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第 12 讲 二次函数与方程、不等式综合
知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
中的
Δ=b2 −4ac
决
定。
若
Δ>0
，抛物线与x轴有两个交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
有两个不等的实根，这
两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若
Δ=0
，抛物线与x轴有一个交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
有两个相等的实根，此
时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若
Δ《<0
，抛物线图象与x轴没有交点，方程
ax2 +bx+c=0(a≠0)
无实根，
a>0
抛物
线在x轴上方，
a<0
，抛物线在x轴下方。
【典例】
1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【答案】D.
【解析】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，
∵a＞1
∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，
ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，
x= ＞0，故选：D．
2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx
﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______
【答案】﹣5＜t≤4
【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直
线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）
A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6
【答案】C.
【解析】解：由表可以看出，当 x 取 1.4 与 1.5 之间的某个数时，y=0，即这个数是
ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1
【答案】C.
【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x= =﹣1．
故选：C．
【方法总结】
解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问
题。当一元二次程的
Δ>0
，二次函数与x轴有两个交点， 时，二次函数与x轴有一
Δ《<0
个交点， 时，二次函数与x轴没有交点。
【随堂练习】
1．（荆门）抛物线 与坐标轴的交点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：当 时， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，解得 ，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选： ．
2．（邵阳三模）已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，则代数式
的值为
A． B． C．2020 D．2021
【解答】解：把 代入 得 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．3．（温州三模）抛物线 与坐标轴交点的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：当 时， ，解得 ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ，
所以抛物线 与坐标轴交点的个数是1．
故选： ．
4．（重庆模拟）对于二次函数 ，下列说法不正确的是
A．开口向下 B．当 时， 随 的增大而减小
C．当 时， 有最大值2 D．当 时，
【解答】解： ，
抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 有最大值4；
当 时， ，解得 ， ，
抛物线与 轴的交点坐标为 ， ，
当 时， ．
故选： ．
5．（江都区二模）已知二次函数 为常数）的图象与 轴的一个交点为
，则关于 的一元二次方程 的两实数根是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：将点 代入 ，
解得 ，
，的两个根为 ， ；
故选： ．
6．（卧龙区一模）关于二次函数 的图象与性质，下列结论错误的是
A．当 时，函数有最大值
B．当 时， 随 的增大而增大
C．抛物线可由 经过平移得到
D．该函数的图象与 轴有两个交点
【解答】解： ．当 时，函数有最大值为 ，故此选项正确，不符合题意；
．当 时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大，故此选项正确，
不符合题意；
．抛物线可由 经过平移得到，故此选项正确，不符合题意；
．该函数的图象与 轴无交点，故此选项错误，符合题意；
故选： ．
7．（增城区一模）关于抛物线 ，下列说法错误的是
A．开口向上 B．与 轴只有一个交点
C．对称轴是直线 D．当 时， 随 的增大而增大
【解答】解： 、 ，抛物线开口向上，所以 选项的说法正确；
、当 时， ，此方程没有实数解，所以抛物线与 轴没有交点，所以
选项的说法错误；
、抛物线的对称轴为直线 ，所以 选项的说法正确；
、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 ，则当 时， 随 的增大而增大，
所以 选项的说法正确．
故选： ．
8．（镇海区一模）若二次函数 的图象经过点 ，则方程
的解为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：抛物线的对称轴为直线 ，而抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
所以抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
所以方程 的解为 ， ．
故选： ．
9．（上城区一模）已知二次函数 的图象过点 ， ， ，
与 轴的一个交点为 ， ，且 ．则下列结论：
①若点 是函数图象上一点，则 ；
②若点 ， 是函数图象上一点，则 ；
③ ．其中正确的是
A．① B．①② C．①③ D．②③
【解答】解： 抛物线经过点 ， ， ， ， ，
抛物线开口向下，
当 时， ，则①正确；
若点 ， 是函数图象上一点，则 的符合不能确定， ，所以②错误；
， ； ， ，
即 ， ，
，
即 ，则③正确．
故选： ．
10．（江岸区校级模拟）二次函数 的图象如图，对称轴为 ．若关于 的一
元二次方程 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，解得 ，
抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，当 时， ，
一元二次方程 为实数）在 的范围内有解，
直线 与二次函数 在 范围内有交点，
，
故选： ．
11．（赤峰一模）若二次函数 与 轴无交点，则一次函数
的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： 二次函数 与 轴无交点，
△ ，解得 ，
， ，
一次函数 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选： ．
12．（禹州市一模）对于二次函数 ，下列结果中正确的是
A．抛物线有最小值是B． 时 随 的增大而减小
C．抛物线的对称轴是直线
D．图象与 轴没有交点
【解答】解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，二次函数有最小值 ；所以 选项正确， 选项错误；
当 时， 随 的增大而减小，所以 选项错误；
方程 有两个不相等的实数解，
抛物线与 轴有两个交点，所以 选项错误．
故选： ．
13．（坪山区期末）对于抛物线 ，下列说法中错误的是
A．抛物线开口向下 B．抛物线与 轴没有交点
C．顶点坐标是 D．对称轴是直线
【解答】解：抛物线 的开口向下，顶点坐标为 ，抛物线的对称轴为
直线 ，
因为方程 有两个不相等的实数解，所以抛物线与 轴有两个交点．
故选： ．
14．（西湖区期末）一元二次方程 有一个根为 ，则二次函数
的图象必过点
A． B． C． D．
【解答】解：把 代入方程 得 ，则 ，
当 时， ，
所以二次函数 的图象必过点 ．
故选： ．
二．填空题（共1小题）15．（银川校级三模）如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为直线
，抛物线与 轴的交点为 、 ，则 、 两点的距离是 3 ．
【解答】解： 抛物线与 轴的一个交点 的坐标为 ，
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点 的坐标为 ，
、 两点的距离 ．
故答案为2．
知识点2二次函数与一次函数的综合
求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的 x值就是他们
交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。
【典例】
1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______
【答案】2个
【解析】解：由题意得：x2﹣4x+3=x+1，
整理得：x2﹣5x+2=0
∵△=25﹣8＞0
∴x2﹣5x+2=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1有两个交点，
2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（
）
A. B. C. D.【答案】B.
【解析】解：∵b＜0，
∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交，
故排除A、C选项，
B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限，
∴a＞0，
二次函数开口向上，
故D选项不符合题意，
∵a＞0，b＜0时，
对称轴x=﹣ ＞0，B选项符合题意．
故选：B．
3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x，0），B（x，0），且x2+x2=5，与
1 2 1 2
y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．
【解析】解答：（1）令y=0得，x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4=0，
∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2+3m+4）=﹣16m﹣15．
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15＞0，
解得，m＜﹣ ，
此时，y的图象与x轴有两个交点．
②当△=0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m﹣15=0，
解得，m=﹣ ，
此时，y的图象与x轴有一个交点．
③当△＜0时，方程没有的实数根，即﹣16m﹣15＜0，
解得，m＞﹣ ，
此时，y的图象与x轴没有一个交点．
∴m＜﹣ ，图象与x轴有两个交点；m=﹣ ，图象与x轴只有一个交点；m＞﹣ ，
图象与x轴没有交点；
（2）由根与系数的关系得：
x+x=2m﹣1，x×x=m2+3m+4．
1 2 1 2
∴x2+x2=（x+x）2﹣2xx=（2m﹣1）2﹣2（m2+3m+4）=2m2﹣10m﹣7．
1 2 1 2 1 2∵x2+x2=5，
1 2
∴2m2﹣10m﹣7=5．
解得m=6，m=﹣1．
1 2
∵m＜﹣ ，
∴m=﹣1．
∴y=x2+3x+2．
令x=0，得y=2．
∴二次函数y的图象与x轴的交点C坐标为（0，2）．
又y=x2+3x+2=（x+32）2﹣14，
∴顶点M的坐标为（﹣32，﹣14）．
设过C（0，2）与M（﹣32，﹣14）的直线解析式为y=kx+b，
则 ，
解得 ，
所以直线CM的解析式为y= x+2．
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端
点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣m+2=（x﹣m）2﹣m+2，
∴D（m，﹣m+2）；
（2）∵抛物线经过点B（1，m），
∴m=1﹣2m+m2﹣m+2，
解得：m=3或m=1；
（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），
∴线段AB：y=m（﹣3≤x≤1），
与y=x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得：
x2﹣2mx+m2﹣2m+2=0，
令y=x2﹣2mx+m2﹣2m+2，
若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点，
即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个零点，
当x=﹣3时，y=m2﹣4m+11＜0，∵△＞0，
∴此种情况不存在，
当x=1时，y=m2+4m+3≤0，
解得1≤m≤3．
【方法总结】
解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时
此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【随堂练习】
1．（吉安二模）如图，一条抛物线与x轴相交于A （x ，0）、B（x ，0）两
1 2
点（点B在点A的右侧），其顶点 P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为
（﹣1，2）、（1，2）．x 的最小值为﹣3，则x 的最大值为（ ）
1 2
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【解答】解：抛物线顶点平移到点M时，由已知x 的最小值为﹣3
1
则设此时抛物线解析式为：y=a（x+1）2+2
把（﹣3，0）代入得
a=﹣
则当抛物线顶点平移到N时，解析式为y=﹣ （x﹣1）2+2．
当y=0时，解得抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（﹣1，0）
则x 的最大值为3
2
故选：C．
知识点3二次函数与不等式的综合
y=ax2 +bx+c(a》>0)
1.二次函数 与一元二次不等式之间的关系
若
Δ>0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为
x<x
1
,x>x
2
(x
1
<x
2
)
；y=ax2 +bx+c<0 x <x<x (x <x )
的解集为 1 2 1 2 。
若
Δ=0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为
x≠x
1,2；
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
若
Δ<0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为x可取任意实数。
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
2.二次函数与一次函数不等关系
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，
自变量相同，谁高谁大。
【典例】
1.如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A
1 2
（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y≥y 成立的x的取值范围______
1 2
【答案】﹣1≤x≤9
【解析】解：由两个函数的图象知：当y≥y 时，﹣1≤x≤9．
1 2
2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______
【答案】2＜x＜3
【解析】解：由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0，
∵当x=0时，﹣6＞0不成立，
∴x≠0，
∴关于a的一次函数y=x2•a+5x﹣6，
当a=﹣1时，y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣2）（x﹣3），
当a=1时，y=x2+5x﹣6=（x﹣1）（x+6），
∵不等式对﹣1≤a≤1恒成立，
∴ ，
解得2＜x＜3．
3.在同一坐标系下，抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x
1 2＞2x的解集是_______
【答案】0＜x＜2
【解析】解：由图可知，抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x的交点坐标为（0，0），（2，
1 2
4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
【解析】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读
图的能力．
解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m 0＝1+b+c 2＝9+3b+c，
∴m=-1，b=-3，c=2，
所以y=x-1，y=x2-3x+2；
（2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3．
【方法总结】
解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大
的函数在函数值小函数的上方！
【随堂练习】
1．（鄠邑区校级三模）二次函数 ， ， 为常数，且 中 与 的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有
0 1 3
3 5 3
① ；
②当 时， 的值随 值的增大而减小；
③4是方程 的一个根；
④当 时，
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：当 时， ，则 ；
当 时， ；当 时， ，
则有 ，
，
；
① ；
②函数的对称轴为 ，当 时， 的值随 值的增大而减小；
③ 可化为 ，
或 ；
④ 时，
或 ，
当 时， ；
故选： ．
2．（零陵区一模）已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中，正确的个数有A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：① 图象与 轴有两个交点， △ ，错误
②图象开口向上， ，
对称轴在 轴右侧，按照左同右异判断， 与 符号相反，
图象与 轴交于负半轴，
，正确
③将 代入解析式可得 ，由图象可知， 在抛物线对应的点在 轴上方，
，错误
④抛物线顶点纵坐标为 ，所以有最小值 ， 正确
综上可知，②④正确
故选： ．
3．（深圳三模）已知二次函数 的图象如图，对称轴 ，分析下列
六个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③
④
⑤ 为实数）
⑥ 为实数）
其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，
，
时， ，即 ，
，即 ，所以①错误；
抛物线与 轴的一个交点在 和 之间，
， ，所以②错误；
时， ，即 ； 时， ，即 ，
，
，所以③正确；
时， ，即 ，
，所以④正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
而 ，
，所以⑤错误；
时， 有最大值，
，
而 ，
，所以⑥错误．
故选： ．4．（海港区校级自主招生）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等
式 的解集为
A． 或 B． C． D．无法确定
【解答】解：由图象可知二次函数的对称轴是 ，
与 轴一个交点坐标 ，
由函数的对称性可得，与 轴另一个交点是 ，
的解集为 或 ，
故选： ．
5．（金牛区模拟）已知抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个
交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程
的 解 为 或 ， ③ ； ④ 当 时 ，
；⑤当 时， 随 增大而增大，其中结论正确的个数
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：① 抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的另一交点坐标为 ，结论①正确；
② 抛物线与 轴的交点坐标为： ， ，
方程 的解为 或 ，正确；
③ 当 和 时， 值相同，且均为正，
，结论③错误；
④当 时， ，结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当 时， 随 增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选： ．
6．（普宁市模拟）如图，抛物线 的顶点和该抛物线与 轴的交点在
一次函数 的图象上，它的对称轴是 ，有下列四个结论：① ，②
，③当 时， ，④ ，其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①由图可知 ， ，
，
与 轴交点 ，
，
，
故①正确；
②由图象可知，当 时， ，，
故②不正确；
③ ，
，
当 时， ，
，
③正确；
④ ，
，
当 时， 与 相交，
，
；
④正确；
故选： ．
7．（福田区一模）如图，抛物线 和直线 都经过点 ，抛物线
的对称轴为 ，那么下列说法正确的是
A． B．
C． D． 是 的解
【解答】解：由图象可知 ， ，
，故 错误；
由图象得知抛物线与 轴有两个不同的交点，
△ ，故 错误；
过点 ，，
过点 ，
，
，故 错误；
对称轴为 ，
，
，
，
当 时， ，
由图象可知， ，
，即 ；
故 正确；
故选： ．
8．（微山县一模）如图所示，已知二次函数 的图象与 交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．直线 与抛物线 交于 ，
两点， 点在 轴下方且横坐标小于3，则下列结论错误的是
A．
B．
C．
D．双曲线 的两分支分别位于第一、第三象限
【解答】解： 抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，抛物线的对称轴为直线 ，
，
，所以 正确，不符合题意；
直线 与抛物线 交于 、 两点， 点在 轴下方且横坐标小于
3，
时，一次函数值比二次函数值大，
即 ，
而 ，
，解得 ，
所以 正确，不符合题意；
时，二次函数有最大值，
，
，
所以 正确，不符合题意；
故选： ． 抛物线与 轴的一个交点在点 左侧，
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点在点 右侧，
当 时， ，
，
双曲线 的两分支分别位于第二、第四象限
所以 错误，符合题意，
故选： ．
9．（包河区期末）抛物线 和直线 的图象如图所示，那么不等式
的解集是A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，抛物线
和直线 的交
点坐标为 ， ，
所以，不等式 的解集是
．
故选： ．
10．（禹州市一模）如图，直线 与抛物线 分别交于
， 两点，那么当 时， 的取值范围是
A． B． C． 或 D．
【解答】解：根据图象可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
故选： ．
11．（遵义期末）抛物线 与直线 的图象如图所示，下列判断：
① ，② ，③ ，④ ，⑤当 或 时，
．其中正确的个数有
A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5个
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线与 轴的一个交点在 ，
抛物线与 轴的另一个交点在 ，
即 时， ，
，所以②正确；
，所以③错误；
把 代入 得 ，则 ，
，所以④错误；当 或 时， ．所以⑤正确．
故选： ．
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综合运用：二次函数与方程、不等式的综合
1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，
顶点为D．
（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴
交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）．
（2）若M（m﹣1，y ），N（m，y ）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比
1 2
较y，y 的大小关系．（直接写结果）
1 2
（3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围．
（4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果．
【解析】解：（1）对于y=﹣x2+2x+3，
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得：x=﹣1，或x=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
当x=0时，y=3，∴C（0，3）；
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
该二次函数的大致图象如图1所示：
（2）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，m﹣1＜m＜1，
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴y＜y；
1 2
（3）把一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1化成一般形式得x2﹣2x+n﹣4=0，
∵一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，
∴△=4﹣4（n﹣4）≥0，
解得：n≤5；
（4）能，不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3，理由如下：
一次函数y=x﹣3的图象如图2所示：
当﹣x2+2x+3=x﹣3时，
解得：x=﹣2或x=3，
根据图象得：不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3．2.已知二次函数y=x2﹣2x﹣3及一次函数y=x+m．
1 2
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，
得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线 y=x+m有三个不同
2
公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y+y+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的
1 2
取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
1
则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
∵y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，
1
∴x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=﹣1，或x=3，
∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），
（2）翻折后所得新图象如图所示，
平移直线y=x+m知：直线位于l 和l 时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，
2 1 2
①当直线位于l 时，此时l 过点A（﹣1，0），
1 1
∴0=﹣1+m，即m=1；
②当直线位于l 时，
2
此时l 与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，
2
∴方程x+m=﹣x2+2x+3，
即x2﹣x﹣3+m=0有一个根，
故△=1﹣4（m﹣3）=0，
即m= ；
（3）∵y=y+y+（m﹣2）x+3
1 2=x2+（m﹣3）x+m，
∵当0≤x≤2时，函数y=x2+（m﹣3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点，
∴m应同时满足下列三个方面的条件：
方程x2+（m﹣3）x+m=0的判别式△=（m﹣3）2﹣4m=（m﹣1）（m﹣9）＞0，
抛物线y=x2+（m﹣3）x+m的对称轴满足0＜ ＜2，
当x=0时，函数值y=m≥0，
当x=2时，函数值y=3m﹣2≥0，
即 ，
解得 ；
∴当 时，函数图象y=y+y+（m﹣2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点．
1 2
3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有
关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标即
x，x 就是方程的解．
1 2
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=
的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x ，x 在
1 2x轴上标出方程的解．
【解析】解：（1）由原方程，得：
=0，即 = ；
解得x= ，x= ．
1 2
（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，
∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①
二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；
∴x•x= =﹣1，即c=﹣a；②
1 2
x+x= =1；③
1 2
由①②③，得：
；
∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．
（3）4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出
抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程 x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数
字）
【解析】解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣1和直线y=2x，其交点的横坐
标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．
