文档文本内容
整体法与隔离法
模块1
共点力平态
3
模块2
动态平衡
5
模块3
非平衡态
7
模块4
临界极值问题
9
万有引力三大模型
模块1
环绕模型
15
模块2
球壳模型
17
模块3
多星模型
18
模块4
星表模型
19
七种功能关系
模块1
动能定理
25
模块2
机械能守恒定律
26
模块3
功能关系
29
碰撞及类碰撞
模块1
弹性碰撞
35
模块2
非碰撞碰撞
36
模块3
类非弹性碰撞
37
模块4
类弹性碰撞
39
目录
Contents
电场中的力、功、能、势
模块1
电场强度
45
模块2
电场中的功能势
47
模块3
图象分析
49
模块4
轨迹分析
50
边界磁场
模块1
单边界
57
模块2
双边界
59
模块3
三角形边界
60
模块4
多边形边界
61
模块5
圆形边界
63
单杆线框模型
模块1
单杆模型
67
模块2
线框模型
71
第1 讲
整体法与隔离法
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3
1
1
模块
1
共点力平态
精讲精练
例1
正确率：66%
如图，光滑的半球形碗边上放置一根重力为G 的筷子，O 为碗口的圆心，A、B 为接触点，且∠OAB = 30◦。
若筷子与水平方向夹角为30◦，则筷子在A、B 处受到的弹力大小分别为（ ）
A.
√
3
3 G，
√
3
3 G
B. 2
√
3
3 G ，2
√
3
3 G
C. G，G
D.
√
3G，
√
3G
例2
正确率：80%
水平地面上有一个倾角为θ 的斜面，其表面绝缘。另一个带正电的滑块放在斜面上，两物体均处于静止
状态，如图所示。当加上水平向右的匀强电场后，滑块与斜面仍相对地面静止，下面说法正确的是（ ）
A. 滑块与斜面间的摩擦力一定变大
B. 滑块与斜面间的摩擦力大小可能不变
C. 滑块对斜面的压力一定变大
D. 斜面体对地面的压力一定不变
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4
1
例3
正确率：73%
如图所示，轻绳两端分别与A、C 两物体相连接，mA = 1kg，mB = 2kg，mC = 3kg，物体A、B、C 之间及C
与地面间的动摩擦因数均为µ = 0.1，轻绳与滑轮间的摩擦可忽略不计。若要用力将C 物体拉动，则作
用在C 物体上水平向左的拉力最小为（ ）(取g = 10m/s2)
A. 6N
B. 8N
C. 10N
D. 12N
例4
正确率：84%
如图所示，在粗糙水平面上静止放置一个截面为三角形的斜劈，其质量为M。两个质量分别为m1 和m2
的小物块恰好能沿两侧面匀速下滑。若现在对两物块同时各施加一个平行于斜劈侧面的恒力F1、F2，且
F1 > F2，如图所示。则在两个小物块沿斜面下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 斜劈可能向左运动
B. 斜劈受到地面向右的摩擦力作用
C. 斜劈对地面的压力大小等于(M +m1 +m2)g
D. 斜劈对地面的压力大小等于(M +m1 +m2)g+F1 sinα +F2 sinβ
例5
物体M 位于斜面上，受到平行于斜面的水平力F 的作用处于静止状态，如图所示，如果将外力F 撤去，
则物体（ ）
A. 会沿斜面下滑
B. 摩擦力方向一定变化
C. 摩擦力变大
D. 摩擦力变小
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5
1
2
模块
2
动态平衡
精讲精练
例6
如图所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、B 两点，绳子的质量及绳与衣架挂钩间
摩擦均忽略不计，衣服处于静止状态。如果保持绳子A 端、B 端在杆上位置不变，将右侧杆平移到虚线
位置(绳子仍为绷直状态)，稳定后衣服仍处于静止状态。则（ ）
A. 绳子的弹力变大
B. 绳子的弹力不变
C. 绳对挂钩弹力的合力变小
D. 绳对挂钩弹力的合力不变
例7
如图所示，两个完全相同的小球，用一轻绳拴接，用竖直向上的力F 作用在绳的中点，绳间的夹角
α = 60◦，缓慢增大力F，直到两球刚要沿水平面运动，则关于该过程下列说法正确的是（ ）
A. 绳子的拉力逐渐减小
B. 地面对两球的支持力不变
C. 地面对每个球的摩擦力始终为零
D. 球刚要开始运动时，球受到的摩擦力最大
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6
1
例8
正确率：45%
如图，两个带电小球A、B 分别处于光滑绝缘的竖直墙面和斜面上，且在同一竖直平面内。用水平向左的
推力F 作用于B 球，两球在图示位置静止。现将B 球沿斜面向上移动一小段距离，发现A 球随之向上
移动少许，两球在虚线位置重新平衡。重新平衡后与移动前相比，下列说法正确的是（ ）
A. 墙面对A 的弹力变小
B. 斜面对B 的弹力不变
C. 推力F 变大
D. 两球之间的距离变大
例9
如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′ 悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系
一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F 向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F 的大小不变，缓
慢沿顺时针方向转动，直到水平为止，物块b 始终保持静止，则（ ）
A. 绳OO′ 的张力逐渐变大
B. 连接a 和b 的绳的张力逐渐变大
C. 物块b 与桌面间的摩擦力也一定逐渐变大
D. 物块b 所受到的支持力逐渐变大
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7
1
例10
正确率：66%
如图，木箱中用轻绳OM 和MN 拴住一小球，O 端和N 端分别固定在木箱的顶部和右侧，现将木箱沿
逆时针方向缓慢放倒，在此过程中（ ）
A. MN 上的张力逐渐增大
B. MN 上的张力先增大后减小
C. OM 上的张力逐渐增大
D. OM 上的张力先增大后减小
3
模块
3
非平衡态
精讲精练
例11 如图所示，在倾角为α = 30◦的光滑固定斜面上，有两个质量均为m 的小球A、B，它们用劲度系数为k
的轻弹簧连接，现对A 施加一水平向右的恒力，使A、B 均静止在斜面上，此时弹簧的长度为L，下列说
法正确的是（ ）
A. 弹簧的原长为L+ mg
2k
B. 水平恒力大小为
√
3
3 mg
C. 撤掉恒力的瞬间小球A 的加速度为g
D. 撤掉恒力的瞬间小球B 的加速度为g
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8
1
例12
正确率：40%
如图斜面体b 的质量为M，放在粗糙的水平地面上。质量为m 的滑块a 以一定的初速度沿有摩擦的斜
面向上滑，然后又返回，此过程中b 没有相对地面移动。由此可知（ ）
A. 地面对b 一直有向右的摩擦力
B. 地面对b 一直有向左的摩擦力
C. 地面对b 的支持力先大于(M +m)g 后小于(M +m)g
D. 地面对b 的支持力一直小于(M +m)g
例13 由两根直杆组成的直角架上套有A、B 两个小环，其间用细线相连。OP 杆水平、粗糙，OQ 竖直、光滑。A、
B 质量均为m，A 与杆之间的动摩擦因数为µ。现用水平力F 拉A 使A 向右匀速运动，则A 与杆间的
摩擦力（ ）
A. 小于2µmg
B. 等于2µmg
C. 大于2µmg
D. 无法确定
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9
1
4
模块
4
临界极值问题
精讲精练
例14 物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知mA = 8kg，mB = 2kg，A、B 间动摩擦因数
µ = 0.2，如图所示。若现用一水平向右的拉力F 作用于物体A 上，取g = 10m/s2，则下列说法正确的是
（ ）
A. 当拉力F < 16N 时，A 静止不动
B. 当拉力F > 16N 时，A 相对B 滑动
C. 当拉力F = 16N 时，A 受B 的摩擦力等于3.2N
D. 无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止
例15
正确率：44%
如图所示，A、B 两物块的质量分别为2m 和m，静止叠放在水平地面上。A、B 间的动摩擦因数为µ，B 与
地面间的动摩擦因数为1
2µ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A 施加一水平拉力
F，则（ ）
A. 当F < 2µmg 时，A、B 都相对地面静止
B. 当F = 5
2µmg 时，A 的加速度为1
3µg
C. 当F > 3µmg 时，A 相对B 滑动
D. 无论F 为何值，B 的加速度不会超过1
2µg
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10
1
随堂测试
测试1 如图所示，质量为M 的斜劈静止在粗糙水平地面上，质量为m 的物块正在M 的斜面上匀速下滑。现
在m 上施加一个水平推力F，则在m 的速度减小为零之前，下列说法正确的是（ ）
A. 加力F 之后，m 与M 之间的摩擦力变小
B. 加力F 之后，m 与M 之间的作用力不变
C. 加力F 之后，M 与地面之间产生静摩擦力
D. 加力F 前后，M 与地面间都没有摩擦力
测试2 如图所示，斜面体放在粗糙的水平地面上，在斜面体上放一重为G 的物块，物块和斜面体均处于静止状
态。用一垂直斜面向下且逐渐增大的力F 作用于物块上，物块和斜面体仍处于静止状态。在此过程中
（ ）
A. 物块所受的合力变大
B. 物块对斜面体的作用力不变
C. 地面对斜面体的摩擦力不变
D. 物块的重力与斜面体对物块的摩擦力的合力不变
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11
1
测试3 如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2 可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2 转动，在O 点悬挂一重
物M，将两个相同木块m 紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。Ff 表示木块与挡板间摩擦力的
大小，FN 表示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2 始终等
高，则（ ）
A. FN 变小
B. FN 变大
C. Ff 不变
D. Ff 变小
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12
1
课堂总结
第2 讲
万有引力三大模
型
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15
2
1
模块
1
环绕模型
精讲精练
例1
假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为
匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是（ ）
A. 地球的向心力变为缩小前的一半
B. 地球的向心力变为缩小前的1
16
C. 地球绕太阳的公转周期与缩小前的相同
D. 地球绕太阳的公转周期变为缩小前的一半
例2
正确率：70%
研究表明，地球自转在逐渐变慢，3 亿年前地球自转的周期约为22 小时，假设这种趋势会持续下去，地
球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（ ）
A. 距地面的高度变大
B. 向心加速度变大
C. 线速度变大
D. 角速度变大
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16
2
例3 “高分一号”卫星是一种高分辨率对地观测卫星，突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的关键
技术，如图所示，
“高分一号”与北斗系统中某颗卫星在同一平面内绕地心O 做匀速圆周运动，已知运动
过程中，北斗卫星与“高分一号”和地心的连线构成的夹角为α，其最大值为θ，则“高分一号”与北斗卫
星的线速度的比值为（ ）
A. sinθ
B.
1
sinθ
C.
√
sinθ
D.
√
1
sinθ
例4
正确率：54%
质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为Ep = −GMm
r
，其中G 为引力常量，
M 为地球质量。该卫星原来在半径为R1 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦
作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为（ ）
A. GMm
(
1
R2
−1
R1
)
B. GMm
(
1
R1
−1
R2
)
C. GMm
2
(
1
R2
−1
R1
)
D. GMm
2
(
1
R1
−1
R2
)
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17
2
2
模块
2
球壳模型
精讲精练
例5
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设月球是半径为R、质量分布均匀的球体，距离月
心为r 处的重力加速度g 与r 的关系如图所示。已知引力常量为G，月球表面的重力加速度大小为g0，
由上述信息可知（ ）
A. 距离月心R
2 处的重力加速度为g0
4
B. 距离月心2R 处的重力加速度为g0
4
C. 月球的质量为g0R2
G
D. 月球的平均密度为3g0
4πG
例6
正确率：57%
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体
的引力为零。地面处和矿井底部的重力加速度大小之比为（ ）
A. R−d
R
B.
R
R−d
C.
(
R
R−d
)2
D. 1
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18
2
3
模块
3
多星模型
精讲精练
例7
2017 年10 月16 日，美国激光干涉引力波天文台等机构联合宣布首次发现双中子星并合引力波事件。
两颗中子星在运动过程中不断发射引力波而失去能量，会逐渐相互靠近。在中学物理学习中，通常认为
双星系统A、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。已知A、B 的总质量为M，A、B 间距为L，
运动周期为T。则关于双星系统A、B 的下列说法正确的是（ ）
A. A 的质量小于B 的质量
B. A 的线速度大于B 的线速度
C. L 一定，M 越大，T 越大
D. M 一定，L 越大，T 越大
例8
正确率：61%
如图，拉格朗日点L1 位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月
球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1 建立空间站，使其与月球同周期
绕地球运动。以a1、a2 分别表示该空间站与月球向心加速度的大小，a3 表示地球同步卫星向心加速度
的大小。以下判断正确的是（ ）
A. a2 > a3 > a1
B. a2 > a1 > a3
C. a3 > a1 > a2
D. a3 > a2 > a1
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19
2
例9
正确率：58%
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它
们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两
颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，
并沿外接于等边三角形的圆形轨道上运行。设每个星体的质量均为m，引力常量为G，则第一种形式下，
星体运动的线速度和周期分别为（ ）
A. v =
√
5Gm
4R ，T = 4πR
√
R
5Gm
B. v =
√
2Gm
R ，T = πR
√
2R
5Gm
C. v =
√
4Gm
5R ，T = πR
√
5R
5Gm
D. v =
√
Gm
2R ，T = 2πR
√
2R
5Gm
4
模块
4
星表模型
精讲精练
例10 如图是在牛顿著作里画出的一幅原理图。图中表示从高山上用不同的速度水平抛出的物体的轨迹。物
体的速度越大，落地点离山脚越远。当速度足够大时，物体将环绕地球运动，成为一颗人造地球卫星。若
卫星的运动可视为匀速圆周运动，则要确定卫星的最小发射速度，需要知道（ ）
①引力常数、地球质量和地球半径；
②引力常数、卫星质量和地球半径；
③地球表面处重力加速度、地球半径；
④地球表面处重力加速度、地球自转周期。
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
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20
2
例11
正确率：73%
一物体静置在平均密度为ρ 的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物
体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ）
A.
(
4π
3Gρ
) 1
2
B.
(
3
4π Gρ
) 1
2
C.
(
π
Gρ
) 1
2
D.
(
3π
Gρ
) 1
2
例12
正确率：61%
若某行星自转的周期为T，用弹簧秤在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧秤在赤道上
的读数比两极上读数小1
25(行星视为球体)，引力常数为G，下列说法正确的是（ ）
A. 弹簧秤读数大小等于所测物体随行星自转的向心力
B. 该行星“两极”处的重力加速度是“赤道”上重力加速度的24
25
C. 该行星的密度为75π
GT 2
D. 假设该行星的自转周期变为原来的5 倍，则赤道上的物体会飘起来
例13
正确率：64%
P1、P2 为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2 做匀速圆周运动，图中纵坐
标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r 的平方，
两条曲线分别表示P1、P2 周围的a 与r2 的反比关系，它们左端点横坐标相同，则（ ）
A. P1 的平均密度比P2 的大
B. P1 的“第一宇宙速度”比P2 的小
C. s1 的向心加速度比s2 的大
D. s1 的公转周期比s2 的大
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21
2
随堂测试
测试1 如图，已知现在地球的一颗同步通信卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α。假设地球的自转
周期变大，周期变大后的一颗地球同步通信卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β，则前后两次同步
卫星的运行周期之比为（ ）
A.
√
cos3β
cos3α
B.
√
sin3β
sin3α
C.
√
cos32α
cos32β
D.
√
sin32α
sin32β
测试2
正确率：46%
设地球是一质量分布均匀的球体，O 为地心。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。在下
列四幅图中，能大致描述x 轴上各点的重力加速度g 的分布情况的是（ ）
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22
2
课堂总结
第3 讲
七种功能关系
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25
3
1
模块
1
动能定理
精讲精练
例1
正确率：85%
如图，一个物体在O 点以初速度v 开始做曲线运动，已知物体只受到沿x 轴方向的恒力F 作用，则物
体动能的变化情况是（ ）
A. 不断减小
B. 先增大后减小
C. 先减小后增大
D. 先减小后不变
例2
正确率：61%
如图所示，在竖直平面内有一光滑水平直轨道与半径为R 的光滑半圆形轨道在半圆的一个端点B 相
切，可视为质点的小球从A 点通过B 点进入半径为R 的半圆，恰好能通过半圆的最高点M，从M 点飞
出后落在水平面上，不计空气阻力，则（ ）
A. 小球到达M 点时的速度大小为0
B. 小球在A 点时的速度为√5gR
C. 小球落地点离B 点的水平距离为2R
D. 小球落地时的动能为5mgR
2
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26
3
例3
某同学在开展研究性学习的过程中，利用加速度传感器研究质量为5kg 的物体由静止开始做直线运动
的规律，并在计算机上得到了前4s 内物体加速度随时间变化的图象，如图所示。设第1s 内运动方向为
正方向，则下列说法正确的是（ ）
A. 物体先向正方向运动，后向负方向运动
B. 物体在第3s 末的速度最大
C. 前4s 内合外力做的功等于前2s 内合外力做的功
D. 物体在第4s 末的动能为22.5J
2
模块
2
机械能守恒定律
精讲精练
例4
正确率：73%
一物体做自由落体运动，关于其相对于地面的重力势能与下落速度的关系，下列各图中表示正确的是
（ ）
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27
3
例5
正确率：61%
如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P 点是这段轨道的最高点，A、B、C 三处是过山车的车头、中点
和车尾。假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可
忽略。那么，过山车在通过P 点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 车头A 通过P 点时的速度最小
B. 车的中点B 通过P 点时的速度最小
C. 车尾C 通过P 点时的速度比车头A 通过P 点时的速度小
D. A、B、C 通过P 点时的速度一样大
例6
正确率：55%
如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧
的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最
大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A. 圆环的机械能守恒
B. 弹簧弹性势能变化了
√
3mgL
C. 圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D. 圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
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28
3
例7
正确率：71%
如图所示，重力加速度大小为g，mA = 2mB，不计摩擦阻力，A 物体自H 高处由静止开始下落，且B 物体
始终在水平台面上。若以地面为零势能面，当物体A 的动能与其势能相等时，物体A 距地面高度是（ ）
A. 1
5H
B. 2
5H
C. 4
5H
D. 1
3H
例8
如图所示，在两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b 之间，用一根长为L 的轻杆连接（杆的质量可不
计），两小球可绕穿过轻杆中心O 的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重
球b 向下，轻球a 向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中（ ）
A. b 球的重力势能减小，动能增加
B. a 球的重力势能增加，动能减小
C. a 球和b 球的总机械能守恒
D. a 球和b 球的总机械能不守恒
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29
3
3
模块
3
功能关系
精讲精练
例9
一个带电小球在空中从a 点运动到b 点的过程中，重力做功5J，电场力做功2J，克服阻力做功1J。由此
可判断能量变化的有关说法中正确的是（ ）
A. 重力势能减少5J
B. 电势能增大2J
C. 动能增大6J
D. 机械能减少3J
例10 如图所示，根据α 粒子散射实验，卢瑟福提出了原子的核式结构模型，图中虚线表示原子核所形成的电
场的等势线，实线表示一个α 粒子的运动轨迹，在α 粒子从a 运动到b、再运动到c 的过程中，下列说
法中正确的是（ ）
A. 动能先增大，后减小
B. 电势能先减小，后增大
C. 电场力先做负功，后做正功，总功等于零
D. 加速度先变小，后变大
例11 如图所示，某段滑雪道倾角为30◦，总质量为m 的滑雪运动员从高为h 处的雪道顶端由静止开始匀加
速下滑，加速度为1
3g，在他下滑到底端的过程中（ ）
A. 运动员减少的重力势能全部转化为动能
B. 运动员获得的动能为1
3mgh
C. 运动员克服摩擦力做功为2
3mgh
D. 运动员减少的机械能为1
3mgh
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30
3
例12 如图所示，皮带的速度是3m/s，两圆心距离s = 4.5m，现将m = 1kg 的小物体轻放在左轮正上方的皮带
上，物体与皮带间的动摩擦因数µ = 0.15，电动机带动皮带将物体从左轮运送到右轮正上方时，求：
（I）小物体获得的动能Ek；
（II）这一过程摩擦产生的热量Q；
（III）这一过程电动机消耗的电能E 是多少？（g 取10m/s2）
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31
3
例13
正确率：74%
从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek 与重力势能Ep 之和。取地面为重力势能零点，
该物体的E总和Ep 随它离开地面的高度h 的变化如图所示。重力加速度取10m/s2。由图中数据可得
（ ）
A. 物体的质量为2kg
B. h = 0 时，物体的速率为20m/s
C. h = 2m 时，物体的动能Ek = 40J
D. 从地面至h = 4m，物体的动能减少100J
例14 如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保
持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面
垂直，棒在竖直向上的恒力F 作用下加速上升的一段时间内，力F 做的功与安培力做的功的代数和等
于（ ）
A. 棒的重力势能增加量
B. 棒的动能增加量
C. 棒的机械能增加量
D. 电阻R 上放出的热量
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32
3
随堂测试
测试1 如图所示，质量为m，高为h 的矩形导体线框在竖直面内自由下落。其上下两边始终保持水平，途中恰
好匀速穿过一个有理想边界、高也为h 的匀强磁场区域，不计空气阻力，则线框在此过程中产生的内能
为（ ）
A. mgh
B. 2mgh
C. 大于mgh 而小于2mgh
D. 大于2mgh
测试2 如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，一质量为m
的带正电小球在外力F 的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处于压缩状态。现撤去力
F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧弹力对小球做功分别为W1、W2 和W3，
不计空气阻力，则上述过程中（ ）
A. 小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B. 小球重力势能的变化为−W1
C. 小球动能的变化为W1 +W2 +W3
D. 小球机械能的变化为W2 +W3
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33
3
课堂总结
第4 讲
碰撞及类碰撞
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35
4
1
模块
1
弹性碰撞
精讲精练
例1
正确率：47%
如图所示，B、C、D、E、F，5 个球依次放置在光滑的水平面上，略有空隙，摆成一条直线。B、C、D、E，4 个
球质量相等，而F 球质量小于B 球质量，A 球的质量等于F 球质量。A 球以速度v0 向B 球运动，所发
生的碰撞均为弹性碰撞，则碰撞之后（ ）
A. 5 个小球静止，1 个小球运动
B. 4 个小球静止，2 个小球运动
C. 3 个小球静止，3 个小球运动
D. 6 个小球都运动
例2
正确率：53%
三个半径相同的弹性球，静止置于光滑水平面的同一直线上，顺序如图所示，已知mA = m，mC = 4m。当
A 以速度v0 向B 运动，若要使得B、C 碰后C 具有最大速度，则B 的质量应为（ ）
A. m
B. 2m
C. 3m
D. 4m
例3
A、B 两球在光滑水平面上沿同一直线运动，A 球动量为pA = 5kg·m/s，B 球动量为pB = 7kg·m/s；当A
球追上B 球时发生碰撞，则碰后A、B 两球的动量可能是（ ）
A. pA = 6kg·m/s、pB = 6kg·m/s
B. pA = 3kg·m/s、pB = 9kg·m/s
C. pA = 2kg·m/s、pB = 14kg·m/s
D. pA = −5kg·m/s、pB = 17kg·m/s
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36
4
2
模块
2
非碰撞碰撞
精讲精练
例4
正确率：53%
如图所示，匀强磁场的方向垂直于纸面向里，一带电微粒从磁场边界d 点垂直于磁场方向射入，沿曲线
dpa 打到屏MN 上的a 点，通过pa 段用时为t。若该微粒经过p 点时，与一个静止的不带电微粒碰撞
并结合成一个新微粒，最终打到屏MN 上，两个微粒所受重力均忽略，新微粒运动的（ ）
A. 轨迹为pb，至屏幕的时间将小于t
B. 轨迹为pc，至屏幕的时间将大于t
C. 轨迹为pb，至屏幕的时间将等于t
D. 轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t
例5
正确率：72%
如图所示，小球a、b 用长度相同的细线悬挂于同一固定点O。让球a 静止下垂，将球b 向右拉起，使
细线水平伸直。由静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为
60◦，则小球a、b 的质量之比为（ ）
A. 1 : 1
B. 1 : 2
C.
(√
2−1
)
: 1
D. 1 :
(√
2−1
)
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37
4
例6
正确率：32%
如图所示，光滑圆形管道固定在竖直面内，直径略小于管道内径。可视为质点的小球A、B 质量分别为
mA、mB，A 球从管道最高处由静止开始沿管道下滑，与静止于管道最低处的B 球相碰，碰后A、B 球均能
刚好达到与管道圆心O 等高处，关于两小球质量比值mA
mB
的说法正确的是（ ）
A.
√
2+1
B.
√
2−1
C. 1
D.
√
2
3
模块
3
类非弹性碰撞
精讲精练
例7
正确率：55%
用不可伸长的细线悬挂一质量为M 的小木块，木块静止，如图所示，现有一质量为m 的子弹自左方水
平射向木块，并停留在木块中，子弹初速度为v0，则下列判断正确的是（ ）
A. 从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒
B. 子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为
mv0
M +m
C. 忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能等于子弹射入木块前的动能
D. 子弹和木块一起上升的最大高度为
m2v02
2g(M +m)2
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38
4
例8
正确率：68%
如图所示，一沙袋用轻细绳悬于O 点。开始时沙袋处于静止，此后用弹丸以水平速度击中沙袋后均未穿
出，第一次弹丸的速度为v1，打入沙袋后二者共同摆动的最大摆角为30◦，当其第一次返回图示位置时，
第二粒弹丸以水平速度v2 又击中沙袋，使沙袋向右摆动且最大摆角仍为30◦，若弹丸质量是沙袋质量
的1
40 倍，则以下结论中正确的是（ ）
A. v1 = v2
B. v1 : v2 = 41 : 42
C. v1 : v2 = 42 : 41
D. v1 : v2 = 41 : 83
例9
矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度
v 水平射向滑块。若射击下层，子弹刚好不射出；若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示。
则上述两种情况相比较（ ）
A. 子弹的末速度大小相等
B. 系统产生的热量一样多
C. 子弹对滑块做的功不相同
D. 子弹和滑块间的水平作用力一样大
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39
4
4
模块
4
类弹性碰撞
精讲精练
例10
正确率：42%
如图所示，质量为M 带有光滑圆弧轨道的滑车静止置于光滑水平面上。一质量为m 的小球以速度v0
水平冲上滑车，在小球脱离滑车落地过程中，以下说法正确的是（ ）
A. 小球可能水平向右做斜抛运动
B. 小球一定沿水平方向向左做平抛运动
C. 小球可能沿水平方向向左做平抛运动
D. 小球可能做自由落体运动
例11
正确率：55%
如图所示，小车的上面是由中突的两个对称的曲面组成，整个小车的质量为m，原来静止在光滑的水平
面上。今有一个可以看作质点的小球，质量也为m，以水平速度v 从左端滑上小车，恰好到达小车的最
高点后，又从另一个曲面滑下。关于这个过程，下列说法正确的是（ ）
A. 小球滑离小车时，小车又回到了原来的位置
B. 小球在滑上曲面的过程中，小车的动量变化大小是mv
2
C. 小球和小车作用前后，小车和小球的速度一定变化
D. 车上曲面的竖直高度不会大于v2
4g
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40
4
例12
正确率：62%
如图所示，在光滑水平地面上有A、B 两个小物块，其中物块A 的左侧连接一轻质弹簧。物块A 处于静
止状态，物块B 以一定的初速度向物块A 运动，并通过弹簧与物块A 发生弹性正碰。对于该作用过程，
两物块的速率变化可用速率-时间图像进行描述，在选项所示的图像中，图线1 表示物块A 的速率变化
情况，图线2 表示物块B 的速率变化情况。则在这四个图像中可能正确的是（ ）
例13
正确率：41%
如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1 和m2 的两物块A、B 相连接，并静止在光滑的水平面
上。现使B 瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙
所示，从图象信息可得（ ）
A. 在t1、t3 时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于伸长状态
B. 从t3 到t4 时刻弹簧由压缩状态恢复到原长
C. 两物体的质量之比为m1 : m2 = 1 : 2
D. 在t2 时刻A 与B 的动能之比为Ek1 : Ek2 = 8 : 1
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41
4
随堂测试
测试1
正确率：66%
两个小球在光滑水平面上沿同一直线，同一方向运动，B 球在前，A 球在后，MA = 1kg，MB = 2kg，
vA = 6m/s，vB = 3m/s，当A 球与B 球发生碰撞后，A、B 两球速度可能为（ ）
A. vA = 4m/s，vB = 4m/s
B. vA = 2m/s，vB = 5m/s
C. vA = −4m/s，vB = 6m/s
D. vA = 7m/s，vB = 2.5m/s
测试2
正确率：79%
如图所示，质量为M 的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m 的物体，
某时刻给物体一个水平向右的初速度v0，那么在物体与盒子前后壁多次往复碰撞后（ ）
A. 两者的速度均为零
B. 两者的速度总不会相等
C. 盒子的最终速度为mv0
M ，方向水平向右
D. 盒子的最终速度为
mv0
M +m，方向水平向右
测试3 如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为2m 的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上。弧形槽底
端与水平面相切，一个质量为m 的小物块从槽高h 处开始自由下滑，下列说法错误的是（ ）
A. 在下滑过程中，物块和弧形槽组成的系统机械能守恒
B. 在下滑过程中，物块和槽的水平方向动量守恒
C. 物块压缩弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能Ep = 2
3mgh
D. 物块被弹簧反弹后，离开弹簧时的速度大小为
√
2gh
3
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42
4
课堂总结
第5 讲
电场中的力、功、
能、势
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45
5
1
模块
1
电场强度
精讲精练
例1
正确率：75%
A、B 是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度从A 点沿电场线运动
到B 点，其速度—时间图象如图所示，则这一电场可能是图中的（ ）
例2
正确率：57%
如图，M、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，∠MOP = 60◦。电荷量相等、
符号相反的两个点电荷分别置于M、N 两点，这时O 点电场强度的大小为E1；若将N 点处的点电荷移
至P 点，则O 点的场强大小变为E2，E1 与E2 之比为（ ）
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 2 :
√
3
D. 4 :
√
3
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46
5
例3
正确率：70%
如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为+Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上。圆心为O 点，过O
点做一竖直线，在此线上取一点A，使A 到O 点的距离为R，在A 点放一试探电荷+q，则+q 在A 点
所受的库仑力为（ ）
A. kQq
R2 ，方向向上
B.
√
2kQq
4R2
，方向向上
C. kQq
4R2 ，方向水平向左
D. 不能确定
例4
如图所示，O 是半径为R 的正N 边形(N 为大于3 的偶数) 外接圆的圆心，在正N 边形的一个顶点A
放置一个电荷量为+2q 的点电荷，其余顶点分别放置电荷量均为−q 的点电荷(未画出)。则下列对圆
心O 处的电场强度描述正确的是（ ）
A. 场强大小为3kq
R2
B. 场强方向从O 指向A
C. 场强大小为(N −1)kq
R2
D. 场强方向从A 指向O
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47
5
例5
正确率：63%
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB
上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有
M、N 两点，OM = ON = 2R，已知M 点的场强大小为E，则N 点的场强大小为（ ）
A. kq
4R2
B. kq
2R2 −E
C. kq
4R2 −E
D. kq
2R2 +E
2
模块
2
电场中的功能势
精讲精练
例6
正确率：70%
图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3 的电势为
0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a，b 点时的动能分别为26eV 和5eV。当这一点电
荷运动到某一位置，其电势能变为4eV 时，它的动能为（ ）
A. 8eV
B. 15eV
C. 20eV
D. 34eV
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48
5
例7
正确率：52%
如图所示，在a 点由静止释放一个质量为m、电荷量为q 的带电粒子，粒子到达b 点时速度恰好为零，
设ab 所在的电场线竖直向下，a、b 间的高度差为h，则（ ）
A. 带电粒子带负电
B. a、b 两点间的电势差Uab = mgh
q
C. b 点场强大于a 点场强
D. a 点场强大于b 点场强
例8
正确率：50%
如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点处的电势为0，点A
处的电势为6V，点B 处的电势为3V，则电场强度的大小为（ ）
A. 200V/m
B. 200
√
3V/m
C. 100V/m
D. 100
√
3V/m
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49
5
3
模块
3
图象分析
精讲精练
例9
正确率：54%
空间有一沿x 轴对称分布的电场，其电场强度E 随x 变化的图象如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. O 点的电势最低
B. x2 点的电势最高
C. x1 和−x1 两点的电势相等
D. x1 和x3 两点的电势相等
例10 假设空间某一静电场的电势φ 随x 变化情况如图所示，根据图中信息可以确定下列说法中正确的是
（ ）
A. 空间各点场强的方向均与x 轴垂直
B. 将电荷沿x 轴从0 移到x1 的过程中，电荷做匀加速直线运动
C. 正电荷沿x 轴从x2 移到x3 的过程中，电场力做正功，电势能减小
D. 负电荷沿x 轴从x4 移到x5 的过程中，电场力做负功，电势能增加
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50
5
例11 一带负电的粒子只在电场力作用下沿x 轴正向运动，其电势能Ep 随位移x 变化的关系如图所示，其中
0 ∼x2 段是关于直线x = x1 对称的曲线，x2 ∼x3 段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A. x1 处电场强度最小，但不为零
B. 粒子在0 ∼x2 段做匀变速运动，x2 ∼x3 段做匀速直线运动
C. 在O、x1、x2、x3 处电势φ0、φ1、φ2、φ3 的关系为φ3 > φ2 = φ0 > φ1
D. x2 ∼x3 段的电场强度大小方向均不变，为一定值
4
模块
4
轨迹分析
精讲精练
例12
正确率：70%
如图所示，实线表示匀强电场的电场线，虚线表示某一带电粒子从a 点进入电场时通过该电场区域的运
动轨迹，a、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，则由此图可作出正确的判断
是（ ）
A. 粒子带正电
B. 粒子在a 点的电势能大于在b 点的电势能
C. 粒子在a 点的速度大于在b 点的速度
D. 粒子在a 点的加速度大于在b 点的加速度
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51
5
例13 如图所示，A、B 是真空中的两个等量异种点电荷，M、N、O 是AB 连线的某垂线上的点，且AO > OB。一
带负电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线所示，M、N 为轨迹和垂线的交点，设M、N 两
点的场强大小分别为EM、EN，电势分别为φM、φN。下列说法中正确的是（ ）
A. 点电荷A 一定带正电
B. EM 小于EN
C. φM 大于φN
D. 此试探电荷在M 处的电势能小于在N 处的电势能
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52
5
随堂测试
测试1
正确率：70%
静电场在x 轴上的场强E 随x 的变化关系如图所示，x 轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x 轴
运动，则点电荷（ ）
A. 在x2 和x4 处电势能相等
B. 由x1 运动到x3 的过程电势能减小
C. 由x1 运动到x4 的过程电场力先增大后减小
D. 由x1 运动到x4 的过程电场力先减小后增大
测试2
正确率：51%
图中虚线为匀强电场中与场强方向垂直的等间距平行直线，两粒子M、N 质量相等，所带电荷的绝对值
也相等，现将M、N 从虚线上的O 点以相同速率射出，两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实
线所示。点a、b、c 为实线与虚线的交点，已知O 点电势高于c 点，若不计重力，则（ ）
A. M 带负电荷，N 带正电荷
B. N 在a 点的速度与M 在c 点的速度大小相同
C. N 在从O 点运动至a 点的过程中克服电场力做功
D. M 在从O 点运动至b 点的过程中，电场力对它做的功等于零
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53
5
测试3
正确率：65%
如图所示，带箭头的线段表示某一电场，一带电粒子仅在电场力的作用下经过A 点飞向B 点，轨迹如
图中虚线所示，则（ ）
A. 带电粒子带负电，在A 点动能大，电势低，电势能小
B. 带电粒子带负电，在B 点动能大，电势高，电势能大
C. 带电粒子带正电，在A 点动能大，电势低，电势能小
D. 带电粒子带正电，在B 点动能大，电势高，电势能大
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54
5
课堂总结
第6 讲
边界磁场
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57
6
1
模块
1
单边界
精讲精练
例1
如图所示，正、负电子垂直磁场方向沿与边界成θ = 30◦角的方向射入匀强磁场中，则正、负电子在磁场
中运动的时间之比为（ ）
A. 1 : 1
B. 1 : 2
C. 1 : 5
D. 1 : 6
例2
正确率：43%
如图所示，在x 轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy 平面内，从原点O 处
沿与x 轴正方向成θ 角(0 < θ < π) 以速率v 发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法正确的是
（ ）
A. 若v 一定，θ 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B. 若v 一定，θ 越大，则粒子离开磁场的位置距O 点越远
C. 若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D. 若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
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58
6
例3
质量和电量都相等的带电粒子M 和N，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如
图中虚线所示。下列表述正确的是（ ）
A. M 带负电，N 带正电
B. M 的速率小于N 的速率
C. 洛伦兹力对M 和N 做正功
D. M 的运行时间大于N 的运行时间
例4
如图所示，直线MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，有两个相同的粒子1 和2(不计重力)，粒子1 从
磁场边界上的a 点垂直MN 和磁场方向射入磁场，经t1 时间从b 点离开磁场。之后粒子2 也由a 点
沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2 时间从a、b 连线的中点c 离开磁场，则下述正确
的是（ ）
A. 两粒子均带正电
B. 两粒子均带负电
C. t1 : t2 = 3 : 2
D. t1 : t2 = 3 : 1
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59
6
2
模块
2
双边界
精讲精练
例5
正确率：65%
如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板
不带电。现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)。从左边极板间中点处垂直磁感线以速度
v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A. 使粒子的速度v < BqL
4m
B. 使粒子的速度v > 5BqL
4m
C. 使粒子的速度v > BqL
m
D. 使粒子的速度BqL
4m < v < 5BqL
4m
例6
如图所示，匀强磁场分布在平面直角坐标系的整个第I 象限内，磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里。
一质量为m、电荷量绝对值为q、不计重力的粒子，以某速度从O 点沿与y 轴夹角为30◦的方向进入磁
场，运动到A 点时，粒子速度沿x 轴正方向。下列判断确的是（ ）
A. 粒子带负电
B. 运动过程中粒子的速度不变
C. 粒子由O 到A 经历的时间为t = πm
3qB
D. 离开第I 象限时，粒子的速度方向与x 轴正方向的夹角为30◦
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60
6
3
模块
3
三角形边界
精讲精练
例7
如图所示，比荷为e/m 的电子，以速度v0 从A 点沿AB 边射入边长为a 的等边三角形的匀强磁场区域
中，欲使电子能从BC 边穿出，磁感应强度B 的取值为（ ）
A. B =
√
3mv0
ae
B. B = 2mv0
ae
C. B <
√
3mv0
ae
D. B < 2mv0
ae
例8
在一个边界为等边三角形的区域内，存在着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的P 点处
有一个粒子源，粒子源发出比荷相同的三个粒子a、b、c(不计重力) 沿同一方向进入磁场，三个粒子在磁
场中的运动轨迹如图所示，用ta、tb、tc 分别表示abc 通过磁场的时间，用ra、rb、rc 分别表示a、b、c 在磁
场中的运动半径，下列判断正确的是（ ）
A. ta = tb > tc
B. tc > tb > ta
C. rc > rb > ra
D. rb > ra > rc
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6
例9
如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A = 60◦，AO = a。在O
点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为q/m，发射速度大小都为v0，
且满足v0 = qBa
m ，发射方向用图中的角度θ 表示，对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说
法正确的是（ ）
A. 粒子有可能打到A 点
B. 以θ = 60◦飞入的粒子在磁场中运动时间最短
C. 以θ < 30◦飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D. 在AC 边界上只有一半区域有粒子射出
4
模块
4
多边形边界
精讲精练
例10 如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd 所在平面)
向外。ab 边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。
则从a、d 两点射出的电子的速度大小分别为（ ）
A. 1
4kBl，
√
5
4 kBl
B. 1
4kBl，5
4kBl
C. 1
2kBl，
√
5
4 kBl
D. 1
2kBl，5
4kBl
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6
例11 如图所示，ABCD 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界，AB = 2a、BC = a，磁场方向垂直纸面向里．一细
束质量为m、电荷量为+q 的粒子以大小不同的速度在纸面内从E 点垂直AB 边界射入磁场，BE = a
2，
不计粒子的重力和粒子之间的相互作用，关于粒子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 在磁场中的运动时间相同的粒子入射速度相同
B. 到达D 点的粒子入射速度大小v = 13qBa
12m
C. 落在AD 边的粒子在磁场中运动的最短时间为2πm
3qB
D. 粒子在磁场中运动的最长时间为πm
qB
例12 如图所示，边长为L 的正六边形abcde f 中，存在垂直该平面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为B。a
点处的粒子源发出大量质量为m、电荷量为+q 的同种粒子，粒子的速度大小不同，方向始终垂直ab 边
且与磁场垂直，不计粒子的重力，当粒子的速度为v 时，粒子恰好经过b 点，下列说法正确的是（ ）
A. 速度小于v 的粒子在磁场中运动时间为πm
2qB
B. 经过c 点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
C. 经过d 点的粒子在磁场中运动的时间为πm
4qB
D. 速度大于2v 的粒子一定打在cd 边上
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6
5
模块
5
圆形边界
精讲精练
例13 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电粒子(不计重力) 以某一初
速度沿圆的直径方向射入磁场，粒子穿过此区域的时间为t，粒子飞出此区域时速度方向偏转60◦角，根
据上述条件不能求出下列物理量中的是（ ）
A. 带电粒子的比荷
B. 带电粒子的初速度
C. 带电粒子在磁场中运动的周期
D. 带电粒子在磁场中运动的半径
例14
正确率：64%
如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向
射入磁场，经过△t 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60◦角，现将带电粒子的速度变为v
3，仍从A 点
沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（ ）
A. 3△t
B. 1
2△t
C. 1
3△t
D. 2△t
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6
随堂测试
测试1
正确率：60%
如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q 的粒子在纸面内从O
点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A 点。下列说法正确的有（ ）
A. 若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v0
B. 若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v0
C. 若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v0 −qBd
2m
D. 若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v0 + qBd
2m
测试2
正确率：53%
两个电荷量分别为q 和−q 的带电粒子a、b 分别以速度va 和vb 射入匀强磁场，两粒子的入射方向与
磁场边界的夹角分别为30◦和60◦。磁场宽度为d，两粒子同时由A 点出发，同时到达B 点，如图所示，
则（ ）
A. a 粒子带负电，b 粒子带正电
B. 两粒子的轨迹半径之比Ra : Rb =
√
3 : 1
C. 两粒子的质量之比ma : mb = 2 : 1
D. 两粒子的速度大小之比va : vb = 1 : 2
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6
课堂总结
第7 讲
单杆线框模型
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67
7
1
模块
1
单杆模型
精讲精练
例1
如图所示，两光滑平行导轨水平放置在匀强磁场中，磁场垂直于导轨所在的平面向里，金属棒ab 可沿导
轨自由滑动，导轨一端跨接一个定值电阻R，导轨电阻不计，现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉
力恒定，当速度为v 时，加速度为a1，最终以速度2v 做匀速运动；若保持拉力的功率恒定，当速度为v
时，加速度为a2，最终也以速度2v 做匀速运动，则（ ）
A. a2 = a1
B. a2 = 2a1
C. a2 = 3a1
D. a2 = 4a1
例2
如图，在水平桌面上放置两条相距为l 的平行光滑金属导轨ab 与cd，阻值为R 的电阻与导轨的a、c 端
相连。质量为m、电阻不计的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动。整个装置放于匀强磁场中，
磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B。导体棒的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边
的光滑轻滑轮后，与一个质量也为m 的物块相连，绳处于拉直状态。现若从静止开始释放物块，用h 表
示物块下落的高度(物块不会触地)，g 表示重力加速度，其他电阻不计，则（ ）
A. 电阻R 中的感应电流方向由a 到c
B. 物块下落的最大加速度为g
C. 若h 足够大，且导轨足够长，物体下落的最大速度为mgR
B2l2
D. 通过电阻R 的电荷量为Blh
R
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7
例3
正确率：58%
如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保
持垂直并接触良好且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面
垂直，棒在竖直向上的恒力F 作用下加速上升的一段时间内，力F 做的功与安培力做的功的代数和等
于（ ）
A. 棒的动能增加量
B. 棒的重力势能增加量
C. 棒的机械能增加量
D. 电阻R 上放出的热量
例4
正确率：46%
如图所示，abcd 为固定的水平光滑矩形金属导轨，导轨间距为L，左右两端接有定值电阻R1 和R2，R1 =
R2 = R，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m 的导体棒MN 放
在导轨上，棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨与棒的电阻。两根相同的轻质弹簧甲和乙一端固定，
另一端同时与棒的中点连接。初始时刻，两根弹簧恰好处于原长状态，棒获得水平向左的初速度v0，第
一次运动至最右端的过程中R1 产生的电热为Q，下列说法中正确的是（ ）
A. 初始时刻棒所受安培力的大小为B2L2v0
R
B. 棒第一次回到初始位置的时刻，R2 的电功率为B2L2v02
R
C. 棒第一次到达最右端的时刻，两根弹簧具有弹性势能的总量为1
2mv02 −Q
D. 从初始时刻至棒第一次到达最左端的过程中，整个回路产生的电热大于2
3Q
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7
例5
正确率：59%
如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计。匀强磁场与导轨平面垂直。阻值为R 的
导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好。t = 0 时，将开关S 由1 掷到2。q、i、v 和a 分别表示
电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度。下列图象正确的是（ ）
例6
正确率：70%
如图所示，一质量为m 的金属杆ab，以一定的初速度v0 从一光滑平行金属轨道的底端向上滑行，轨道
平面与水平面成θ 角，两导轨上端用一电阻R 相连，磁场方向垂直轨道平面向上，轨道与金属杆ab 的
电阻不计并接触良好。金属杆向上滑行到某一高度后又返回到底端，在此过程中（ ）
A. 上滑过程通过电阻R 的电量比下滑过程多
B. 上滑过程金属杆受到的合外力的冲量比下滑过程大
C. 上滑过程金属杆受到的安培力的冲量比下滑过程大
D. 上滑过程和下滑过程金属杆的加速度的最小值出现在同一位置
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7
例7
如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨MN、PQ 处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，导轨间距为
L，导轨的右端接有阻值为R 的电阻。一根质量为m，电阻为r 的金属棒垂直于导轨放置，并与导轨接触
良好。现使金属棒以一定初速度向左运动，它先后通过位置a、b 后，到达位置c 处刚好静止。已知磁场
的磁感应强度为B，金属棒通过a、b 处的速度分别为va、vb，a、b 间的距离等于b、c 间的距离，导轨的电
阻忽略不计。下列说法中正确的是（ ）
A. 金属棒运动到a 处时的加速度大小为B2L2va
mR
B. 金属棒运动到b 处时通过电阻的电流方向由Q 指向N
C. 金属棒在a →b 过程与b →c 过程中通过电阻的电荷量相等
D. 金属棒在a 处的速度va 是其在b 处速度vb 的
√
2 倍
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7
2
模块
2
线框模型
精讲精练
例8
正确率：59%
如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。—边长为a、电阻为4R
的正方形均匀导线框ABCD 从图示位置开始沿水平向右方向以速度v 匀速穿过磁场区域，在选项图中
线框A、B 两端电压UAB 与线框移动距离x 的关系图象正确的是（ ）
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例9
如图，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b 和下边界
d 水平。在竖直面内有一矩形金属线圈，线圈上下边的距离很短，下边水平。线圈从水平面a 开始下落。
已知磁场上下边界之间的距离大于水平面a、b 之间的距离。若线圈下边刚通过水平面b、c(位于磁场中)
和d 时，线圈所受到的磁场力的大小分别为Fb、Fc 和Fd，则（ ）
A. Fd > Fc > Fb
B. Fc < Fd < Fb
C. Fc > Fb > Fd
D. Fc < Fb < Fd
例10
正确率：54%
如图所示，一刚性矩形铜制线圈从高处自由下落，进入一水平的匀强磁场区域，然后穿出磁场区域（ ）
A. 若线圈进入磁场过程是匀速运动，则离开磁场过程一定是匀速运动
B. 若线圈进入磁场过程是加速运动，则离开磁场过程一定是加速运动
C. 若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程一定是加速运动
D. 若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程一定是减速运动
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7
例11
正确率：47%
如图所示，空间存在一有边界的条形匀强磁场区域，磁场方向与竖直平面(纸面) 垂直，磁场边界的间距
为L。一个质量为m、边长也为L 的正方形导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直，
且线框上、下边始终与磁场的边界平行。t = 0 时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合(图中位置
Ⅰ)，导线框的速度为v0。经历一段时间后，当导线框的下边恰好与磁场的上边界重合时(图中位置Ⅱ)，
导线框的速度刚好为零。此后，导线框下落，经过一段时间回到初始位置Ⅰ。则（ ）
A. 上升过程中，导线框的加速度逐渐增大
B. 下降过程中，导线框的加速度逐渐增大
C. 上升过程中合力做的功与下降过程中的相等
D. 上升过程中克服安培力做的功比下降过程中的多
例12
正确率：29%
如图光滑水平面上有竖直向下的有界匀强磁场，磁场宽度为2L、磁感应强度为B。正方形线框abcd 的
电阻为R，边长为L，线框以与ab 垂直的速度3v 进入磁场，线框穿出磁场时的速度为v，整个过程中
ab、cd 两边始终保持与磁场边界平行。设线框进入磁场区域过程中产生的焦耳热为Q1，穿出磁场区域
过程中产生的焦耳热为Q2。则Q1 : Q2 等于（ ）
A. 1 : 1
B. 2 : 1
C. 3 : 2
D. 5 : 3
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例13
正确率：64%
如图所示，a、b 是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域，a 的下端离水平地面的
高度比b 高一些。甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线框，分别位于a、b 的正上方，两线框的下端
离地面的高度相同。两线框由静止同时释放，下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直。下列说法
中正确的是（ ）
A. 甲线框可能不落地
B. 乙线框一定先落地
C. 穿过磁场的过程中，通过甲线框的电荷量较多
D. 穿过磁场的过程中，乙线框产生的热量较多
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7
随堂测试
测试1 如图所示，足够长的光滑金属导轨MN、PQ 平行放置，且都倾斜着与水平面成夹角θ。在导轨的最上端
M、P 之间接有电阻R，不计其他电阻。导体棒ab 从导轨的最底端冲上导轨，当没有磁场时，ab 上升的
最大高度为H；若存在垂直于导轨平面的匀强磁场时，ab 上升的最大高度为h。在两次运动过程中ab
都与导轨保持垂直，且初速度都相等。关于上述情景，下列说法正确的是（ ）
A. 两次上升的最大高度相比较为H < h
B. 有磁场时导体棒所受合力做的功大于无磁场时合力做的功
C. 有磁场时，电阻R 产生的焦耳热为1
2mv02
D. 有磁场时，ab 上升过程的最小加速度为gsinθ
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测试2
正确率：50%
如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2 分别表示线框ab 边和cd 边
刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab 边始终保持与磁场水平边界OO′ 平行，线框平面与磁
场方向垂直。设OO′ 下方磁场区域足够大，不计空气影响，则下列哪一个图象不可能反映线框下落过
程中速度v 随时间t 变化的规律（ ）
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测试3 如图所示，矩形单匝导线框abcd 竖直放置，其下方有一磁感应强度为B 的匀强磁场区域，该区域的上
边界水平，并与线框的ad 边平行，磁场方向与线框平面垂直。已知线框ab 边长为h，ad 边长为L，线
框质量为m，总电阻为R。现无初速度地释放线框，在下落过程中线框所在平面始终与磁场垂直，且线
框的ad 边始终保持水平。重力加速度为g。若线框恰好匀速进入磁场，则下列结论正确的是（ ）
A. bc 边刚进入磁场时，线框受安培力的大小等于mg
B. bc 边刚进入磁场时，线框的速度大小等于mgR
B2L2
C. 从线框开始下落到ad 边刚进入磁场的过程中，线框中产生的热量等于m3g2R2
2B4L4 +mgh
D. 从线框开始下落到ad 边刚进入磁场的过程中，线框重力做功等于m3g2R2
2B4L4 +mgh
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课堂总结
1119091112761
