求解．
【例5】
（1）（2018 新课标卷II 文科11）
跟着数学，玩转侃叔
已知
，
是椭圆
的两个焦点，
是
上的一点，若
，且
，则
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
，
是椭圆
的两个焦点，
是
上的一点，若
，且
，
可得椭圆的焦点坐标
，所以
．可得：
，可得
，可得
，
，解得
．故选：D．
（2）（ 2017 全国卷III10）
已知椭圆
(
)的左、右顶点分别为
，
，且以线段
为直径
的圆与直线
相切，则
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】以线段
为直径的圆是
，直线
与圆相切，所以圆心
到直线的距离
，整理为
，即
，即
，
，故选A．
（3）（2019 年新课标Ⅱ卷）
设
为双曲线
的右焦点，
为坐标原点，以
为直径的圆与
圆
交于
，
两点．若
，则
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】把
代入
，得
，再由
，得
，
即
，
，解得
．故选：A．
（4）（2018 高考真题全国卷II12）
跟着数学，玩转侃叔
已知
，
是椭圆
：
的左、右焦点，
是
的左顶点，点
在
过
且斜率为
的直线上，
为等腰三角形，
，则
的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意可知：
，
，
，直线
的方程为：
，
由
，
，得
，代入直线
：
，
整理得：
，
椭圆的离心率
．故选：D．
（5）（2019 全国卷I16）
已知双曲线
：
(
，
)的左、右焦点分别为
、
，过
的直线与
的两条渐近线分别交于
、
两点．若
，
，则
的离心率为________．
【答案】2
【解析】解：法一：
，
，
，
，
，
，
，
，
．双曲线
：
，渐近线方程为
，
，双曲线
的离心率
．
法二：
，
，
．
跟着数学，玩转侃叔
双曲线
：
(
，
)，
渐近线方程为
，
设
，
，解得
，
，
，
，
，
，
，即
，解得
，
双曲线
的离心率
．
（6）已知双曲线
，
是左焦点，圆
与双曲线左
支的一个交点是
，若直线
与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是
________．
【答案】
【解析】解：设直线
的方程为
，即
，
由直线和圆有交点，可得
，解得
．
联立圆
与双曲线方程
，解得交点
，设为
．
可得
，由题意可得
，结合
，
，化简可得
，即有
，可得
，
即有
．故答案为：
．
跟着数学，玩转侃叔
题型3——抛物线焦半径与焦点弦问题
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例6】
（1）设
为抛物线
的焦点，过
且倾斜角为
的直线交抛物线
于
，
两点，
则
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】由
得其焦点
，准线方程为
．
则过抛物线
的焦点
且倾斜角为
的直线的方程为
．
代入抛物线方程，消去
，得
．
设
，
，则
，所以
，故选：C．
（2）（2014 高考真题新课标I10）
已知抛物线
：
的焦点为
，准线为，
是上一点，
是直线
与
的一个交
点，若
，则
( )
跟着数学，玩转侃叔
A.
B.
C.
D.
【解析】过点
作
准线于
，记准线与
轴交于点
．
，
，
根据抛物线的定义有
，
．
轴，
，
，
，
，
，
抛物线
：
，
，
．
（3）（2017 高考真题全国卷II）
过抛物线
的焦点
，且斜率为
的直线交
于点
在
轴上方)，为
的准
线，点
在上且
，则
到直线
的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意可得直线
，与抛物线
联立得
，解得
，所以
，因为
，所以
，因为
，所以直线
，所以
到
的距离为
．
（4）已知以
为焦点的抛物线
上的两点
、
满足
，则弦
的中点
到准线的距离为________．
【答案】
【解析】法一：过点
分别作
垂直于准线，垂足分别为
．
过点
作
垂直
于
，交
轴于点
，记准线与
轴交点为
．
设
，由抛物线的定义知
，
在
中，
，
，故
．
于是
，解得
．
跟着数学，玩转侃叔
弦
的中点到准线的距离
．
法二：
如图，延长直线
，交抛物线的准线于
，作
、
、
在准线
上的投影
、
、
．
于是
，设
，
则弦
中点到准线的距离为
，
．
而
，
，所以
，
．
因此
，
而
，所以
，从而
，于是
为所求．
（5）（2017 全国卷I10）
已知
为抛物线
：
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，直线
与
交于
、
两点，直线
与
交于
、
两点，则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：如图，
，直线
与
交于
、
两点，
直线
与
交于
、
两点，要使
最小，
则
与
，
与
关于
轴对称，即直线
的斜率为
，
又直线
过点
，则直线
的方程为
，
联立方程组
，则
，
，
，
的最小值为
．
方法二：设直线
的倾斜角为
，则
的倾斜角为
，
跟着数学，玩转侃叔
根据焦点弦长公式可得
，
，
，
，
当
时，
最小，最小为
，故选：A．
（6）（2018 新课标III16）
已知点
和抛物线
：
，过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
、
两点，
若
，则
________．
【解析】设
、
，
抛物线
：
，
焦点
，
，
设直线
：
．联立
，有
，整理得
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，化简得
，解得
．
（7）（ 2013 高考真题新课标II11）
设抛物线
的焦点为
，点
在
上，
，若以
为直径的圆
过点
，则
的方程为（ ）
跟着数学，玩转侃叔
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
【答案】C
【解析】方法一：
抛物线
的方程为
，焦点
的坐标为
，可得
，
以
为直径的圆过点
，
设
，可得
，
中
，
，
，
根据抛物线的定义，得直线
切以
为直径的圆于
点，
，可得
中，
，
，
，
，整理得
，解之可得
或
，因此，抛物线
的方程为
或
．
方法二：
因为抛物线
的方程为
，
焦点
，
设
，由抛物线的性质得
，可得
，
因为圆心是
的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为
，
由已知圆半径也为
，据此可知该圆与
轴相切于点
，故圆心纵坐标为
，则
点纵坐
标为
，即
，代入抛物线方程得
，解得
或
．
所以抛物线
的方程为
或
．故选C．
