决战高考之小题必会秘籍
模块1
直接法
3
模块2
特殊值与排除法
6
模块3
极限与对称思想
8
突击高考之计算技巧大串讲
模块1
数列求和之计算技巧
13
模块2
立体几何之巧求动点坐标
15
模块3
统计与概率计算技巧
17
模块4
圆锥曲线计算技巧
19
模块5
总结归纳
23
冲刺高考解答题之解析
几何
模块1
圆锥曲线中的几何转化
27
模块2
圆锥曲线中的联立与动点
问题
32
搞定高考解答题之导数（下）
模块1
不等式证明问题
37
模块2
极值点偏移问题
41
目录
Contents
搞定高考解答题之三角与数列
模块1
三角大题
45
模块2
数列大题
49
决战高考之数形结合与函数
方程思想
模块1
思想概述
55
模块2
建立函数模型解题
56
模块3
建立方程（组）模型解题
60
模块4
总结归纳
61
2020 年高考（数学）预测
卷剖析课
第8 讲
决战高考之小题
必会秘籍
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3
8
1
模块
1
直接法
知识凝炼
高考数学选择题有如下特点：
⑴立意新颖、构思精巧、迷惑性强，题材内容相关相近，真伪难辨．
⑵技巧性高、灵活性大、概念性强，题材内容含蓄多变，解法奇特．
⑶知识面广、切入点多、综合性强，题材内容知识点多，跨度较大．
新课标高考数学填空题的特点如下：
⑴形态短小精悍，考查目标集中，形式灵活多变．
⑵答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确．
精讲精练
例1
给出下列四个函数：
①f (x) = sinx；
②f (x) = 1
x；
③f (x) = x2；
④f (x) = lnx．
对于f (x) 定义域中任意的x1，x2，满足不等式(x1 −x2)[f (x1)−f (x2)] ⩾0 的函数是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ④
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4
8
例2
A，B 是圆O : x2 +y2 = 1 上两个动点，
−→
AB
= 1，−→
OC = 3−→
OA−2−→
OB，M 为线段AB 的中点，则−→
OC ·−−→
OM 的
值为( )
A. 3
2
B. 3
4
C. 1
2
D. 1
4
例3 （1）将函数f (x) = cos(2x+φ)
(
|φ| < π
2
)
的图象向左平移π
6 个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，
则函数f (x) 在
[
π
12,π
2
]
上的最小值为( )
A. −
√
3
2
B. −1
2
C. 1
2
D.
√
3
2
（2）将函数f (x) = −1
2 cos2x 的图象向右平移π
6 个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来
的2 倍，得到函数y = g(x) 的图象，则g
(
3π
4
)
=( )
A.
√
3
2
B. −
√
3
2
C. −1
2
D. 1
2
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5
8
例4
如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上．点P 到直线
CC1 的距离的最小值为
．
在解题过程中，要善于运用数形结合、分类讨论、函数方程、等价转化等思想方法，也可以利用一些知
识模块、题型的常用、常考结论，比如平面向量、解析几何中的常见结论．
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6
8
2
模块
2
特殊值与排除法
精讲精练
例5
正确率：78%
当x ∈[−2,1] 时，不等式ax3 −x2 +4x+3 ⩾0 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. [−5,−3]
B.
[
−6,−9
8
]
C. [−6,−2]
D. [−4,−3]
例6
正确率：64%
已知函数f (x) = ax3 −3x2 +1，若f (x) 存在唯一的零点x0，且x0 > 0，则实数a 的取值范围是( )
A. (1,+∞)
B. (2,+∞)
C. (−∞,−1)
D. (−∞,−2)
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7
8
知识凝炼
特殊值
常规方法直接求解比较困难时，可以根据题干中的动态信息和选项的数值提示，分析、选择某些特殊值或
特殊情景，把一般情况转化为特殊情况，求得结果．
“特殊值”并非一定代入数值，也可能是动态变化过程中的一种特殊情况，也可能是图象之间的特殊位置关
系，也可能是特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊函数等．
对基础知识、方法和直观想象能力有一定的要求．
精讲精练
例7
已知函数f (x) = mxlnx，若关于x 的不等式f (x) ⩾x−1 在(0,+∞) 上恒成立，则m 的值为( )
A. 1
B. 3
C. 1
2
D. 1
3
例8
已知不等式ex −4x+2 ⩾ax+b(a，b ∈R，且a̸ = −4) 对任意实数x 恒成立，则b−4
a+4 的最大值为( )
A. 2−2ln 2
B. −1−ln 2
C. −2ln 2
D. −ln 2
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8
8
3
模块
3
极限与对称思想
知识凝炼
极限思想
极限思想并非一定要求极限，而是思考代数式、几何图形、函数图象、量的关系等在自变量（数或点等）取
到取值范围端点或中间特殊点时，题目要求的量的取值．极限思想常见的情景有：函数在无穷远处、定义域端点
处的取值或极限，曲线间有交点则端点处相交、中间相切的极限情况，折叠问题二面角为0、π
2 、π 时的极限情
况等．
对称思想
利用数值对称、代数式结构对称、函数图象对称、几何图形对称，或根据题意构造此类对称，结合题干中的
其他条件解决问题．比如用均值不等式求最值时的代数对称，立体几何中的点对称、线对称和镜面对称，圆锥曲
线大题代数式的对称化构造等．
精讲精练
例9
正确率：76%
已知直线与抛物线y2 = 4x 交于两点A，B，且两交点的纵坐标之积为−32，则直线恒过定点( )
A. (1,0)
B. (2,0)
C. (4,0)
D. (8,0)
例10 已知f (x) =
2
ex −1 +a 为奇函数，则a =( )
A. 1
B. −2
C. −1
D. 1
2
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9
8
例11
正确率：66%
已知函数f (x) =
2x
1+a·2x (a ∈R) 的图象关于点
(
0, 1
2
)
对称，则a =
．
例12 已知函数f (x) = 2lnx
(
1
e ⩽x ⩽e2
)
，g(x) = mx+1，若f (x) 与g(x) 的图象上存在关于直线y = 1 对称
的点，则实数m 的取值范围是( )
A.
[
−2
e ,2e
]
B.
[
−3e−2,3e
]
C.
[
−e−2,3e
]
D.
[
−2e−3
2 ,3e
]
例13 已知函数f (x) = (x+2012)(x+2014)(x+2016)(x+2018)，x ∈R，则函数f (x) 的最小值是
．
例14 已知实数m，n，若m > 0，n > 0，且m+n = 1 则(n+1)2
m
+ (m+1)2
n
的最小值
．
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10
8
随堂测试
测试1 以椭圆x2
13 + y2
9 = 1 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别是F1，F2，已知点M 的坐标
为(2,1)，双曲线C 上的点P(x0,y0)(x0 > 0,y0 > 0) 满足
−→
PF1 ·−−→
MF1
−→
PF1
=
−−→
F2F1 ·−−→
MF1
−−→
F2F1
，则S△PMF1 −S△PMF2 =
( )
A. 2
B. 4
C. 1
D. −1
测试2 已知函数f (x) = lnx，g(x) = (a−e)x+2b．若不等式f (x) ⩽g(x) 在x ∈(0,+∞) 上恒成立．则2b
a 的最
小值是( )
A. −1
2e
B. −1
e
C. −e
D. e
测试3 设函数f (x) = sin(ωx+φ)(ω > 0)，已知集合A =
{
(x0, f (x0))
x0为f (x)的极值点
}
，B =
{
(x,y)
x2
6 +
y2
2 ⩽1
}
，若存在实数φ，使得集合A∩B 中恰好有5 个元素，则ω 的取值范围是( )
A.
[
2
√
3
3 π, 5
√
3
6 π
)
B.
[
2
√
3
3 π, 3
√
3
4 π
)
C.
[
3
√
3
4 π, 5
√
3
6 π
)
D.
[
3
√
3
4 π, 11
√
3
12 π
)
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11
8
课堂总结
第9 讲
突击高考之计算
技巧大串讲
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13
9
1
模块
1
数列求和之计算技巧
知识凝炼
错位相减法万能公式
知识背景：
差比数列cn = (an+b)qn−1，
则其前n 项和Sn = (An+B)qn −B，其中：A = −a
1−q，B = A−b
1−q
精讲精练
例1
设数列{an} 满足a1 = 2，an+1 −an = 3·22n−1．令bn = nan，求数列{bn} 的前n 项和Sn．
例2
已知数列{an} 的前n 项和Sn = 4n，数列{bn} 满足b1 = −3，bn+1 = bn +(2n−3)(n ∈N∗)．
若cn = anbn
n ，求数列{cn} 的前n 项和Tn．
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14
9
知识凝炼
裂项相消法求和技巧
第一步：将完整的一项裂解成两项
第二步：相消求和
（1）和式前后剩项个数相同，即前面剩几项，后面剩几项；
（2）和式前后剩项位置相反．
精讲精练
例3
Sn 为数列{an} 的前n 项和，已知an > 0，a2
n +2an = 4Sn +3．设bn =
1
anan+1
，求数列{bn} 的前n 项和．
例4
已知数列{an} 中，a1 = 3，前n 项和Sn 满足an+1 = 2Sn +3(n ∈N∗)．记bn =
an
(an −1)(an+1 −1)，求数
列{bn} 的前n 项和Tn．
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15
9
2
模块
2
立体几何之巧求动点坐标
知识凝炼
线段P1P2 的定比分点公式：
一般地，设点P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，点P 时直线P1P2 上任意一点，且满足−→
P1P = λ−→
PP2，则点P 的坐标为
P
(
x1 +λx2
1+λ
, y1 +λy2
1+λ
)
．
证明：由−→
P1P = λ−→
PP2，可知
x−x1 = λ (x2 −x)
y−x1 = λ (y2 −y)
，因为λ̸ = −1．
所以
x = x1 +λx2
1+λ
y = y1 +λy2
1+λ
，这就是点P 的坐标．
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9
精讲精练
例5
如图，四边形ABCD 中，AB⊥AD,AD//BC,AD = 6,BC = 2AB = 4,E,F 分别在BC，AD 上，EF//AB，现将
四边形ABEF 沿EF 折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
若BE = 1，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P，且−→
AP = λ−→
PD，使得CP// 平面ABEF？若存在，求
出λ 的值，若不存在，说明理由．
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17
9
3
模块
3
统计与概率计算技巧
知识凝炼
在统计与概率大题中，将数据带入公式求值时，往往涉及数据过大，计算量复杂的特点，现在给大家如下几
条计算技巧：
1
带入数据后先观察约分化简；
2
求解较大数据的平均数时可以采取先预估平均值的方法；
3
计算过程中尽量按步骤笔算，保证一次计算正确．
精讲精练
例6
有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5 天，
统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：
参考数据：42 +122 +192 +272 = 1250,4×132+12×130+19×104+27×94 = 6602．
参考公式：bb =
n
∑
i=1
xiyi −n¯x¯y
n
∑
i=1
x2
i −n¯x2
, ba = ¯y−bb¯x．
求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程ˆy = ˆbx+ ˆa(ˆb 精确到0.1)，若某天的气温为15◦C，预测这天
热奶茶的销售杯数．
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18
9
例7
心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分
层抽样的方法抽取30 名男生和20 名女生，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择
一道题进行解答．选题情况如表：(单位：人)
能否据此判断有97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
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19
9
4
模块
4
圆锥曲线计算技巧
知识凝炼
圆锥曲线之硬解定理
圆锥曲线常规题型解题套路为：
1
设点的坐标——点的设而不求思想
2
设直线方程——注意：若已知直线方程过y 轴上一点(0,b)，则设直线方程为y = kx +b，若已知直线过x
轴上一点(n,0)，则设直线方程为x = mx+n．
3
联立圆锥曲线与直线方程
4
消元判∆
5
韦达定理
圆锥曲线的计算技巧：
以焦点在x 轴的椭圆，斜截式直线方y = kx+m 形式为例，给出具体的算式．
椭圆方程：x2
a2 + y2
b2 = 1，直线方程：y = kx+m
取立消y：①
x2
a2 + y2
b2 = 1
y = kx+m
⇒
(
a2k2 +b2)
x2 +2a2kmx+a2 (
m2 −b2)
= 0
判∆：②∆=
(
2a2km
)2 −4
(
a2k2 +b2)
a2 (
m2 −b2)
= 4a2b2 (
a2k2 +b2 −m2)
韦达定理：③x1 +x2 = −2a2km
a2k2 +b2 ，④x1x2 = a2 (
m2 −b2)
a2k2 +b2
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20
9
精讲精练
例8
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−2)，椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
√
3
2 ，F 是椭
圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为2
√
3
3 ．
设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P，Q 两点，当△OPQ 面积最大时，求直线l 的方程．
知识凝炼
恒过定点问题计算技巧
圆锥曲线中直线恒过定点问题解题套路：
1
合理设出所求过定点的直线方程，一般设为斜截式，注意讨论斜率存在性；
2
设出与直线、圆锥曲线相关联的点的坐标，遵循设而不求思想；
3
联立直线方程与圆锥曲线方程，运用硬解定理计算两根之和、两根之积；
4
根据题干中条件建立恒等式求解直线方程中两个变量间关系；
5
转化为求解含单一变量的直线方程中恒过定点问题．
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21
9
椭圆：x2
a2 + y2
b2 = 1，(a > b > 0) 上的任意三点A，B，M (x0,y0)，若KMB ·KMA = 1
t ，
(1) 当a2 −b2t̸ = 0 时，则AB 直线恒过定点
(
a2 +b2t
a2 −b2t x0,−a2 +b2t
a2 −b2t y0
)
(2) 当a2 −b2t = 0 时，KAB = −y0
x0
(3) 当t = −1 时，AB 恒过定点
(
c2x0
a2 +b2 , −c2y0
a2 +b2
)
双曲线：x2
a2 −y2
b2 = 1，(a > 0,b > 0) 上的任意三点A，B，M (x0,y0)，若KMA ·KMB = 1
t
(1) 当a2 +b2t̸ = 0 时，则AB 直线恒过定点
(
a2 −b2t
a2 +b2t x0,−a2 −b2t
a2 +b2t y0
)
(2) 当a2 +b2t = 0 时，KAB = −y0
x0
(这里x0，y0 讨论省去了)
其中t = −1 时，当a̸ = b 时，，则AB 直线恒过定点
(
c2x0
a2 −b2 , −c2y0
a2 −b2
)
当a = b 时，KAB = −y0
x0
抛物线：y2 = 2px，(p > 0) 上的任意三点A，B，M (x0,y0)，若KMA ·KMB = 1
t ，
则AB 直线恒过定点(−2pt +x0,−y0)
当t = −1 时，则AB 直线恒过定点(2p+x0,−y0)
第二类问题：斜率之和
椭圆：x2
a2 + y2
b2 = 1，(a > b > 0)，M (x0,y0) 在椭圆上且
(1)KMB +KMA = 1
t ，t̸ = 0，则直线AB 恒过定点
(
−2ty0 +x0,−2t b2
a2 x0 −y0
)
(2) 当KMB +KMA = 0 时，KOM ·KAB = b2
a2
练习：x2
2 +y2 = 1 上有一点M (0,1) 若KMB +KMA = 4 则AB 恒过
(
−1
2,−1
)
双曲线：x2
a2 −y2
b2 = 1，(a > b > 0)，M (x0,y0) 在双曲线上且
(1)KMB +KMA = 1
t ，t̸ = 0，则直线AB 恒过定点
(
−2ty0 +x0,2t b2
a2 x0 −y0
)
(2) 当KMB +KMA = 0 时，KOM ·KAB = −b2
a2
抛物线：y2 = 2px，P > 0，(1)KMB +KMA = 0，则KAB = −P
y0
(2) 当KMB +KMA = 1
t ，(t̸ = 0) 时，AB 恒过定点(−y0 +2Pt,x0 −2y0t)
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9
精讲精练
例9
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
√
3
2 ，且过点A(0,1)．
过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P
(
0,−3
5
)
．
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23
9
5
模块
5
总结归纳
针对高考中的计算技巧总结如下：
1
养成良好计算习惯，例如按步骤计算，先约分化简后计算求值等；
2
平时注意积累特定题型的结论性计算公式；
3
灵活根据情境进行选择合适的计算技巧．
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9
随堂测试
测试1
正确率：55%
设数列{bn} 是首项为1
4，公比为1
2 的等比数列．证明b1 +3b2 +5b3 +···+(2n−1)bn < 3
2．在证明
b1 +3b2 +5b3 +···+(2n−1)bn < 3
2 的过程中，求得不等式左边的数列的和为( )
A. 3
4 −2n+3
2n+1
B. 3
2 −2n+3
2n+1
C. 3
4 −n+1
2n+1
D. 3
2 −n+1
2n+1
测试2
正确率：53%
已知椭圆x2
2 +y2 = 1 与直线y = x+m 交于A，B 两点，且|AB| = 4
√
2
3 ，则实数m 的值为( )
A. ±1
B. ±1
2
C.
√
2
D. ±
√
2
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9
课堂总结
第10 讲
冲刺高考解答题
之解析几何
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10
1
模块
1
圆锥曲线中的几何转化
精讲精练
考点1: 线段相等的处理
例1
在平面直角坐标系xOy 中，点E 到两点F1 (−1,0)，F2 (1,0) 的距离之和为2
√
2，设点E 的轨迹为曲线
C．设过点F2 (1,0) 的斜率为k（k̸ = 0）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M，N，点P 在y 轴上，且
|PM| = |PN|，求点P 纵坐标的取值范围．
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10
考点2: 特殊三角形的处理策略
例2
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的长轴长为6，且椭圆C 与圆M：(x−2)2 +y2 = 40
9 的公共弦长为
4
√
10
3
．过点P(0,2) 作斜率为k(k̸ = 0) 的直线l 与椭圆C 交于两点A，B，试判断在x 轴上是否存在点
D，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说
明理由．
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29
10
考点3: 特殊四边形的处理策略
例3
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的焦点F1 的坐标为(−c,0)，F2 的坐标为(c,0)，且经过点P
(
1, 3
2
)
，
PF2⊥x 轴．设过F1 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两不同点，在椭圆C 上是否存在一点M，使四边形
AMBF2 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
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30
10
考点4: 与圆相关的几何转化
例4
已知椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 过点
(
0,
√
2
)
，且离心率e 为
√
2
2 ．
设直线x = my−1(m ∈R) 交椭圆E 于A，B 两点，判断点G
(
−9
4,0
)
与以线段AB 为直径的圆的位置
关系，并说明理由．
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31
10
考点5: 角度问题的处理策略
例5
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 过点(0,−1)，离心率e =
√
2
2 ．已知点P(m,0)，过点(1,0) 作斜率为
k(k̸ = 0) 的直线l，与椭圆交于M，N 两点，若x 轴平分∠MPN，求m 的值．
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32
10
2
模块
2
圆锥曲线中的联立与动点问题
精讲精练
考点6: 单动点问题
例6
已知椭圆C：x2
4 + y2
3 = 1 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C 上点A 满足AF2⊥F1F2．若点P 是椭圆C
上的动点，则−→
F1P·−→
F2A 的最大值为( )
A.
√
3
2
B. 3
√
3
2
C. 9
4
D. 15
4
例7
已知椭圆E：x2
4 + y2
3 = 1 的一个顶点为H (2,0)，对于x 轴上的点P(t,0)，椭圆E 上存在点M，使得MP
⊥MH，则实数t 的取值范围是
．
考点7: 联动点问题
例8
已知O 为坐标原点，椭圆的方程为x2
4 + y2
3 = 1，若P，Q 为椭圆的两个动点且OQ⊥OP，则|OP|2 +|OQ|2
的最小值是( )
A. 2
B. 46
7
C. 48
7
D. 7
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33
10
随堂测试
测试1 设椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1 (−c,0)，F2 (c,0)，点N
(
c, a
2
)
在椭圆的外部，点
M 是椭圆上的动点，满足|MF1|+|MN| < 3
2 |F1F2| 恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是( )
A.
(
0,
√
2
2
)
B.
(√
2
2 ,1
)
C.
(√
2
2 , 5
6
)
D.
(
5
6,1
)
测试2 焦点为F 的抛物线C：y2 = 8x 的准线与x 轴交于点A，点M 在抛物线C 上，则当|MA|
|MF| 取得最大值
时，直线MA 的方程为( )
A. y = x+2 或y = −x−2
B. y = x+2
C. y = 2x+2 或y = −2x+2
D. y = −2x+2
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34
10
课堂总结
第11 讲
搞定高考解答题
之导数（下）
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37
11
1
模块
1
不等式证明问题
精讲精练
考点1: 隐零点代换
例1
已知函数f (x) = x2 −(a−2)x−alnx(a ∈R)．当a = 1 时，证明：对任意的x > 0，f (x)+ex > x2 +x+2．
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38
11
考点2: 双变量不等式证明
例2
已知函数f (x) = lnx−a(x−1)
x+1
，a ∈R．设m，n 为正实数，且m > n，求证：m−n
lnm−lnn < m+n
2
．
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39
11
考点3: 不等式放缩
例3
已知函数f (x) = (1+x)e−2x．当x ∈[0,1] 时．证明：1−x ⩽f (x) ⩽
1
1+x．
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40
11
考点4: 数列不等式
例4
设函数f (x) = ln(1+x)−
x
ax+1．证明：1
2 + 1
3 + 1
4 +···+
1
n+1 < ln(n+1) < 1+ 1
2 + 1
3 +···+ 1
n (n ⩾1)．
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41
11
2
模块
2
极值点偏移问题
精讲精练
例5
已知函数f (x) = xe−x (x ∈R)．若x1 ∈(0,1)，x2 ∈(1,+∞)，且f (x1) = f (x2)，求证：x1 +x2 > 2．
例6
已知函数f (x) = ex −ax．设g(x) = f (x)−ax2，若函数g(x) 恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1 +x2
2
< ln(2a)．
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42
11
随堂测试
测试1
正确率：75%
当x > 0 时，x，ln(x+1)，x−x2
2 的大小关系是( )
A. x > x−x2
2 > ln(x+1)
B. ln(x+1) > x > x−x2
2
C. x > ln(x+1) > x−x2
2
D. 无法判断
测试2 设函数f (x) = lnx −ax2 (a > 0)．若函数f (x) 有极大值为−1
2，且存在实数m，n，m < n，使得f (m) =
f (n)，则m+n 与4a 的大小关系为( )
A. m+n > 4a
B. m+n = 4a
C. m+n < 4a
D. 不确定
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43
11
课堂总结
第12 讲
搞定高考解答题
之三角与数列
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45
12
1
模块
1
三角大题
精讲精练
考点1: 解双三角形
例1
如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC =
√
3CD．
（1）若∠CAD = 30◦，求角B 的大小．
（2）若BD = 2CD，且AD = 2
√
3，求CD 的长．
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46
12
考点2: 正余弦定理与面积公式综合
例2
如图，在锐角△ABC 中，D 为边BC 的中点，且AC =
√
3，AD = 3
√
2
2 ，O 为△ABC 外接圆的圆心，且
cos∠BOC = −1
3．
（1）求sin∠BAC 的值．
（2）求△ABC 的面积．
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47
12
例3
已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．且asin(A+B) = csin B+C
2
．
（1）求A．
（2）若△ABC 的面积为
√
3，周长为8，求a．
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48
12
考点3: 解三角形中的取值问题
例4
△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2c·cosC +c = a·cosB+b·cosA．
（1）求角C．
（2）若点P 在边AB 上，且BP = 2，sin∠PCA = 1
3，求CP+CB 的最大值．
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49
12
2
模块
2
数列大题
精讲精练
考点4: 分组求和法
例5
已知Sn 为数列{an} 的前n 项和，Sn = 2an −2(n ∈N∗)．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）若bn =
an,n = 2k −1
log2an,n = 2k
(k ∈N∗)，求数列{bn} 的前2n 项和T2n．
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12
考点5: 裂项相消法
例6
已知数列{an} 为等比数列，首项a1 = 4，数列{bn} 满足bn = log2an，且b1 +b2 +b3 = 12．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）令Cn =
4
bn ·bn+1
+an，求数列{Cn} 的前n 项和Sn．
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51
12
考点6: 错位相减法
例7
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且S3 = 9，a1，a3，a7 成等比数列．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）若an̸ = a1(当n ⩾2 时)，数列{bn} 满足bn = 2an，求数列{anbn} 的前n 项和Tn．
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12
随堂测试
测试1 在△ABC 中，三边长分别为a，a+2，a+4(a > 0)，最小角的余弦值为13
14，则这个三角形的面积为( )
A. 15
4
√
3
B. 15
4
C. 21
4
√
3
D. 35
4
√
3
测试2 已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosB+bcosA) = c，a = 1，b = 3，则c =
( )
A. 6
B. 7
C.
√
7
D. 9
测试3 设数列{an} 的前n 项和为Sn，且a1 = 2，an +an+1 = 2n (n ∈N∗)，则S13 =( )
A. 213 −4
3
B. 213 +2
3
C. 214 −4
3
D. 214 +2
3
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53
12
课堂总结
第13 讲
决战高考之数形
结合与函数方程
思想
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55
13
1
模块
1
思想概述
知识凝炼
函数与方程思想贯穿于整个高中数学，在高考中，函数与方程思想作为重要的思想方法来考查．
函数的思想是指通过分析变量之间的关系构造函数，利用函数的方法解决问题．方程的思想是指主要分析
数学问题中变量间的等量关系，建立一系列方程，并运用方程性质解决问题．函数思想与方程思想是密不可分
的．
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13
2
模块
2
建立函数模型解题
精讲精练
考点1: 构造函数比较不等式大小
例1
若a = ln2
2 ，b = ln3
3 ，c = ln5
5 ，则( )
A. a < b < c
B. c < b < a
C. c < a < b
D. b < a < c
例2
正确率：41%
不等式
8
(x+1)3 + 10
x+1 −x3 −5x > 0 的解集是( )．
A. (−2,1)
B. (−∞,−2)∪(1,+∞)
C. (−2,−1)∪(1,+∞)
D. (−∞,−2)∪(−1,1)
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57
13
考点2: 构造函数处理一类特定的不等条件
例3
已知函数f (x) = alnx+ 1
2x2 (a > 0)，若对任意两个不等的正实数x1、x2 都有f (x1)−f (x2)
x1 −x2
> 2 恒成立，
则实数a 的取值范围是
．
例4
正确率：57%
已知f (x) 是定义在(0,+∞) 上的函数．对任意两个不相等的正数x1,x2，都有x2 f (x1)−x1 f (x2)
x1 −x2
> 0，记
a = f
(
30.2)
30.2
，b = f
(
0.32)
0.32
，c = f (log25)
log25
，则( )
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < a < b
D. c < b < a
考点3: 构造函数求解方程根问题
例5
已知方程xe−2x +k = 0 在区间(−2,2) 内恰有两个实根，则k 的取值范围是
．
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13
例6
正确率：100%
已知函数f (x) = ax3 −3x2 +1，若f (x) 存在三个零点，则a 的取值范围是( )
A. (−∞,−2)
B. (−2,2)
C. (2,+∞)
D. (−2,0)∪(0,2)
考点4: 散形结合与函数个数求解问题
例7
正确率：67%
已知函数f (x) = |3x −2|−m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )
A. (0,+∞)
B. (0,2)
C. [0,+∞)
D. (0,2]
例8
若函数f (x) = 4x −m·2x +m+3 有两个不同的零点x1，x2，且x1 ∈(0,1)，x2 ∈(2,+∞)，则实数m 的取值
范围为( )
A. (−∞,−2)
B. (−∞,−2)∪(6,+∞)
C. (7,+∞)
D. (−∞,−3)
例9
正确率：28%
不等式4x −a·2x+1 +1 = 0 在x ∈[−1,1] 有解，则实数a 的取值范围是
．
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59
13
考点5: 构造函数求解取值范围问题
例10
正确率：67%
如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD 两两垂直，且AB = 2，若线段DE 上存在点P 使得
GP⊥BP，则边CG 长度的最小值为( )
A. 4
B. 4
√
3
C. 2
D. 2
√
3
例11 如图，四棱锥S−ABCD 的底面是矩形，AB = a，AD = 2，SA = 1，且SA⊥底面ABCD．若线段BC 上存在
异于B，C 的一点P，使得PS⊥PD，则a 的最大值为
．
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13
3
模块
3
建立方程（组）模型解题
精讲精练
考点6: 方程组法在切线问题中的应用
例12 已知函数f(x) = x3 −3x，若过点M(2,t) 可作曲线y = f(x) 的两条切线，则实数t 的值为
．
例13 若曲线y = 1
2ex2 与曲线y = alnx 在它们的公共点P(s,t) 处具有公共切线，则实数a =
．
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13
4
模块
4
总结归纳
从以下四个角度处理函数与方程问题：
1
理解二次函数、指对幂等基本初等函数的性质；
2
学会识别模型、分析题干中的恒等条件，合理转化并构造函数；
3
借助方程思想进行求解或变量代换；
4
运用函数思想处理最值及取值范围问题．
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13
随堂测试
测试1
正确率：61%
已知函数f (x) = x2 −2xcosx，则下列关于f (x) 的表述正确的是( )
A. f (x) 的图象关于y 轴对称
B. ∃x0 ∈R，使得f (x0) = −1
C. f (x) 有4 个零点
D. f (x) 有无数个极值点
测试2
正确率：56%
已知函数f (x) = x+2x，g(x) = x+lnx，h(x) = x−√x−1 的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3 的大小
关系是( )
A. x1 < x2 < x3
B. x2 < x1 < x3
C. x1 < x3 < x2
D. x3 < x2 < x1
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13
课堂总结
第14 讲
2020 年高考
（数学）预测卷剖
析课
特别
说明
2020 年高考
数学预测卷
详见
2020 年 5 月 18 日
电子版
该预测卷由学而思网校
高考研究中心专家组通过对
近年高考卷特点和趋势的深
入分析，结合 2020 年最新
一模、二模试卷编制而成，
指导考向和预测考题，敬请
期待！
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