文档内容
第十九章 一次函数
第2课时19.2.3 变量与函数
一、温故知新（导）
上节课我们学习了一次函数与方程、不等式的关系.那么一次函数与二元一次方程（组）又有怎
样的关系呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1、 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；
2、掌握一次函数的图象求二元一次方程（组）的图象解法.
学习重难点
重点：一次函数与二元一次方程（组）的关系；
难点：二元一次方程（组）的图象解法.
二、自我挑战（思）
1、1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15
m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．（1）请用式子分别表示两个气球所
在位置的海拔 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系．（2）在某时刻两气球能否位于
同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：（1）1号探测气球，y关于x的函数解析式为：y=x+5(0≤x≤60)
2号探测气球，y关于x的函数解析式为：y=0.5x+15(0≤x≤60)
（2）在某时刻两个气球处于同一高度，就是说对于 x 的某个值(0≤x≤60)，函数 y=x+5 和
{ y=x+5 { x−y=−5
y=0.5x+15有相同的值y.由此可得： ，即 .
y=0.5x+15 0.5x−y=−15
{x=20
解得 ，这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
y=25
2、我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答，如图 19.2-8，在同一坐标系中，画出一次函
数y=x+5和y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为（20,25），这也说明当上升 20 min时，
两个气球都位于海拔 2 5 m的高度.图19.2-8
三、互动质疑（议、展）
1、一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为 y=kx+b （ k 、 b 是常数，
k ≠ 0 ） 的形，所以每个这样的方程都对应一个 一次函数 ，于是也对应一条 直线 .这
条直线上每个点的坐标（x，y）都是二元一次方程的 解 .
2、由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的 二元一次方程组 ，都对应两个 一次函数
，于是也对应两条 直线 .从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应
的两个 函数值 相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于
确定两条相应直线交点的 坐标 .因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的 解 .
3、实例：
例： 如图，过点（2，-1）的直线l ：y =kx+b与直线l ：y =2x+4相交于点P（-1，a）．
1 1 2 2
（1）求a的值；
（2）求直线l 的解析式；
1
{y−kx＝b
（3）直接写出 的解．
y−2x＝4
解：（1）∵点P（-1，a）在直线l ：y=2x+4上，
2
∴a=-2+4=2；
P的坐标为（-1，2），
（2）∵直线l ：y=kx+b过点B（1，0），
1{ k+b＝0
∴ ，
−k+b＝2
{k=−1
解得 ．
b=1
∴直线l 的解析式为：y=-x+1．
1
{y−kx＝b
（3） 的交点是（-1，2）．
y−2x＝4
{x=−1
∴方程组的解为 .
y=2
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如
图），则所解的二元一次方程组是（ ）
{ y＝2x+4 { y＝x+4 { y＝x+4 { y＝2x+4
A． B． C． D．
y＝−3x−6 y＝−4x−6 y＝−3x−6 y＝−4x−6
1、解：设过点（-4，0）和（0，4）的直线解析式为y=kx+b,
{−4k+b＝0 {k=1
则 ，解得 ，
b＝4 b=4
所以过点（-4，0）和（0，4）的直线解析式为y=x+4；
设过点（-2，2）和（0，-6）的直线解析式为y=mx+n,
{−2m+n＝2 {m=−4
则 ，解得 ，
n＝−6 n=−6
所以过点（-2，2）和（0，-6）的直线解析式为y=-4x-6，
{ y＝x+4
所以所解的二元一次方程组为 ．
y＝−4x−62、如图所示，已知函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）和y=mx（m为常数，且m≠0）的图象相交
{y＝kx+b
于点P，则关于x,y的二元一次方程组 的解是（ ）
y＝mx
{x=2 {x=1 {x=0 {x=0
A． B． C． D．
y=0 y=1 y=1 y=0
2、解：∵直线y=kx+b（k≠0）与直线y=mx（m≠0）交于点P（1，1），
{x=1
∴关于x、y的二元一次方程组是 ，故选：B．
y=1
{2x−y＝0
3、已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为（a,-4），则关于x、y的方程组 的解是（
x+ y＝b
）
{ x=2 {x=2 {x=−2 {x=2
A． B． C． D．
y=−4 y=4 y=−4 y=4
3、解：∵直线y=2x经过（a,-4），
∴a=-2，
∴交点坐标为（-2，-4），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
{x=−2
∴方程组的解 ，故选：C．
y=−4
4、已知一次函数y=3x-7与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，-1），则方程
{3x−y＝7
组 的解是 ．
kx−y＝0
4、解：∵一次函数y=3x-7与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，-1），
{3x−y＝7 { x=2 { x=2
∴方程组 的解是 ．故答案为： ．
kx−y＝0 y=−1 y=−1
{2x−y＝2 {x=2
5、方程组 的解是 时，则直线l ：y=2x-2与直线l ：y=ax+b的交点坐标是
y＝ax+b y=2 1 2
．
{2x−y＝2 {x=2
5、解：∵方程组 的解是 ，
y＝ax+b y=2
∴直线l ：y=2x-2与直线l ：y=ax+b的交点坐标是 为（2，2），
1 2
故答案为：（2，2）．6、已知一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正
比例函数y=mx的图象交于点C．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
{mx−y＝0
（2）若点C（2，a），请直接写出方程组 的解．
kx−y＝−b
6、解：（1）次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），
{ 1
{ b＝2 k=−
∴ ，解得 2，
4k+b＝0
b=2
1
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=- x+2；
2
1
（2）∵一次函数y=- x+2过点C（2，a），
2
1
∴a=- ×2+2=1，∴C（2，1），
2
{mx−y＝0 {x=2
∴方程组 的解为 ．
kx−y＝−b y=1
六、用
（一）必做题
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所
示），则所解的二元一次方程组是（ ）
{ x+ y−2＝0 { x+ y−2＝0
A． B．
3x−2y−1＝0 2x−y−1＝0
{2x−y−1＝0 {2x−y−1＝0
C． D．
3x+2y−5＝0 3x−2y−1＝01、解：设直线y=kx+b（k≠0），
{ b＝2
将点（0，2），（2，0）代入y=kx+b, ，
2k+b＝0
{k=−1
解得 ，
b=2
∴直线解析式为y=-x+2，
设直线y=mx+n（m≠0），
{ n＝−1
将点（0，-1），（1，1）代入y=mx+n, ，
m+n＝1
{m=2
解得 ，
n=−1
∴直线解析式为y=2x-1，
{ x+ y−2＝0
∴所解的二元一次方程组是 ，故选：B．
2x−y−1＝0
{ax+ y＝b
2、如图，关于x,y的方程组 的解是（ ）
x−y＝−6
{x=1 {x=5
A． B．
y=3 y=1
{ x=5 {x=−1
C． D．
y=−1 y=5
2、解：由函数图象可得：直线 y=x+6与直线y=-ax+b的交点坐标为：（-1，5），
{ y＝x+6 {x=−1
即方程组 的解为 ，
y＝−ax+b y=5
{ax+ y＝b {x=−1
∴关于x,y的方程组 的解是 ．故选：D．
x−y＝−6 y=5
3、在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b与y=mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小
星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小；
{y−ax＝b {x=−3
②方程组 的解为 ；
y−mx＝n y=2
3
③方程ax+b=0的解为x＝− ；
2
④当x=0时，mx+n=1．
其中结论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
3、解：由一次函数y=mx+n的图象过一，二，四象限，可知 y的值随着x值的增大而减小，
故①符合题意；
{y＝ax+b
由图象可得方程组 ，
y＝mx+n
{x=−3
解得： ，
y=2
{y＝ax+b {x=−3
即方程组 的解为 ，
y＝mx+n y=2
故②符合题意；
由图可知，一次函数y=ax+b的图象过点（-3，2）和（0，-2），
{−3a+b＝2
将（-3，2）和（0，-2）代入y=ax+b,得 ，
b＝−2
{ 4
a=−
解得： 3，
b=−2
4
因此y＝− x−2，
3
4
令y=0，得− x−2＝0，
3
3
解得x＝− ，
2
3
因此方程ax+b=0的解为x＝− ，
2
故③符合题意；
由一次函数y=mx+n的图象与y轴的交点在（0，1）点的下方，可知当x=0时，mx+n≠1，
故④不符合题意；
综上：符合题意的有①②③，共 3个，
故选C．
{2x−y＝2 {x=2
4、方程组 的解是 时，则直线l ：y=2x-2与直线l ：y=ax+b的交点坐标是
y＝ax+b y=2 1 2
．{2x−y＝2 {x=2
4、解：∵方程组 的解是 ，
y＝ax+b y=2
∴直线l ：y=2x-2与直线l ：y=ax+b的交点坐标是 为（2，2），
1 2
故答案为：（2，2）．
{y−kx＝4 {x=2
5、已知二元一次方程组 的解为 ，则图中三角形ABC的面积为 ．
y+3x＝b y=6
{y−kx＝4 {x=2
5、解：∵二元一次方程组 的解为 ，
y+3x＝b y=6
∴A（2，6），
把A（2，6）分别代入y=kx+4和y=-3x+b得2k+4=6，-6+b=6，
解得k=1，b=12，
∴两直线的解析式分别为y=x+4，y=-3x+12，
当y=0时，x+4=0，
解得x=-4，
∴B（-4，0），
当y=0时，-3x+12=0，
解得x=4，
∴C（4，0），
1
∴三角形ABC的面积= ×（4+4）×6=24．故答案为：24．
2
6、如图，直线y =kx+b与坐标轴交于A（0，2），B（m,0）两点，与直线y =-4x+12交于点
1 2
P（2，n），直线y =-4x+12交x轴于点C，交y轴于点D．
2
（1）求m,n值；
{ y＝kx+b
（2）直接写出方程组 的解为 ；
y＝−4x+12
（3）求△PBC的面积．6、解：（1）把点P（2，n）代入y =-4x+12得：n=-8+12=4，
2
∴P（2，4），
{ b＝2
把A（0，2），P（2，4）代入y =kx+b得， ，
1 2k+b＝4
{k=1
解得： ，∴y =x+2，
b=2 1
把B（m,0）代入y =x+2得：0=m+2，
1
解得：m=-2，
∴m=-2，n=4；
（2）∵直线y =kx+b与y =-4x+12交于点P（2，4），
1 2
{ y＝kx+b {x=2
∴方程组 的解为： ，
y＝−4x+12 y=4
{x=2
故答案为： ；
y=4
（3）当y =-4x+12=0时，
2
解得：x=3，
∴C（3，0），
∵P（2，4），B（-2，0），C（3，0），
∴BC=5，
1
∴S ＝ ×5×4＝10．
△PBC
2
（二）选做题
7、已知：如图，直线l 与y轴交点坐标为（0，-1），直线l 与x轴交点坐标为（3，0），两
1 2
直线交点为P（1，1），解答下面问题：
（1）求出直线l 、l 的解析式；
1 2
（2）求直线l 、l 与x轴围成的三角形的面积；
1 2
（3）请列出一个二元一次方程组，要求能够根据图象所提供的信息条件直接得到该方程组的
{x=1
解为 ；
y=1
（4）根据图象当x为何值时，l 、l 表示的两个一次函数的函数值都大于 0？
1 2{b＝−1
7、解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b,由题意得： ，
1 k+b＝1
{ k=2
解得 ，
b=−1
∴直线l 的解析式为y=2x-1；
1
{ a+m＝1
设直线l 的解析式为y=ax+m,由题意得： ，
2 3a+m＝0
1
{ a=−
解得 2，
3
m=
2
1 3
直线l 的解析式为y=- x+ ；
2 2 2
1
（2）在y=2x-1中，令y=0，则x= ，
2
1
∴直线l 与x轴的交点为（ ，0），
1 2
1 1 5
∴直线l 、l 与x轴围成的三角形的面积= ×（3- ）×1= ；
1 2 2 2 4
1 3
（3）∵直线y=2x-1与直线y=- x+ 交点为P（1，1），
2 2
{y＝2x−1
{x=1
∴方程组 1 3 的解为 ；
y= x+ y=1
2 2
1
（4）根据图象可得l 、l 表示的两个一次函数的函数值都大于 0时， ＜x＜3．
1 2 2
8、若正比例函数y =-x的图象与一次函数y =2x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-2．
1 2
{ x+ y＝0
（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组 的解；
−2x+ y＝m
（3）在一次函数y =2x+m的图象上是否存在点B，使得△AOB的面积为9，若存在，求出点
2
B坐标；若不存在，请说明理由．
8、解：（1）将x=-2代入y=-x,得y=2，
则点A坐标为（-2，2），
将A（-2，2）代入y=2x+m,得m=6，
所以一次函数的解析式为y=2x+6；
（2）∵正比例函数y =-x的图象与一次函数y =2x+m的图象交于点A（-2，2）
1 2
{ x+ y＝0 {x=−2
∴方程组 的解是 ；
−2x+ y＝m y=2
（3）
设直线y=2x+6与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，6），D（-3，0），
∵A（-2，2），
1 1
∴S = ×6×2=6，S = ×3×2=3；
△AOC 2 △AOD 2
当B点在第三象限时，
∵S =S + =9，则S =6，
△AOB △AOD S△DOB △BOD
设B的纵坐标为n,
1
∴S = ×3×（-n）=6，
△BOD 2
解得：n=-4，
即点B的纵坐标是-4，
把y=-4代入y=2x+6得：x=-5，
∴B（-5，-4）；
当B点在第一象限时，
S =S +S =9，则S =3，
△AOB △AOC △BOC △BOC
设B的横坐标为m,
1
∴S = ×6×m=3，
△BOC 2
∴m=1，即B点的横坐标是1，
把，x=1，代入y=2x+6得，
y=8，
∴B（1，8）；
综上，点B的坐标为（1，8）或（-5，-4）．
