文档文本内容
第 12 讲 二次函数与方程、不等式综合
知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
中的
Δ=b2 −4ac
决
定。
若
Δ>0
，抛物线与x轴有两个交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
有两个不等的实根，这
两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若
Δ=0
，抛物线与x轴有一个交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
有两个相等的实根，此
时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若
Δ《<0
，抛物线图象与x轴没有交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
无实根，
a>0
抛物
线在x轴上方，
a<0
，抛物线在x轴下方。
【典例】
1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【答案】D.
【解析】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，
∵a＞1
∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，
ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，
x= ＞0，故选：D．
2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx
﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______
【答案】﹣5＜t≤4
【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直
线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）
A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6
【答案】C.
【解析】解：由表可以看出，当 x 取 1.4 与 1.5 之间的某个数时，y=0，即这个数是
ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1
【答案】C.
【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x= =﹣1．
故选：C．
【方法总结】
解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问
题。当一元二次程的
Δ>0
，二次函数与x轴有两个交点， 时，二次函数与x轴有一
Δ《<0
个交点， 时，二次函数与x轴没有交点。
【随堂练习】
1．（大庆一模）对于二次函数 ，有下列结论：①其图象与
轴一定相交；②若 ，函数在 时， 随 的增大而减小；③无论 取何值，抛物
线的顶点始终在同一条直线上；④无论 取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结
论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当 ， ，
解得 ， ，
则二次函数 的图象与 轴的交点坐标为 、 ， ，所以①、
④正确；
当 时，抛物线的对称轴 ，
则函数在 时， 先随 增大而增大，然后减小，
所以②错误；
该抛物线对称轴为 ，顶点的纵坐标为 ，则 ，即无论 取何值，抛物线的顶点始终在直线 上，所以③正
确．
故选： ．
2．（莱芜区）将二次函数 在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的
其余部分不变，得到一个新图象，若直线 与这个新图象有3个公共点，则 的值
为
A． 或 B． 或2 C． 或2 D． 或
【解答】解：如图所示，过点 的直线 与新抛物线有三个公共点，将直线向下平
移到恰在点 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，
令 ，解得： 或6，即点 坐标 ，
将一次函数与二次函数表达式联立得： ，整理得： ，
△ ，解得： ，
当一次函数过点 时，将点 坐标代入： 得： ，解得： ，
综上，直线 与这个新图象有3个公共点，则 的值为 或 ；
故选： ．
3．（宁波自主招生）三个关于 的方程： ， ，，已知常数 ，若 、 、 分别是按上顺序对应三个方
程的正根，则下列判断正确的是
A． B．
C． D．不能确定 、 、 的大小
【解答】解： ，
二次函数 ， ， 开口大小为：
．
其函数图象大致为：
．
．
故选： ．
4．（集美区模拟）二次函数 的对称轴为 ．若关于 的一元二次方程
在 的范围内有实数解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 抛物线的对称轴 ，
，
则方程 ，即 的解相当于 与直线 的交点的横坐标，方程 在 的范围内有实数解，
当 时， ，
当 时， ，
又 ，
当 时，在 的范围内有解．
的取值范围是 ，
故选： ．
5．（梧州）已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ， ，
则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：关于 的一元二次方程 的解为 ， ，可以看作二次函
数 与 轴交点的横坐标，
二次函数 与 轴交点坐标为 ， ，如图：
当 时，就是抛物线位于 轴上方的部分，此时 ，或 ；
又
， ；
，
故选： ．
6．（南充模拟）针对关于 的方程 ，下列说法错误的A．可以有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．一个根大于0，一个根小于0 D． 时才有整数根
【解答】解： ．△ ，函数应该有两个不相等的实数根，故错误；
．由 知，故 正确；
． ，故一个根大于0，一个根小于0，正确；
．当 时，解方程得： 或 ；当 时， 或 ，故正确．
故选： ．
7．（绍兴模拟）若抛物线 与 轴两个交点间的距离为6，称此抛物线
为定弦抛物线．已知某定弦抛物线开口向上，对称轴为直线 ，且通过 ， ，
， 四点，则 ， ， ， 中为正数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 某定弦抛物线的对称轴为直线 ，
该定弦抛物线过点 、 ，
该抛物线的大致图象如图所示：
．
所以在 ， ， ， 四点中， 为正数．
故选： ．
8．（莘县二模）如图，抛物线 交 轴点 和 ，交 轴于点
，抛物线的顶点为 ，下列四个判断：①当 时， ；②若 ，则 ；③
抛物线上有两点 ， 和 ， ，若 ，且 ，则 ；④点关于抛物线对称轴的对称点为 ，点 ， 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形
周长的最小值为 ，其中，判断正确的序号是
A．①② B．②③ C．①③ D．②③④
【解答】解：① 时， ， 可以小于0，故①错误；
②若 ，则 ，抛物线的对称轴为 ， ， ，故②正确；
③ ，且 ， 到对称轴 的距离大于 到对称轴的距离， ，
故③正确；
④ ，
， ，
点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，
，
作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴， 轴分别
交于点 ， ，
则四边形 周长的最小值为 ，
， ，
，
四边形 周长的最小值为 ，
故④错误；
故选： ．9．（三明一模）二次函数 满足以下条件：当 时，它的图象位于
轴的下方；当 时，它的图象位于 轴的上方，则 的值为
A．27 B．9 C． D．
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，
和 时，函数值相等，
当 时，它的图象位于 轴的下方；当 时，它的图象位于 轴的上方，
抛物线与 轴的交点坐标为 ， ，
把 代入 得 ，解得 ．
故选： ．
10．（齐齐哈尔一模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴
的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，现有下列结论：① ：②
；③ ；④当 时， 随 的增大而减小；⑤ ；⑥ ．
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由抛物线开口方向向下知， ．
由抛物线对称轴位于 轴右侧知， 、 异号，即 ，则 ．
故正确；
②由抛物线与 轴有两个不同的交点知， ．
故错误；
③由对称轴 知 ，则 ，即 ．
故正确；
④如图所示，当 时， 随 的增大而减小，
故错误；
⑤如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与 轴的另一交点坐标是 ．
所以当 时， ，即 ，
故正确；
⑥如图所示，当 时， ，
而点 在第一象限，
，
．
故错误．
综上所述，其中正确的结论有3个．
故选： ．
11．（武功县一模）已知抛物线 ，当 时， ，且当 时，的值随 值的增大而减小，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得： ．
解得 ．
故选： ．
知识点2二次函数与一次函数的综合
求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的 x值就是他们
交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。
【典例】
1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______
【答案】2个
【解析】解：由题意得：x2﹣4x+3=x+1，
整理得：x2﹣5x+2=0
∵△=25﹣8＞0
∴x2﹣5x+2=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1有两个交点，
2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（
）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】解：∵b＜0，
∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交，
故排除A、C选项，
B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限，
∴a＞0，
二次函数开口向上，
故D选项不符合题意，
∵a＞0，b＜0时，对称轴x=﹣ ＞0，B选项符合题意．
故选：B．
3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x，0），B（x，0），且x2+x2=5，与
1 2 1 2
y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．
【解析】解答：（1）令y=0得，x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4=0，
∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2+3m+4）=﹣16m﹣15．
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15＞0，
解得，m＜﹣ ，
此时，y的图象与x轴有两个交点．
②当△=0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m﹣15=0，
解得，m=﹣ ，
此时，y的图象与x轴有一个交点．
③当△＜0时，方程没有的实数根，即﹣16m﹣15＜0，
解得，m＞﹣ ，
此时，y的图象与x轴没有一个交点．
∴m＜﹣ ，图象与x轴有两个交点；m=﹣ ，图象与x轴只有一个交点；m＞﹣ ，
图象与x轴没有交点；
（2）由根与系数的关系得：
x+x=2m﹣1，x×x=m2+3m+4．
1 2 1 2
∴x2+x2=（x+x）2﹣2xx=（2m﹣1）2﹣2（m2+3m+4）=2m2﹣10m﹣7．
1 2 1 2 1 2
∵x2+x2=5，
1 2
∴2m2﹣10m﹣7=5．
解得m=6，m=﹣1．
1 2
∵m＜﹣ ，
∴m=﹣1．
∴y=x2+3x+2．
令x=0，得y=2．
∴二次函数y的图象与x轴的交点C坐标为（0，2）．
又y=x2+3x+2=（x+32）2﹣14，∴顶点M的坐标为（﹣32，﹣14）．
设过C（0，2）与M（﹣32，﹣14）的直线解析式为y=kx+b，
则 ，
解得 ，
所以直线CM的解析式为y= x+2．
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端
点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣m+2=（x﹣m）2﹣m+2，
∴D（m，﹣m+2）；
（2）∵抛物线经过点B（1，m），
∴m=1﹣2m+m2﹣m+2，
解得：m=3或m=1；
（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），
∴线段AB：y=m（﹣3≤x≤1），
与y=x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得：
x2﹣2mx+m2﹣2m+2=0，
令y=x2﹣2mx+m2﹣2m+2，
若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点，
即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个零点，
当x=﹣3时，y=m2﹣4m+11＜0，
∵△＞0，
∴此种情况不存在，
当x=1时，y=m2+4m+3≤0，
解得1≤m≤3．
【方法总结】
解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时
此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【随堂练习】1．（孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为 A（﹣
2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是______．
【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为 A（﹣2，
4），B（1，1），
∴方程组 的解为 ， ，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x =﹣2，x =1．
1 2
所以方程ax2=bx+c的解是x =﹣2，x =1
1 2
故答案为x =﹣2，x =1．
1 2
知识点3二次函数与不等式的综合
y=ax2 +bx+c(a》>0)
1.二次函数 与一元二次不等式之间的关系
若
Δ>0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为
x<x
1
,x>x
2
(x
1
<x
2
)
；
y=ax2 +bx+c<0 x <x<x (x <x )
的解集为 1 2 1 2 。
若
Δ=0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为
x≠x
1,2；
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
若
Δ<0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为x可取任意实数。
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
2.二次函数与一次函数不等关系
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，
自变量相同，谁高谁大。
【典例】
1.如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A
1 2（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y≥y 成立的x的取值范围______
1 2
【答案】﹣1≤x≤9
【解析】解：由两个函数的图象知：当y≥y 时，﹣1≤x≤9．
1 2
2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______
【答案】2＜x＜3
【解析】解：由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0，
∵当x=0时，﹣6＞0不成立，
∴x≠0，
∴关于a的一次函数y=x2•a+5x﹣6，
当a=﹣1时，y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣2）（x﹣3），
当a=1时，y=x2+5x﹣6=（x﹣1）（x+6），
∵不等式对﹣1≤a≤1恒成立，
∴ ，
解得2＜x＜3．
3.在同一坐标系下，抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x
1 2
＞2x的解集是_______
【答案】0＜x＜2
【解析】解：由图可知，抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x的交点坐标为（0，0），（2，
1 2
4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）【解析】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读
图的能力．
解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m 0＝1+b+c 2＝9+3b+c，
∴m=-1，b=-3，c=2，
所以y=x-1，y=x2-3x+2；
（2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3．
【方法总结】
解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大
的函数在函数值小函数的上方！
【随堂练习】
1．（兰山区二模）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下
面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜
0；
其中推断正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点B到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵
坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A
和D；
剩下的选项中都有③，所以③是正确的；
易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x
＜﹣4或x＞0，从而④错误．
故选：B．
2．（秀洲区期末）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝ 的图象．（如图所示）①如果
＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞ ，那么a＞1；③如果a2＞ ＞a，那么a＜
﹣1．则真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：当x＝1时，三个函数的函数值都是1，
所以，交点坐标为（1，1），
根据对称性，y＝x和y＝ 在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），
①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1，故①正确；
②如果a2＞a＞ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故②错误；
③如果a2＞ ＞a时，那么a＜﹣1，故③正确．
综上所述，真命题是①③．
故选：C．二．填空题（共7小题）
3．（雨花区校级二模）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为
（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ﹣ 5 ＜ x ＜ 3 ．
【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个
交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对
称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
4．（济宁）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 x ＜﹣ 3 或 x ＞ 1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下
方，
∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
5．（开封一模）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣
4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物
线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确
的是 ①②④ ．
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，
从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，△＝b2﹣4ac＞0，从而b2＞4ac，故①正确；
已知该抛物线是开口向上，顶点为（﹣3，﹣6），故ax2+bx+c≥﹣6正确，从而②正确；
由抛物线的对称轴为x＝﹣3，点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则点（﹣2，
m）离对称轴的距离为1，而点（5，n）离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越
远，函数值越大，从而m＜n，故③错误；
由图象可知，x＝﹣1为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一个根，由二次函数的
对称性，可知﹣5为另一个根，从而④正确；、
综上，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
6．（海曙区期末）如图抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C
（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 2
．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣
1），
∴DC＝4，抛物线关于y轴对称，
∴AC＝CB，
∵∠ACB为直角，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝DC＝4，
∴B（4，3），
把B，C点坐标代入抛物线解析式可得：
，
解得： ，
故抛物线解析式为：y＝ x2﹣1，
当y＝0时，0＝ x2﹣1，
解得：x ＝﹣2，x ＝2，
1 2
故当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜2．
故答案为：﹣2＜x＜2．
7．（铁西区模拟）如图，已知函数y＝﹣ 与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式bx+ 的解集为 x ＜﹣ 3 或 x ＞ 0 ．
【解答】解：由不等式bx+ 得到，ax2+bx＞﹣ ，
观察图象可知，P（﹣3，1），不等式的解为：x＜﹣3或x＞0．
故答案为x＜﹣3或x＞0．
8．（桓台县二模）如图，直线y ＝kx+n（k≠0）与抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A
1 2
（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y ＞y 时，x的取值范围是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 2 ．
1 2
【解答】解：因为直线y ＝kx+n（k≠0）与抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣
1 2
1，0），B（2，﹣3）两点，
所以当y ＞y 时，﹣1＜x＜2，
1 2
故答案为：﹣1＜x＜2
9．（祥云县二模）已知抛物线y ＝x2+bx+c与直线y ＝kx+m相交于A（﹣2，3）、B（3，
1 2
﹣1）两点，则y ≥y 时x的取值范围是 x ≤﹣ 2 或 x ≥ 3 ．
1 2
【解答】解：如图所示：∵抛物线y ＝x2+bx+c与直线y ＝kx+m相交于A（﹣2，3）、B
1 2
（3，﹣1）两点，
∴y ≥y 时x的取值范围是：x≤﹣2或x≥3．
1 2
故答案为：x≤﹣2或x≥3．综合运用：二次函数与方程、不等式的综合
1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，
顶点为D．
（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴
交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）．
（2）若M（m﹣1，y ），N（m，y ）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比
1 2
较y，y 的大小关系．（直接写结果）
1 2
（3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围．
（4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果．
【解析】解：（1）对于y=﹣x2+2x+3，
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得：x=﹣1，或x=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
当x=0时，y=3，
∴C（0，3）；
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），该二次函数的大致图象如图1所示：
（2）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，m﹣1＜m＜1，
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴y＜y；
1 2
（3）把一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1化成一般形式得x2﹣2x+n﹣4=0，
∵一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，
∴△=4﹣4（n﹣4）≥0，
解得：n≤5；
（4）能，不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3，理由如下：
一次函数y=x﹣3的图象如图2所示：
当﹣x2+2x+3=x﹣3时，
解得：x=﹣2或x=3，
根据图象得：不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3．
2.已知二次函数y=x2﹣2x﹣3及一次函数y=x+m．
1 2
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线 y=x+m有三个不同
2
公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y+y+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的
1 2
取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
1
则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
∵y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，
1
∴x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=﹣1，或x=3，
∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），
（2）翻折后所得新图象如图所示，
平移直线y=x+m知：直线位于l 和l 时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，
2 1 2
①当直线位于l 时，此时l 过点A（﹣1，0），
1 1
∴0=﹣1+m，即m=1；
②当直线位于l 时，
2
此时l 与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，
2
∴方程x+m=﹣x2+2x+3，
即x2﹣x﹣3+m=0有一个根，
故△=1﹣4（m﹣3）=0，
即m= ；
（3）∵y=y+y+（m﹣2）x+3
1 2
=x2+（m﹣3）x+m，
∵当0≤x≤2时，函数y=x2+（m﹣3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点，
∴m应同时满足下列三个方面的条件：方程x2+（m﹣3）x+m=0的判别式△=（m﹣3）2﹣4m=（m﹣1）（m﹣9）＞0，
抛物线y=x2+（m﹣3）x+m的对称轴满足0＜ ＜2，
当x=0时，函数值y=m≥0，
当x=2时，函数值y=3m﹣2≥0，
即 ，
解得 ；
∴当 时，函数图象y=y+y+（m﹣2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点．
1 2
3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有
关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标即
x，x 就是方程的解．
1 2
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=
的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x ，x 在
1 2x轴上标出方程的解．
【解析】解：（1）由原方程，得：
=0，即 = ；
解得x= ，x= ．
1 2
（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，
∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①
二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；
∴x•x= =﹣1，即c=﹣a；②
1 2
x+x= =1；③
1 2
由①②③，得：
；
∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．
（3）4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出
抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程 x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数
字）
【解析】解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣1和直线y=2x，其交点的横坐
标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．
