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专题 19.1 一次函数中的含参问题
◆ 典例分析
【典例1】定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n(n>0)的点，叫做该
函数图象的“n阶和点”.例如，(2,1)为一次函数y=x−1的“3阶和点”．
（1）若点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m= ______ ，n= ______ ；
（2）若y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
（3）若y关于x的一次函数y=nx−4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法和“n阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用一次函数的性质确定y关于x的一次函数y=nx−4的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨
论的方法和“n阶和点”的定义，求得x的值，进而得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，再
利用已知条件即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的点，
∴−m=−1，
∴m=1，
∵点(−1,−1)到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的“2阶和点”，
∴n=2．
故答案为：1；2；
（2）设一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为(a,b)，则|a)+|b)=5，b=a+3，
一次函数y=x+3图象经过第一、二、三象限，
当(a,b)在第一象限时，a+b=5，
∴a=1，b=4，
∴一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为（1,4），
∴k−2=4，
∴k=6；
当(a,b)在第二象限时，−a+b=5，由于b=a+3，此种情形不存在；当(a,b)在第三象限时，−a−b=5，
∴a=−4，b=−1，
∴一次函数y=x+3图象的“5阶和点”为(−4,−1)，
∴−4k−2=−1，
1
∴k=− ．
4
1
综上，y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5阶和点”，k的值为6或− ；
4
（3）由题意得：n>0，
∵−4<0，
∴y关于x的一次函数y=nx−4的图象经过第一、三、四象限，
设M(x，y)为y关于x的一次函数y=nx−4的图象的“n阶和点”，
∴|x)+|y)=n，
①当M在第一象限时，x+ y=n，
∴x+nx−4=n，
n+4
∴x= ，
n+1
∵n>0，
∴n+1>0，n+4>0，
∴x>0，符合题意，
∴当M在第一象限时，n>0；
②当M在第三象限时，−x−y=n，
∴−x−nx+4=n，
4−n
∴x= <0，
n+1
∵n>0，
∴n+1>0，
∴4−n<0，
∴n>4；
∴当M在第三象限时，n>4；
③当M在第四象限时，x−y=n，
∴x−nx+4=n，n−4
∴x= >0，
1−n
∴14；
当满足①③不满足②时，14或1−2 C．k≥ 或k≤−2 D．k≥ 或k<−2
3 3 3 3
4．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数y=kx+3(k≠0)，当k≤x≤m时，a≤ y≤b，若a+b的最小值为
2，则m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
5．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数y=(k−3)x+k（k为常数），有下列结论：①当k≠3时，
此函数是一次函数；②无论k取什么值，函数图像必经过点(−1,3)；③若图像经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0；④若函数图像与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0y ，m的取值范围为 .
2 2 1
7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知 是一次函数 图像上的
A(x ,y )，B(x ,y ) y=2x−kx+1
1 1 2 2
不同两个点， 则当 时， 的取值范围是 ．
m=(x −x )(y −y ) m<0 k
1 2 1 2
1
8．（23-24八年级下·北京·期中）已知直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，B．若将直线y= x向上
2
平移n个单位长度与线段AB有公共点，则n的取值范围是 ．
9．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，A(1,0)、B(3,0)、M(4,3)，动点P从点A出发，沿x轴以每秒2
个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y=−x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM
有公共点，则t的取值范围为 ．
10．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(1,2)，
直线l的函数表达式为y=kx+4−3k(k≠0)．若线段AB与直线l没有交点，则k的取值范围是
．11．（23-24八年级下·北京西城·期中）下表是一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中x与y的两组对
应值．
x −1 0
y −4 −2
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知直线y=ax+1，当x<3时，对于x的每一个值，都有ax+1>kx+b，直接写出a的取值范围．
12．（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数y=(2k−1)x+3k−2．
（1）当k为何值时，函数图象经过原点；
（2）当k为何值时，函数图象经过一、三、四象限；
（3）当k为何值时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方．
13．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数y =kx−b，y =bx−k（k，b
1 2
是实数，且bk≠0）．
（1）若函数y 的图象过点(4,b)，求函数y 与x轴的交点坐标；
1 2
( 1 )
（2）若函数y 的图象经过点(m,0)，求证：函数y 的图象经过点 ,0 ；
1 2 m
（3）若函数y 的图象不经过第二象限，且过点(3,−2)，求k的取值范围．
114．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数y =(a−1)x−2a+1，其中a≠1．
1
( 1)
（1）若点 1,− 在y的图象上，求a的值；
2
（2）当−2≤x≤3时，若函数有最小值−5，求y 的函数表达式；
1
（3）对于一次函数y =(m+1)(x−1)+2，其中m≠−1，若对一切实数x，y −2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m
的取值范围．16．（22-23八年级下·福建漳州·期末）阅读理解：
例：若(x−2)是多项式x3+3x2−8x+k的一个因式，求k的值．
解：设x3+3x2−8x+k=A(x−2)，
若x−2=0时，则有x3+3x2−8x+k=0，
将x=2代入x3+3x2−8x+k=0，得
8+12−16+k=0，
解得k=−4．
仿照上例的解法，解答下列的问题．
（1）若(x+1)是多项式x2−4x+k的一个因式，求k的值；
a2+b2+1+4a
（2）若 可化为整式，求化简后的整式；
a+3
（3）若(x−1)和(x−2)是多项式x4+mx3+nx−16的两个因式，且直线y=(k−m)x−n+k不经过第二象
限，求k的取值范围．
17．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我们将经过某一共同点(a,b)的所有一次函数叫做经过该点的“直
线系”，这个点叫做该“直线系”的“特征点”，经过“特征点”(a,b)的“直线系”解析式可以统一表
示为：y=k(x−a)+b，其中k叫做直线的“斜率”（k为常数且k≠0），例如经过点(1,2)的“直线系”解
析式可以表示为：y=k(x−1)+2=kx−k+2．
（1）试求“直线系” y=kx+2k+3的“特征点”坐标；
（2）“特征点”为(2,5)的“直线系”中有直线满足：当1≤x≤3时，y的范围恰好为：3≤ y≤7，求该直
线的解析式；
（3）点(t,c−2b)在“特征点”为(2,0)且斜率k>0的直线上，其中b，c满足：b+c=−k，且2k>b>c，
求t的取值范围．18．（2023八年级下·全国·专题练习）约定：如果函数的图象经过点(m,n)，我们就把此函数称作“
(m,n)族函数”．比如：正比例函数y=2x的图象经过点(1,2)，所以正比例函数y=2x就是“(1,2)族函
数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 （填选项）
②以下是“(−1,1)族函数”的是 （填选项）
1
A，y= B，|y|=x C，y=x2+2x−4 D，y=|x|+1 E，y2=−x
x
F，y=2x+3
（2）已知一次函数y=kx−k+1(k为常数，k≠0)．
1
①若该函数是“(− ,4)族函数”，求k的值．
2
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y=2x+4和y=−x+1都是“(m,n)族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y=kx+b的函
1 1 −1
数值y恰好有 ≤ ≤ ，求该一次函数的解析式．
2n y 2m19．（22-23九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，对于点P(x,y)给出如
下定义：将点P向右（a>0）或向左（a<0）平移|a)个单位长度，再向上（b>0）或向下（b<0）平移
|b)个单位长度，得到点P′，点P′与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知
， ，则AB中点坐标为(x +x y + y )】
A(x ,y ) B(x ,y ) 1 2, 1 2
1 1 2 2 2 2
（1）①若A(3,2)，B(1,0)，则AB中点坐标为______；
②若M(2,1)，P(2,4)，则点Q的坐标为______
（2）已知M(1,1)，点P在直线l：y=3x上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______
（3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为(5,5)，点P(x,y)为正方形
ABCD上的动点
①当a=b=0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______
②当点M(a,b)在直线：y=3x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则
a的取值范围是______．20．（23-24八年级下·广东广州·期中）定义：对于给定的一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），把
形如
y=
{ kx+b(x≥0) )（
k≠0
，
k
、
b
为常数）的函数称为一次函数
y=kx+b
（
k≠0
，
k
、
b
为常数）的
−kx+b(x<0)
衍生函数．已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(−2,1)，B(3,1)，C(5,3)，D(0,3)．
（1）点E(n,3)在一次函数y=x+2的衍生函数图象上，则n= ；
（2）如图，一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形ABCD交于
20
M、N、P、Q四点，其中P点坐标是(−1,2)，并且S +S = ，求该一次函数的解析式．
△APQ 四边形BCMN 3
（3）一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），其中k、b满足3k+b=2．
若一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形ABCD恰好有两个交点，求b
的取值范围．
