文档文本内容
第 15 讲 含参不等式
基本原理：1.等式的基本性质
2.非数轴法取不等式组的解集： “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大
大小小解不了”.
知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.
2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.
【典例】
1.（1）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.
（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜ ，试求关于x的不等式mx
＞n的解集．
【答案】略
【解析】解：（1） ≤﹣2，
去分母，得m﹣2x≤﹣6，
移项，得﹣2x≤﹣m﹣6，
系数化为1，得x≥ m+3，
∵关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，
∴ m+3=4，
解得m=2．
（2）（2m﹣n）x+m﹣5n＞0
移项，得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜ ，
∴不等号的方向发生了变化，
∴2m﹣n＜0，且x＜ ，
∴ = ，
交叉相乘，得7（5n-m）=10（2m-n）
整理，得n= m，
把n= m代入2m﹣n＜0得，
2m﹣ m＜0，解得m＜0，
∵mx＞n，
∴mx＞ m，
∴x＜ ．
∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜ ．
【方法总结】
已知一个含参不等式的解集，求参数的值它的一般解题步骤如下：
第一，先解这个不等式，在系数化为1时，需要根据给出的解集判断不等号的方向是否发
生改变，以此来确定参数的正负.
第二，根据已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程求出参数的值.
若题目给出的参数超过一个，而要求新的含参不等式的解集时，步骤一相同，步骤二根据
已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程得到参数之间的关系，进而
求解新的不等式.
2.若不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：由 ，得 ，
不等式组可转化为 .∵不等式组 的解集为 ，
∴根据“同大取大”可知， ．
考虑边界情况，当 时，不等式组为 ，符合题意.
∴ .
故答案为m≤4．
【方法总结】
已知一元一次不等式组的解集，求参数的取值范围，可借助“同大取大，同小取小，大小
小大中间找，大大小小解不了”的原则，得出字母参数的范围，对于边界处取值是否可取
只需把边界值代入，看是否符合题意即可.
【随堂练习】
1．（江阴市校级月考）若不等式组 的解集为x＜4，则a的取值范
围为（ ）
A．a＞﹣12B．a≥﹣12 C．a=﹣12 D．a≤﹣12
【解答】解：不等式组 的解集为x＜4，得
﹣ ≥4．
解得a≤﹣12，
故选：D．
2．（新野县三模）若不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（）
A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2D．m≥2
【解答】解：
∵解不等式②得：x＞2，
又∵不等式组 的解集是x＞2，
∴m≤2，
故选：C．
知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围；
2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；
【典例】
【题干】若关于x的不等式组 有解，且关于x的方程
有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和是多少？
【答案】略
【解析】解： ，
解不等式①得： ，
解②得： ，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为： ，
且 ，
解得 .解关于x的方程 得，
，
∵关于x的方程 有非负整数解，
∴ 时符合题意
∴
∴符合条件的整数k的和为：﹣4+（﹣3）+（﹣2）=﹣9；
【方法小结】
当给出的一元一次不等式组“有解、无解或有整数解…”时，可利用不等式组解集的取值
技巧或者借助数轴，判断出字母参数的取值范围，需要考虑边界情况，再根据求得的字母
参数的取值范围，求解其它相关问题.
【随堂练习】
1．（昆都仑区校级期中）若关于 x的不等式组 的解集是2≤x＜5，
求m+n的值．
【解答】解： ，
由①得，x≥m+n；
由②得，x＜ ，
∵不等式组的解集为2≤x＜5，
∴ ，把①代入②得， =5，解得 m=7，把 m=7 代入①得，
n+7=2，解得m=﹣5，
∴m+n=7﹣5=2．知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围
基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.
2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.
【典例】
1.若关于x的不等式组 有四个整数解，求a的取值范围．
【答案】略
【解析】解：
由不等式①，得2x﹣3x＜﹣9+1，
解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，
解得x＜2﹣4a，
∴不等式的解集为8＜x＜2﹣4a.
∵不等式组有四个整数解，观察数轴可知，
四个整数解分别是9，10，11，12，
∴先初步判定2-4a肯定在12和13之间，即12＜2﹣4a<13，
考虑边界值：
当2-4a=12时，不等式的解集变为8＜x＜12，只有三个整数解，不符合题意；
当2-4a=13时，不等式的解集变为8＜x＜13，恰有四个整数解；
∴12＜2﹣4a≤13
解得﹣ ≤a＜﹣ ．
【方法小结】
一元一次不等式组的整数解问题的一般解题思路：
第一，先解含参不等式组，求出它的解集（解集中含参数）；
第二，借助数轴，根据已知的整数解的个数或整数解之间的关系，初步判断出解集中含参
的那一部分在哪两个相邻的整数之间，写出此时的范围；
第三，判断边界值，分别令含参部分等于两个边界值，写出此时的解集，判断是否符合给
定的已知条件，进而求解出参数的取值范围.
【随堂练习】1．（召陵区期末）若关于 x的不等式组 的整数解恰有5个，求a的
范围．
【解答】解：
由①得x≥a，
由②得x＜2，
∵关于x的不等式组 的整数解恰有5个，
∴a≤x＜2，其整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1
∴a的取范围是﹣4＜a≤﹣3．
2．（西城区校级期中）如果关于 x的不等式组 只有3个整数解，
求a的取值范围．
【解答】解：由①得：x＞2﹣3a
由②得：x＜11
不等式组的解集为：2﹣3a＜x＜11
∵不等式组只有3个整数解为10、9、8
∴7≤2﹣3a＜8
∴ ．知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围
基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.
【典例】
1.（1）已知关于 的二元一次方程组 的解满足条件 ，求 的
取值范围．
（2）已知关于 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围.
【答案】略
解：（1）
【解析】
①-②得， ，
①×3得， ④，
②+④得， ，
∵ ，
∴ ，
解得 .
（2） ，
①+②得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．【方法总结】
已知一个含参二元一次方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围，只需要先解方程
组，求出它的解（含参），再把求得的解代入已知不等式中，得到关于参数的不等式，求
解不等式即可得到参数的取值范围.
注：对于有些特殊的待求不等式，可以不解方程组，只需把方程组的两个式子作适当的变
形，比如相加、相减等，题中的（2）便是利用的此种方法.
【随堂练习】
1．（新乡期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＜
3，求m的取值范围．
【解答】解： ，
①﹣②得2x+2y=4m﹣4，
∴x+y=2m﹣2，
∵x+y＜3，
∴2m﹣2＜3，
∴m＜ ．
2．（黄石期末）已知关于 x，y的方程组 的解满足不等式 x+ y≤3，
求m的取值范围．
【解答】解： ，
②﹣①得：x+3y=m﹣3，由 x+ y≤3得x+3y≤6，
∴m﹣3≤6，
解得m≤9．
故m的取值范围是m≤9．
3．（旺苍县期末）已知方程组 的解满足不等式x﹣2y＜4，求a的取
值范围．
【解答】解：解方程组 ，
①+②，得：2x=10a，x=5a，
①﹣②，得：2y=﹣2a+10，y=﹣a+5，
∵x﹣2y＜4，
∴5a﹣2（﹣a+5）＜4，
解得：a＜2．
4．（宝丰县期中）已知 ，其中x、y满足x+y＜1，求k的取值范围．
【解答】解：由方程组解x+y=6k+1，
由x+y＜1，
得：6k+1＜1，
解得：k＜0．答：k的取值范围是k＜0．
【综合练习】
1.不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：∵ 的解集是3＜x＜a+2，
∴根据“同大取大，同小取小”，得
，
解得a≤3．
又3＜a+2，
故a>1，
综上 ．
2.已知关于 的不等式 的解集是 ，试求 的解集．
【答案】略
【解析】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ ，即 ，
解不等式，得 .
∴ .
交叉相乘，得 ，
整理得 .
把 代入 中，得.
∴ 的解集为 ．
即 .
3.已知关于x的不等式 ≤ 的解集是x≥ ，求m的值．
【答案】略
【解析】解：原不等式可化为：4m+2x≤12mx﹣3，
即（12m﹣2）x≥4m+3，
又因原不等式的解为x≥ ，
则12m﹣2＞0，m＞ ，
不等式的解集为x≥ .
即： = ，
即24m+18=12m﹣2，
解得：m=﹣ ，不满足m＞ ，应舍去．
故符合题意的m值不存在．
4.已知关于x的不等式组 恰有两个整数解，求a的取值范围．
【答案】略
【解析】解： ，
解不等式①得：x＞﹣ ，
解不等式②得：x＜﹣2a．
则不等式组的解集是：﹣ ＜x＜﹣2a．
不等式组只有两个整数解，是0和1，-1 8 0 1 2
-
9
观察数轴可知，﹣2a在1和2之间，即1<﹣2a<2．
考虑边界值：
当-2a=1时，不等式的解集变为﹣ ＜x＜1，有一个整数解，不符合题意；
当-2a=2时，不等式的解集变为﹣ ＜x＜2，有两个整数解；
∴1＜﹣2a≤2．
解得：﹣1≤a＜﹣ ．
5.已知关于x、y的方程组 的解满足x＜1且y＞1，求m的取值．
【答案】略
【解析】解：
解方程组得：
∵方程组的解满足x＜1且y＞1，
∴
解这个不等式组得：﹣1＜m＜0.
即m的取值为：﹣1＜m＜0.
6.关于x的不等式组 的所有整数解的和是﹣7，求m的取值范围.
【答案】略
【解析】解：
解不等式①得： ，则不等式组的解集是： ，
∵不等式的所有整数解的和是-7，观察数轴可得到如下两种情况.
情况一（如图1）： ，
此时 在-3和-2之间，判断临界情况可知 .
情况二（如图2）： ，
此时 在2和3之间，判断临界情况可知 .
综合， 的取值范围是 或 .
