文档文本内容
{前排提醒：解析并不能体现题目真正的价值，做题的意义在
于识别题型、摸透方法，所以大家一定要看课哦}
一轮复习——导数
课时：5 次课
主题
课时一（9.21）
单调性与极值最值
课时二（10.5）
恒成立问题
课时三（10.7）
零点个数与隐零点问题
课时四（10.19）
极值点偏移
课时五（10.26）
函数放缩与不等式证明
第一讲 单调性与极值最值
【注】单调性与极值最值的核心内容在暑期都已讲过，因此本讲主要通过一些典
型的题目来巩固和强化这部分的题型与方法.
模块一 利用导数研究单调性
【方法点拨】
一、利用导数判断函数单调性的基本方法
【易错题】
（1）求
( )
ln
x
f x
x
a
的单调区间
（2）求
2
1
( )
e (
1)
2
x
f x
x
x
的单调区间
二、含参导函数的分类讨论
3. 指对型导函数
导函数中若含有ex
a
，ln x
a
型因式，在判断符号时，将之看作一次因式即可：
ex
a
：当
0
a 时恒大于零；当
0
a 时
ln
e
e
e
x
x
a
a
，因此与
ln
x
a
同号．
ln x
a
：ln
ln
lnea
x
a
x
，因此与
ea
x
同号．
三、判断单调性的进阶技巧
1.瞪眼法（观察法）
（1）导函数零点
（2）导函数单调性
（3）导函数的符号
2.利用二阶导数（高阶导数）
（1）求二阶导
（2）由二阶导判断一阶导的单调性
（3）由一阶导单调性结合特殊点函数值判断一阶导的符号
（4）由一阶导符号得到原函数的单调性
注意：在求二阶导数时，为了简化函数，我们可以把一阶导函数中不定号的部分
提出来，对其求导即可.
四、单调性的逆向求参问题
1. 已知函数在区间上单调增或者单调减，转化为导函数恒大于等于零或恒小于
等于零求解．
2. 已知函数在区间上不单调，转化为导数在区间内存在变号零点．
3. 已知函数在区间上存在单调增或者单调减区间，转化为导函数在区间上大于
零或者小于零有解．
【题型归纳】
题型1——含参导函数的分类讨论
重要性：☆☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例1】（1）已知函数
，讨论
的单调性．
【解析】
，
，令
．
(1)当
时，
，当
时，
，
，函数
单调
递减；
当
时，
，
，函数
单调递增．
(2)当
时，由
，即
，解得
．
①当
时，
，
恒成立，此时
，函数
在
单调递
减．
②当
时，
，当
时，
，
，函数
单调递减；
当
时，
，
，函数
单调递增；
当
时，
，
，函数
单调递减．
③当
时，
，当
时，
，
，函数
单调递减；
当
时，
，
，函数
单调递增．
④当
时，
，当
时，
，
，函数
单调递减；当
时，
，
，函数
单调递增；当
时，
，
，函数
单调递减．
⑤当
时，
，当
时，
，
，函数
单调递增；当
时，
，
，函数
单调递减．
综上所述：当
时，函数
在
上单调递减，
上单调递增；当
时，
函数
在
单调递减；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；在
上单调递减；当
时，
函数
在
单调递增，在
上单调递减．
（2）已知函数
．讨论
的单调性．
【解析】
，
①当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
在
上单调递增；
在
上单调递减；
③当
时，
在
上单调递增；
④当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减．
题型2——判断单调性的进阶技巧
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例2】（1）已知函数
，
．试判断
在定义域上的单调性．
【解析】
函数
，
．
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，
故函数
在定义域
上为增函数．
（2）已知函数
．讨论函数
的单调性．
【答案】
在
上单调递减，在
上单调递增
【解析】当
时，
，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
，
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递减．
综上，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（3）（ 2018 高考真题新课标III21）已知函数
．
若
，证明：当
时，
；当
时，
．
【解析】证明：当
时，
．
，
，
可得当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
在
上单调递增，又
．
当
时，
；当
时，
．
（4）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，显然
单调递增，
当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
等价于
，
整理得
，解得
或
，故选：C．
题型3——单调性的逆向求参问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例3】（1）设函数
，若
在
上为减函数，求
的取
值范围．
【解析】对
求导得
，
令
，
由题得
在
上恒成立，而
，
故
，解得
，
故
的取值范围为
．
（2）已知函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围为
________．
【答案】
【解析】对函数求导，得
，
依题意，得
在
上有解．即
在
时有解．
显然
时，不等式有解，
时，只需
在
时有解，即只需
，
令
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，综合
得
，故答案为：
．
（3）已知函数
，若函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据题意，函数
，
则
，
若函数
在区间
上不单调，
则等价于二次函数
在
内有实数根但无重根，
令
，得
，解得
或
；
若
，解得
，此时
恒大于
，不满足题意；
若
，解得
；
若
，解得
；综上，
的取值范围是
．
模块二 抽象函数的导数
【铺垫题】 找原函数——逆用求导公式
【引例】若
2
F
x
x
，那么我们可以认为
2
F x
x
C
（其中C 是与x 无关的常数）．参
照这个判断，填写以下的
F x ：
（1） 若
cos
2
1
F
x
x
x
，则
F x ________________；
（2）若
sin
cos
F
x
f
x
x
f x
x
，则
F x ________________；（用
f x 表示，下
同）
（3）若
cos
sin
F
x
f
x
x
f x
x
，则
F x ________________；
（4）若
4
3
4
F
x
x f
x
x f x
，则
F x ________________；
（5）若
4
3
xf
x
f x
F
x
x
，则
F x ________________.
（6）若
3
2
2x
xf
x
f x
F
x
x
，则
F x ________________.
【答案】（1）
2
sin x
x
x
（2）
sin
f x
x （3）
cos
f x
x
（4）
4x f x （5）
3
f x
x
（6）
2
( )
f x
x
x
【方法点拨】
1. 构造原函数解决问题
（1）基本思路：逆用求导公式构造原函数，根据已知条件得到原函数的单调性，从而利用
单调性解决问题。
（2）常见构造有如下两种：⑴加减类型，⑵乘除类型
常见乘除类型包括两种：⑴幂函数类型，⑵指数类型
2. 指数乘除类型构造
（1）条件：
或
，
构造：
0
0
x
x
f
x
e
f x
e
0
0
f
x
f x
x
g x
f x
e
（2）条件：
或
，
构造：
3. 幂函数乘除类型构造
（1）条件：
或
0( 0)
nf x
xf
x
，
构造：
（2）条件：
1
( )
( )
0( 0)
n
xf
x
nf x
x
或
( )
( )
0( 0)
xf
x
nf x
，
构造：
【注】此处难点是
0( 0)
nf x
xf
x
及
( )
( )
0( 0)
xf
x
nf x
的构造，一般情况下：
首先看符号：加即构造乘法，减即构造除法
其次看
的系数：若
的系数为
，一般构造
或
【题型归纳】
题型4——抽象函数的导数
重要性：☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例4】（1）设定义在
上的函数
的导函数
满足
，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】根据题意，函数
的定义域为
，
即
，则
，
0
0
x
f
x
f x
e
0
0
f
x
f x
x
f x
g x
e
1
0
0
n
n
nx
f x
x f
x
n
g x
x f x
n
f x
g x
x
f x
f x
n
n
g x
x f x
n
f x
g x
x
故
，即
，故选：A．
（2）已知函数
满足条件：当
时，
，则下列不等式正确的
是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：构造函数
．
，在
恒成立，
在
上是增函数，
，
得
，故选：C．
（3）定义在
上的函数
满足
(其中
为
的导
函数)，若
，则下列各式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：令
，
，
恒成立，
在
上单调递增，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选：D．
（4）已知
是定义在
上的减函数，其导函数
满足
，则下列
结论中正确的是（ ）
A.
恒成立
B.
恒成立
C. 当且仅当
时，
D. 当且仅当
时，
【答案】A
【解析】
，
，故
，
令
，则
在
上单调递增，
而
，故当
时，
，则
；当
时，
，则
，
故
在
上恒成立，故选：A．
（5）(2015 全国卷Ⅱ)设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设
，
，当
时，
，
在
上为减函数，且
．
为奇函数，
为偶函数，
的图象的示意
图如图所示．当
时，由
，得
，由图知
，当
时，
由
，得
，由图知
，
使得
成立的
的取值范围是
，故选A．
【备选】已知奇函数
是定义在
上的连续可导函数，其导函数是
，当
时，
恒成立，则下列不等关系一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：设
，
恒成立，
在
上单调递减，
，
，
，
为奇函数，
，
，
故选：C．
模块三 极值与最值
【方法点拨】
一、利用导数求极值
1．可导函数极值的分析方法：
在
0
x
x
处，
0
0
f
x
，
若在
0x 左侧
0
0
f
x
，在
0x 右侧
0
0
f
x
，则
0x 是
f x 的极大值点；
若在
0x 左侧
0
0
f
x
，在
0x 右侧
0
0
f
x
，则
0x 是
f x 的极小值点．
2．求可导函数的极值的步骤：
①求函数的定义域；
②求导函数
f
x
；
③在原函数的定义域内，求方程
0
f
x
的所有实数根；
④对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数
f
x
的符号变化情况．
【注意】注意区分导函数为0 的点与极值点.
【易错题】求出下列函数的所有极值点
（1）
4
( )
ex
f x
x
（2）
5
( )
ex
f x
x
二、极值的逆向求参问题
1. 已知极值点求参数值
此类问题的求解思路是：根据极值点的导数为零，列出方程直接求解参数，但要注意验
证是否是变号零点．
2. 由极值存在性求参数范围
此类问题可以等价的转化为导函数零点的分布问题，但要注意必须是变号零点.另外如
果明确告知了是极大值或极小值，那么还需要讨论零点两侧导函数的符号.
三、利用导数求最值
求闭区间上函数的最值的步骤：
①求函数在该区间上的极值；
②把极值与端点的函数值作比较，最大的即最大值，最小的即最小值．
四、含参函数最值的分类讨论与已知最值逆向求参
最值的分类讨论相对单调性与极值更复杂一些，主要体现在两点：（1）定义域往往限定
在某一区间；（2）极值与区间端点值的大小比较．
【题型归纳】
题型5——求极值
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例5】（1）设函数
，求函数
的单调区间与极
值．
【解析】由
，
得
，
于是
．
令
，从而
，
得
或
．
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
由上表知，
的单调递增区间是
与
，单调递减区间是
，
故函数的极小值为
，极大值为
．
（2）
（ 2017 高考真题山东卷20）已知函
，
令
，讨论
的单调性并判断有无极值，有极值时求出极
值．
【解析】
，
．
令
，则
，
函数
在
上单调递增．
，
当
时，
；当
时，
．
当
时，
，
当
时，
，函数
在
上单调
递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减．
当
时，函数
取得极小值，
．
当
时，令
．
解得
，
．
当
时，
时，
，
，函数
单调递增；
当
时，
，
，函数
单调递减；
当
时，
，
，函数
单调递增．
当
时，函数
取得极小值，
．
当
时，函数
取得极大值，
．
当
时，
，
时，
，
函数
在
上单调递增，无极
值．
当
时，
时，
，函数
单调递增；
时，
，函数
单调递减；
时，
，函数
单调递增．
当
时，函数
取得极大值，
．
当
时，函数
取得极小值，
．
综上所述：当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
时，函数
取得极小值，
．
当
时，函数
在
上单调递增；函数
在
上单
调递减，在
上单调递增．当
时，函数
取得极小值，
．当
时，函数
取得极大值，
．
当
时，
，函数
在
上单调递增，无极值．
当
时，函数
在
，
上单调递增；函数
在
上
单调递减．当
时，函数
取得极大值，
．当
时，函数
取得极小值，
．
题型6——极值的逆向求参问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆
【例6】（1）若函数
在
处取得极小值，则实数
的取
值范围是________．
【答案】
【解析】
．
当
时，可得
时，函数
取得极大值，舍去．
当
时，令
，解得
或
．
函数
在
处取得极小值，
，解得
．
实数
的取值范围是
．
（2）已知函数
，若
是函数
的唯一一个极值点，则实
数
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
函数
，
函数
的定义域是
，
；
是函数
的唯一一个极值点，
是导函数
的唯一根．
在
无变号零点；
令
，
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递增，
的最小值为
，
无解；
②当
时，
有解为：
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
的最小值为
，
，
由
和
图象，它们切于
，综上所述，
．
【备选】若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
函数
，
，
令
，
，
，
函数
有两个极值点，
有两个不同的实数根，
有两个不同的正根，
，解得
，故选：B．
题型7——含参的最值问题
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【备选】已知函数
2
( )
ln
f x
a
x
x
，aR ，求函数
( )
f x 在区间(0, e] 上的最小值.
【解析】
2
2
2
2
a
ax
f
x
x
x
x
⑴若
0
a
时，
2
2
f
x
x
，
( )
f x 在区间(0, e] 上单调递减，
min
2
f x
f e
a
e
⑵若
0
a
时，
2
2
0
ax
f
x
x
2
x
a
①若2
0
a
即
0
a
时，
( )
f x 在区间(0, e] 上单调递减，
min
2
f x
f e
a
e
②若2 ≥e
a
即
2
0
≤
a
e
时，
( )
f x 在区间(0, e] 上单调递减，
min
2
f x
f e
a
e
③若
2
0
e
a
即
2
a
e
时，当
2
0,
x
e
时，
f x 单调递减，当
2 ,
x
e
e
时，
f x 单调递增，
( )
f x 在区间
0
e
，上的最小值为
2
ln
a
a
a
.
综上：当
2
e
a ≤
时，
( )
f x 在区间
0
e
，上的最小值为2
e
a
；
当
2
e
a
时，
( )
f x 在区间
0
e
，上的最小值为
2
ln
a
a
a
.
【例7】（1）设函数
．当
时，求函数
在
0,k 上
的最大值
．
【解析】因为
，所以
．
令
，解得
．因为
，所以
，所以
．
设
，
所以
在
上是减函数，所以
即
．
所以
随
的变化情况如下表：
0
极小值
所以函数
在
上的最大值为
或
．
，
．
所以
，所以
．令
，则
．
对任意的
，
的图像恒在
的图像的下方，所以
，即
，
所以函数
在
上为减函数，故
，
所以
，即
．
所以函数
在
上的最大值
．
（2）已知函数
．当
时，若函数
的最大值为
，求
的值．
2
( )
(
1)e
(
)
x
f x
x
kx k
R
1
1
2
k
，
(
)
f x
M
2
1 ex
f x
x
kx
( )
e
2
(e
2 )
x
x
f
x
x
kx
x
k
( )
0
f
x
1
2
0
ln 2
x
x
k
，
1
1
2
k
∈
，
2
1 2
k∈，
0
ln(2 )
ln2
k
≤
1
( )
ln(2 )
1
2
g k
k
k
k
，∈
，
1
1
( )
1
k
g k
k
k
≤0，
( )
g k
1
1
2
，
( )
(1)
1 ln2
0
g k
g
≥
，0
ln(2 )
k
k
( )
( )
f
x
f x
，
x
x
(0 ln(2 ))
k
，
ln(2 )
k
(ln(2 )
)
k
k
，
( )
f
x
( )
f x
( )
f x
0
k
，
(0)
f
( )
f k
3
(0)
1
( )
(
1)ek
f
f k
k
k
，
3
3
( )
(0)
(
1)e
1
(
1)e
(
1)
k
k
f k
f
k
k
k
k
2
(
1)e
(
1)(
1)
k
k
k
k
k
2
(
1) e
(
1)
k
k
k
k
1
1
2
k
∈
，
1
0
k ≤
2
( )
e
(
1)
k
h k
k
k
( )
e
(2
1)
k
h k
k
1
1
2
k
∈
，
ek
y
2
1
y
k
e
(2
1)
0
k
k
( )
0
h k
( )
h k
1
1
2
，
1
2
1
1
1
7
(1)
( )
e
1
e
0
2
4
2
4
h
h k
h
≤
( )
(0)
0
f k
f
≥
( )
(0)
f k
f
≥
f x
0
k
，
3
( )
(
1)ek
M
f k
k
k
【解析】方法
：因为
时，函数
的定义域为
,
令
则
由
故存在
，
故当
时，
；当
时，
故
故
，解得
故
的值为
．
方法
：因为
时，函数
的定义域为
,
的最大值为
的充要条件为：
对任意的
，
且存在
，使得
，
等价于对任意的
且存在
，使得
，
等价于
的最大值为
．
，
令
，得
．
的变化如下：
故
的最大值为
，即
．
