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教学章节 第十九章 课 型 新授课 年 月 日
课 题 19.2.3一次函数与一元一次方程、不等式
理解一次函数与一元-次方程的关系；一次函数与一元一次不等式的关系理解一次函数与二元一
课标解读
次方程(组)的对应关系.
1. 理解一次函数与一元-次方程的关系；一次函数与一元一次不等式的关系理解一次函数与二
元一次方程(组)的对应关系.
核心
2.会用函数的方法求解一元一次方程.会根据一次函数图像解决一元一次不等式的问题.会用画
素养
图象的方法解二元一次方程组.
目标
3.通过教学活动，让学生学会从不同角度认识事物本质的方法，建立自信心，提高学生自主合
作探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，让学生体验数学的价值.
1.对一次函数与一元-次方程的关系的理解；应用函数求解一元一次方程.
教学重点 2.理解一次函数与一元一次不等式的关系；会根据一次函数图像解决一元一次不等式的问题.
探索一次函数与二元一次方程(组)的关系..
对一次函数与一元一次方程的关系的理解.经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观
教学难点
点看待数学问题的辨证思想.综合运用方程(组)和函数的知识解实际问题.
导学过程 学法指导
【课前预习案】
看下面两个问题之间的关系：
(1)解方程2x+20=0
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
分析：可以从以下三个方面进行思考
1.对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同.
2.从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？
3.若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？
◆对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？
◆从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？
从“数”上看
◆若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？
从“形”的角度看：
直线y=2x+20的图象与 x 轴
的交点坐标为________，这说明
方程2x+20=0的解是______.
一次函数与一元一次方程的关系
思考
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
从“数”的角度看：
解这3个方程相当于在一次函数 y=2x+1的函数 值分别为 3，0，-1
时，求自变量x的值.
从“形”的角度看：
在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，它们的横坐 标分别为_____________.
【课堂探究案】
问题
(1)解不等式2x-4＞0；(2)当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？
解：(1)解得x＞2；(2)由2x-4＞0，解得x＞2，即当x＞2时，函数y=2x-4的值大于0.
在上面问题的解决过程中，你能发现它们之间有什么关系？
从“数”的角度看它们是同一个问题，只是表达的形式不同.
从“数”上看
根据一次函数与不等式的关系填空：
(1)解不等式3x-6＜0，可看作_________________________________________________.
(2)“当自变量x取何值时，函数y=-5x+8的值大于0”可以看作_____________________.
解：画出直线y=2x-4，可以看出，当x＞2时，这条
直线上的点在x轴的上方，即这时，y=2x-4＞0.
因此不等式2x-4＞0的解集为x＞2.
从“形”的角度看它们也是同一个问题.
从“形”上看
根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集.
(1) 3x+6＞0 (即y＞0)_________ (2) 3x+6≤0 (即y≤0)_________
(3) -x+3≥0 (即y≥0)_________ (4) -x+3＜0 (即y＜0)_________
一次函数与一元一次不等式的关系
思考
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释
吗？
(1) 3x+2＞2； (2) 3x+2＜0； (3) 3x+2＜-1.
从“数”的角度看：
解这3个不等式相当于在一次函数 y=3x+2的函数值分别 大于 2、小
于0、小于-1时，求自变量x的取值范围.
从“形”的角度看：
在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，它们的横坐标分别满
足____________________.
想一想
x+y=5 它表示什么呢？
它表示一个二元一次方程.
y=-x+5 它表示什么呢？
它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数.
对于二元一次方程2x-y=3可以将其写成一次函数
__________的形式.
1.画出一次函数y=2x-3的图象；
2.找出方程的几组解；
3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现 了什么？
4.在一次函数y=2x-3的图象上点的坐标都是二元一次方 程 2x-y=3 的
解吗？
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是
常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.
方程组
1.在同一直角坐标系中，分别作出一次函数y=-x+5和y=2x-1 的 图
象，这两个图象有交点吗？
{x+y=5¿¿¿¿
2.直线y=-x+5和y=2x-1的交点坐标与方程组 的解 有什么
关系？
{x+y=5¿¿¿¿ {x=2¿¿¿¿
解方程组 得
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一
次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程
组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得
到方程组的解.
问题3 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球
从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函
数关系；
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么
高度？
解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
(2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于 x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和
{y=x+5¿¿¿¿ {x= 20 ¿¿¿¿
y=0.5x+15有相同的值y.由此可得 解得
这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高 度.
在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15 的图象.
两条直线交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的
高度.
【课堂检测案】
练习
1.已知一次函数y=-2x+2，根据图象回答：
(1)当y=0时，求x的值；
(2)当y=2时，求x的值.
解：(1)由图象可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为(1，0)
∴ 当y=0时，x=1
(2)由图象可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为(0，2)
∴ 当y=2时，x=0
2.利用一次函数图象解方程5x-1=2x+5.
解：原方程变形为3x-6=0，并画出一次函数y=3x-6的图象.由 图 象
可知一次函数y=3x-6与x轴交点为(2，0)因此，方程3x-6=0的 解 为
x=2，即方程5x-1=2x+5的解为x=2.
【课堂训练案】
3.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=-5x+8的值满足下列条件？
(1) y＞0；________ (2) y≤-2. ________
4.利用函数图象解不等式：6x-4≤3x+2.
解：原不等式变形为3x-6≤0
画出函数y=3x-6的图像
由图像可以看出：当x≤2时，
这条直线上的点在x轴的下方，
这时y=3x-6≤0
即原不等式的解集为：x≤2.
考虑下表两种移动电话计费方式
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.解：用x(min)表示通话时间，y(元)表示费用.则方式一的函数解析式为y=0.15x+20，方
式二的函数解析式为y=0.2x.列得方程组
{y=0.15x+ 20 ¿¿¿¿ {x= 400 ¿¿¿¿
解得
答：当通话时间为400min时，两种计费方式费用相等，都为80元.
必做题：教材习题19.2第8、10题．
课后作业
选做题：教材习题19.2第11、13题．
板书设计
在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要. 本节课是在一次函数
的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课标的教学理念：
教学反思 教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生.
