文档文本内容
跟着数学，玩转侃叔
一轮复习——解析几何
4 次课
主题
课时一
直线、圆、圆锥曲线小题强化
课时二
圆锥曲线大题（一）直线型问题
课时三
圆锥曲线大题（二）点型问题（含点差法）
课时四
圆锥曲线大题（三） 第三定义与参数方程法
本讲内容：
一、利用韦达定理处理对称条件
二、利用韦达定理求另一交点坐标
三、双弦相关问题
跟着数学，玩转侃叔
圆锥曲线大题（一）
——直线型问题
模块一 利用韦达定理处理对称条件
【方法点拨】
1． 与直线与圆锥曲线交点相关的问题，一般联立直线与圆锥曲线方程，
将要求的量表示为关于
1
2
,
x x 的对称式，再利用韦达定理解题；
2． 对称条件的代数判断：
1
2
,
x x 的对称式，指交换
1
2
,
x x 后，与原式相同的式子，这类式子一定能化为韦达定理的形
式；例如：
1
2
x
x
，
1
2
x x ，
1
2
1
1
x
x
，
2
2
1
2
x
x
等等．
3． 对称条件的几何判断：
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
是直线y
kx
m
与圆锥曲线的交点，若
,
A B 两点交换位置后，所求量
不变，则所求量可化为
1
2
,
x x 对称式；例如：弦长AB ，PA PB
，
PA
PB
k
k
等等．
4． 若直线过定点
,s t ，通常设为
y
k x
s
t
，需讨论斜率是否存在；
若直线过定点
,0
s
，通常设为x
my
s
，需讨论直线与y 轴是否垂直．
【题型归纳】
题型1——利用韦达定理处理对称条件
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例1】已知椭圆
：
的离心率为
，直线：
与以原
点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）是否存在直线与椭圆
交于
，
两点，交
轴于点
，使
成立？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理
由．
【解析】（1）由已知得
，解得
，
，
，
椭圆
的方程为
．
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（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为
，
联立
，得
．
，
设
，
，则
，
，
，
由
，得
，即
，即
，
故
，代入
式解得
或
．
【例2】已知椭圆
与
轴的正半轴相交于点
，且椭圆
上相异两
点
、
满足直线
、
的斜率之积为
．
（1）证明直线
恒过定点，并求定点的坐标．
（2）求
的面积的最大值．
【解析】（1）由
，设
，
，由题意知，
，
．
若直线
的斜率不存在，则直线
的方程为
，故
，
因此
，与已知不符，因此直线
的斜率存在．
设直线
，联立
，得
，
则
，
，
又
，
，
由
，整理得
，即
，
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，
化简得
，故
或
．
结合
知
，即直线
恒过定点
．
（2）由题意可得由
且
，得
或
，设过定点
，
≤
，
当且仅当
，即
时，
的面积最大，最大值为
，
所以
的面积的最大值为
．
【例3】已知椭圆
的方程为
，过左焦点
的直线与椭圆
交于
，
两点(点
位于
轴上方)，若
，且
，则直线的斜率
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：设直线：
，
则
，
即
，
，
依题意有
，
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消去
，
得
，
令
，
则
，
所以
在
上递增，
所以
，
由
，得
，
所以直线的斜率
的取值范围是
．
模块二 利用韦达定理求另一交点坐标
【方法点拨】
过椭圆上已知点作直线交椭圆于另一点，可以联立方程利用韦达定理直接求出另一点坐标．
【题型归纳】
题型2——利用韦达定理求另一交点坐标
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例4】已知椭圆
的离心率
，右焦点为
，过点
和
点
的直线与原点的距离为
．
（1）求此椭圆的方程；
（2）过该椭圆的左顶点
作直线，分别交椭圆和圆
于相异两点
、
．若
，则实数
的取值范围．
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【解析】（1）由题意可得
解得
，
椭圆的方程为
．
（2）由题可设直线
，
由
，消去
得
，所以
，同理
．
又
．
则
．
，
．
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【例5】如图，曲线
由上半椭圆
和部
分抛物线
连接而成，
与
的公共点为
，
，
其中
的离心率为
．
（1）求
，
的值．
（2）过点
的直线与
，
分别交于点
，
(均异于点
，
)，是
否存在直线，使得
为直径的圆恰好过点
？若存在直线的方程，请
写出方程的表达式；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）在
，
的方程中，令
，可得
，且
，
是上半椭
圆
的左右顶点，
设
的半焦距为
，由
及
，
可得
，所以
，
．
（2）由题意知，上半椭圆
的方程为
，
且直线与
轴不重合也不垂直，设其方程为
，
代入
的方程，整理得
，
设点
的坐标为
，
因为直线过点
，所以
是方程的一个根，
由求根公式，得
，
，所以点
的坐标为
，
同理，由
，得点
的坐标为
，
所以
，
，
依题意可知
，所以
，即
，
即
，
因为
，所以
，解得
，
经检验，
符合题意，故直线的方程为
．
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模块三 双弦相关问题
【方法点拨】
题中出现两条相关弦（过同一点、斜率互为相反数、垂直等关系），对其中一条弦进行相
关计算后，可直接利用
1
2
,
k k 的关系得到另一条弦的相关结论；
【题型归纳】
题型1——双弦相关问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例6】已知椭圆
：
（
）中，
，
且椭圆
上任一点到点
的最小距离为
．
（1）求椭圆
的标准方程．
（2）如图，过点
作两条倾斜角互补的直线
，（
，
不重合）分别交椭圆
于点
，
，
，
，求证：
．
【解析】（1）设
为椭圆
上任一点，由
，
则椭圆
的方程可化为
，
从而
．
由于
，则当
时，
，
故椭圆
的标准方程为
．
（2）证明：由于直线
，
不重合，则直线
，
的斜率均存在，
设直线
：
，点
，
．易知直线
：
．
，
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由
得
，
由韦达定理有：
，
，
则
；
同理可得
，
从而有
．
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【例7】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的离心率为
，短轴长是
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆
的下顶点为
，过点
作两条互相垂直的直
线
，这两条直线与椭圆
的另一个交点分别为
，
．设
的斜率为
，
的面积为
，当
时，求
的取值范围．
【解析】（1）设椭圆
的半焦距为
，则由题意得
，
又
，
联立解得
，
．
椭圆
的方程为
．
（2）由
知，椭圆
的方程为
，所以椭圆
与
轴负半轴的交点为
．
因为
的斜率为
，所以
的方程为
，
代入
，得
，
从而
．
用
代
得
，
所以
的面积
，
则
．
因为
，即
，
整理得
，解得
，
所以
，即
或
．
从而
的取值范围为
．
