文档文本内容
{前排提醒：解析并不能体现题目真正的价值，做题的意义在
于识别题型、摸透方法，所以大家一定要看课哦}
一轮复习——导数
调整前：
5 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
零点个数与隐零点问题
课时四（10.19）
极值点偏移
课时五（10.26）
函数放缩与不等式证明
调整后：
6 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
隐零点问题
课时四（10.19）
零点个数问题
课时五（10.26）
极值点偏移
课时六（11.2）
函数放缩与不等式证明
第三讲
隐零点问题
当导函数存在零点，但无法求解时，可考虑虚设零点
0x ，我们称之为“隐零点”（即能
确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达）．再对关系式
0
(
)
0
f
x
进行合理的变形与
代换，由此去解决问题．在具体应用时有两种代换是最常用的，一种是代换掉指数或对数，
另一种是代换掉参数．隐零点体现了“设而不求”的数学思想．
方法一——代换指数与对数
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆☆
【例1】已知函数
，其中
，若
恒成立，
求
的取值范围．
【解析】
恒成立
，
．
易知
在
上单调递增
当
时，
不能恒大于
．
不妨设
为
的根．
即
，
，
为单调增函数，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
．即
的取值范围是
．
【注】原函数中如果既有指数又有对数，那么可以利用隐零点方程同时消掉指数
和对数.
【例2】（2015 高考真题新课标I）设函数
．证明：当
时，
．
【解析】
的定义域为
，
．
当
时，
为单调递增，
单调递增，
在
单调递增，
又
，假设存在
满足
时，且
，
，
故当
时，导函数
存在唯一的零点，
可设导函数
在
上的唯一零点为
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，最小值为
，
由于
，所以
．
方法二——代换参数
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆☆☆
【例3】已知函数
．当
时，求证：函数
有最
小值，并求函数
最小值的取值范围．
【解析】
，
，
在
上单调递增．又
，
，
存在
，使
．
时，
，
时，
．
当
时，
且有
，
．
求导知
在
上单调递减，
，
，且
，
．
，
，
，
，
的最小值的取值范围是
．
方法三——双隐零点问题
重要性：☆☆☆☆
难度：☆☆☆☆☆
【例4】设函数
．
，
是
的两个极值点，证明：
．
【解析】证明：
，则
，
根据题意可得
在
上有两个不同的根
，
，
，解得
，且
，
，
．
令
，则
，
令
，则当
时，
，
在
上为减函数，
即
，
在
上为减函数，即
，
．
