文档文本内容
第1讲
不等式（组）
解不等式（组）
知识秘籍
1.解不等式的⼀般步骤：
•去分⺟；
•去括号；
•移项；
•合并同类项；
•系数化为1（当未知数的系数为负数时，需要变号）.
2.解不等式组的⼀般步骤：
•分别求出不等式组中各个不等式的解集；
•利⽤数轴表⽰出这些解集的公共部分（可省略）；
•写出不等式组的解集的结论（同⼤取⼤，同小取小，⼤小小⼤中间找，⼤⼤小小找不到）.
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
如图是小芳同学解不等式 的过程，其中错误步骤共有 （ ）处 .
A.
B.
C.
D.
- 1 -例2 （★☆☆☆☆）
解下列不等式（组），并在数轴上表⽰解集：
（1） ； （2） ．
例3 （★★☆☆☆）
解不等式组： ，并将其解集表⽰在数轴上．
含参不等式（组）
知识秘籍
含参不等式（组）相关的问题是不等式章节的难点，常⻅的题型包括：
1.已知不等式（组）的解集求参问题
•⽤参数表⽰已知的不等式（组）的解集；
•根据已知的解集列出⽅程（组）；
•解⽅程（组），求出参数的值.
2.含参不等式（组）有⽆解问题
•⽤参数表⽰已知的不等式（组）的解集；
•根据已知的有解、⽆解的条件列出关于参数的不等式；
•解这个不等式，即可求出参数的范围.
-2 -3.含参不等式（组）的整数解问题
•⽤参数表⽰已知的不等式（组）的解集；
•根据已知的整数解，列出关于参数的不等式（组）；
•解这个不等式（组），即可求出参数的范围.
典型例题
例4 （★★☆☆☆）
已知如图是关于 的不等式 的解集，则 的值为 ．
例5 （★★★☆☆）
若关于 的⼀元⼀次不等式组 有解，则 的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
例6 （★★★☆☆）
若关于 的不等式组 的整数解共有 个，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
-3 -含参⽅程（组）与不等式（组）综合问题
知识秘籍
含参⽅程（组）与不等式（组）的综合问题，是不等式中的常考题型，常⻅的解题步骤为：
•⽤参数表⽰⽅程（组）的解；
•根据已知的⽅程（组）的解的特点列出关于参数的不等式（组）；
•解这个不等式（组），即可得到参数的范围.
典型例题
例7 （★★☆☆☆）
若关于 的⽅程 的解为负数，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
例8 （★★★☆☆）
若⽅程组 的解满⾜ ，则 取值范围是 ．
不等式（组）的实际应⽤问题
知识秘籍
不等式（组）的实际应⽤问题是本学期的必会考点，⼀般的解题套路是：设未知数，读题找到不等关系，根
据不等关系列出不等式（组），解不等式（组）并判断得到的解是否符合实际情况，答题
常⻅的题型包括：
1.⼯程问题：典型的不等关系为“实际完成量⼤于等于总量”；
2.分配问题：典型的不等关系为“量不够分”，如：有⼀辆⻋有⼈但没坐满、有⼀间屋⼦不满也不空等；
3.⽅案选择问题：典型的不等关系为“原料的消耗量小于等于原料的总量”、“⻋的装载量⼤于等于待运输总
量”、“购买物品需要的总钱数小于等于给定的钱数”等.
4.得分问题：典型的不等关系为“得分不少于及格分”、“成绩超过给定的分数”
-4 -典型例题
例9 （★★★☆☆）
某次数学测验中有 道选择题，评分办法：答对⼀道得 分，答错⼀道扣 分，不答得 分．某学⽣有⼀道
题未答，那么这个同学⾄少要答对 道题，成绩才能在 分以上．
例10 （★★★☆☆）
把⼀些书分给⼏名同学，如果每⼈分 本，那么余 本；如果前⾯的每名同学分 本，那么最后⼀⼈就分不到
本，那么这些书共有 本．
例11 （★★★☆☆）
某⽔果店经销进价分别为 元 千克、 元 千克的甲、⼄两种⽔果，下表是近两天的销售情况：（进价、售
价均保持不变，利润 售价 进价）
时间 甲⽔果销量 ⼄⽔果销量 销售收⼊
周五 千克 千克 元
周六 千克 千克 元
（1）求甲、⼄两种⽔果的销售单价；
（2）若⽔果店准备⽤不多于 元的资⾦再购进两种⽔果共 千克，求最多能够进甲⽔果多少千克？
（3）在（2）的条件下，⽔果店销售完这 千克⽔果能否实现利润为 元的⽬标？若能，请给出相应的采
购⽅案；若不能，请说明理由．
- 5 -第2讲
等腰三⻆形与等边三⻆形
线段垂直平分线与⻆平分线的性质
知识秘籍
1.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
2.⻆平分线的性质
⻆平分线上的点到⻆的两边距离相等.
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
如图， 中， 平分 ， 的中垂线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ，
，则 ．
- 6 -例2 （★★★☆☆）
如图所⽰， ， 分别是 两边 ， 的中垂线，分别交 于 ， ．若 ，
，则 的周⻓是 ．
例3 （★★☆☆☆）
如图， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ， ，若 ，则
．
例4 （★★☆☆☆）
如图，点 是 的⻆平分线上⼀点， 于点 ， 垂直平分 ，若 ， ，
则 ．
- 7 -轴对称中的最值问题
知识秘籍
将军饮⻢模型及其变形是处理线段和、差最值问题的重要模型，包括：
1.基本模型——两点⼀线 2.变形之⼀点两线问题 3.变形之两点两线问题
典型例题
例5 （★★☆☆☆）
在四边形 中， ， ，在 ， 上分别找⼀点 ， ，使三⻆形
周⻓最小时，则 的度数为 （ ）
A.
B.
C.
D.
- 8 -例6 （★★★☆☆）
（1）如图 ，在 直线⼀侧有 ， 两点，在 上找⼀点 ，使 ， ， 三点组成的三⻆形的周⻓最
短，找出此点并说明理由．
（2）如图 ，在 内部有⼀点 ，是否在 ， 上分别存在点 ， ，使得 ， ， 三点组成的三
⻆形的周⻓最短，找出 ， 两点，并说明理由．
（3）如图 ，在 内部有两点 ， ，是否在 ， 上分别存在点 ， ，使得 ， ， ， ，
四点组成的四边形的周⻓最短，找出 ， 两点，并说明理由．
尺规作图-⻆平分线与线段垂直平分线
知识秘籍
1.尺规作图-⻆平分线
作法：
•在 和 上分别截取 、 ，使 ；
已知： •
分别以点 和点 为圆⼼、以⼤于 的⻓为半径作弧，两弧在
内交于点 ；
•作射线 ，则射线 即为 的⻆平分线.
求作： 的⻆平分线.
- 9 -2.尺规作图-线段垂直平分线
已知：线段
求作：线段 的垂直平分线.
作法：
•分别以点 和点 为圆⼼，以⼤于 的⻓为半径作弧，两弧相交于点 和点 ；
•作直线 ，则直线 就是线段 的垂直平分线.
典型例题
例7 （★★☆☆☆）
如图，在已知的 中，按以下步骤作图：
①分别以 ， 为圆⼼，以⼤于 的⻓为半径作弧，两弧相交于两点 ， ；
②作直线 交 于点 ，连接 ．
若 ， ，则 的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
- 10 -例8 （★★☆☆☆）
如图，在 中， ，以顶点 为圆⼼，适当⻓为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，
再分别以点 ， 为圆⼼，⼤于 的⻓为半径画弧，两弧交于 ，作射线 交边 于点 ，若
， ，则 的⾯积是 ．
例9 （★★☆☆☆）
为了解决某贫困地区两村村⺠⼦⼥就近⼊学问题，某爱⼼企业捐资助学，计划新建⼀所学校，如图 ，
表⽰两条公路，点 ， 表⽰两个村庄，学校的位置需满⾜三个条件：①到两条公路的距离相等；②到
两个村庄的距离相等；③在 的内部．请运⽤尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并
写明结论．
-11 -⻆平分线相关辅助线
知识秘籍
⻆平分线所在的直线是⻆的对称轴，根据对称性可以构造⻆平分线的全等模型，常⻅的利⽤⻆平分线添
加辅助线的基本模型如下：
分别为双垂直，单垂直，对称形
双垂直：若过⻆平分线上的⼀点有⻆⼀边的垂线段，那么过此点作⻆另⼀边的垂线段，利⽤⻆平分线的性质
可得到两个垂线段相等
单垂直：若过⻆平分线上的⼀点有⻆平分线的垂线段，延⻓此垂线段，利⽤等⻆的余⻆相等可证明⻆的两边
被此垂线段所截，⻆两边截得的线段相等
对称形：以⻆的顶点为端点在⻆的两边上任取两条等线段，与⻆平分线上的点构成的两个三⻆形关于⻆平分
线对称
典型例题
例10 （★★☆☆☆）
如图， 是 的⻆平分线， 于 ， 的⾯积是 ， ， ，则
．
-12 -例11 （★★★☆☆）
如图，在 中， ， ， 的平分线 交 于点 ， ，求证：
．
例12 （★★★☆☆）
在 中，已知 ， 为 的⻆平分线．
（1）如图 ，当 时，在 边上截取 ，连接 ，你能发现线段 ， ， 之间有
怎样的数量关系么？请直接写出你的发现： （不需要证明）；
（2）如图 ，当 时，线段 ， ， 还有（1）中的数量关系么？请证明你的猜想；
（3）如图 ，当 为 的外⻆平分线时，线段 ， ， ⼜有怎样的数量关系？不需要证明，
请直接写出你的猜想： ．
- 13 -等腰三⻆形
知识秘籍
1.等腰三⻆形的性质：
等腰三⻆形两底⻆相等
等腰三⻆形顶⻆的平分线、底边中线、底边上的⾼互相重合
2.等腰三⻆形的分类讨论：
若已知等腰三⻆形的⼀条边⻓，需要讨论已知边是腰还是底边，最终结果要满⾜三⻆形三边关系；
若已知等腰三⻆形的⼀个内⻆，需要讨论已知⻆是顶⻆还是底⻆，最终结果要满⾜三⻆形内⻆和定理
典型例题
例13 （★★☆☆☆）
若等腰三⻆形的顶⻆与⼀个底⻆度数的⽐值等于 ，该等腰三⻆形的顶⻆为 ．
例14 （★★★☆☆）
如图， 于 ，且 ，若 ，则 的度数是 ．
例15 （★★☆☆☆）
等腰三⻆形的⼀个外⻆等于 ，则顶⻆的度数是 （ ）
A. B. C. 或 D. 以上都不对
- 14 -例16 （★★☆☆☆）
如果⼀个等腰三⻆形的两边⻓分别为 ， ，则这个等腰三⻆形的周⻓为 （ ）
A. B. 或 C. D. 或
等边三⻆形的性质与判定
知识秘籍
等边三⻆形三条边相等，三个内⻆都是60°
等边三⻆形的判定：1、三条边相等；2、两个⻆是60°的三⻆形；3有⼀个内⻆是60°的等腰三⻆形
典型例题
例17 （★★☆☆☆）
如图， ， ， 与 相交于 ， ， ．
（1）求证： 垂直平分 ．
（2）判断 的形状并说明理由．
（3）求线段 的⻓度．
- 15 -例18 （★★☆☆☆）
如图，在等边 中，点 是 边上⼀点，连接 ，将线段 绕点 按顺时针⽅向旋转 后得到
，连接 ．求证： ．
例19 （★★☆☆☆）
如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，垂⾜为 ，若 ，则
的⻓为 （ ）
A. B.
C. D.
等边三⻆形与⼿拉⼿模型
知识秘籍
⼿拉⼿模型的识别特点：共端点等线段夹⻆同
⼿拉⼿模型的结论：拉⼿三⻆形全等，拉⼿边相等，拉⼿边夹⻆等于等线段夹⻆
已知，如下图，等边 与 ，
三点共线
结论：连接 交于F，则
（1）
（2）
（3）
- 16 -典型例题
例20 （★★★☆☆）
如图，以 的三边为边分别作等边 ， ， ，则下列结论：
①
②四边形 为平⾏四边形
③当 ， 时，四边形 是正⽅形
其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的序号）．
例21 （★★★★☆）
如图1，点 在线段 上，（点 不与 ， 重合），分别以 ， 为边在 同侧作等边三⻆形
和等边三⻆形 ，连接 ， 交于点 ．
【观察猜想】
（1） 与 的数量关系是 ；
（2） 的度数为 ．
【数学思考】
如图2，当点 在线段 外时，上⼀问中的结论（1）（2）是否仍然成⽴？若成⽴，请给予证明；若不成
⽴，请你写出正确结论再给予证明．
【拓展应⽤】
如图3，点 为四边形 内⼀点，且满⾜ ， ， ，对⻆线
， 交于点 ， ，则四边形 的⾯积为 ．
- 17 -第3讲
四边形
平⾏四边形的性质
知识秘籍
（1）边：平⾏四边形的对边平⾏且相等
（2）⻆：平⾏四边形的对⻆相等，邻⻆互补
（3）对⻆线：平⾏四边形的对⻆线互相平分
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
如图，在 中， ， ， ，则 的⻓为 （ ）
A. B.
C. D.
例2 （★★☆☆☆）
如图，在 中，延⻓ 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，则下列结论不⼀定成⽴的
是（ ）
A.
B.
C.
D.
- 18 -平⾏四边形的判定
知识秘籍
（1）两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形
（3）⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形
（4）两组对⻆分别相等的四边形是平⾏四边形
（5）两条对⻆线互相平分的四边形是平⾏四边形
典型例题
例3 （★★☆☆☆）
如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ．求证：
（1）四边形 是平⾏四边形；
（2） ．
例4 （★★★☆☆）
如图所⽰， 中， ， 分别是 ， 上的点， ， ， 分别是 ， 的中点．
求证：四边形 是平⾏四边形．
- 19 -例5 （★★☆☆☆）
已知：如图，在平⾏四边形 中，点 ， 在 上，且 ．
求证：四边形 是平⾏四边形．
矩形的性质与判定
知识秘籍
1，矩形是特殊的平⾏四边形，具有平⾏四边形的所有性质，另外还有如下性质：
（1）⻆：矩形的四个⻆都是直⻆
（2）对⻆线：矩形的对⻆线相等
（3）对称性：矩形是轴对称图形，也是中⼼对称图形，对称中⼼是对⻆线的交点
2，矩形的判定
（1）有三个⻆是直⻆的四边形是矩形
（2）有⼀个⻆是直⻆的平⾏四边形是矩形
（3）对⻆线相等的平⾏四边形是矩形
典型例题
例6 （★★★☆☆）
如图，在 中， ， ， ，点 为斜边 上⼀动点，过点 作 于 ，
于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 （ ）
A. B.
C. D.
- 20 -例7 （★★★☆☆）
如图，在菱形 中，对⻆线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，延⻓ ⾄ ，使
，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求矩形 的⾯积．
例8 （★★☆☆☆）
如图，矩形 的对⻆线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和 于点 ， ， ，
，则图中阴影部分的⾯积为 ．
例9 （★★☆☆☆）
如图，在矩形纸⽚ 中， ， ，折叠纸⽚，使点 落在 边上的点 处，折痕为
，当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动，若限定点 ， 分别在 ， 边上移
动，则点 在 边上可移动的最⼤距离为 ．
- 21 -菱形的性质与判定
知识秘籍
1，菱形是特殊的平⾏四边形，具有平⾏四边形的所有性质，另外还有如下性质
（1）边：菱形的四条边都相等
（2）对⻆线：菱形的两条对⻆线互相垂直，并且每⼀条对⻆线平分⼀组对⻆
（3）对称性：菱形是轴对称图形，也是中⼼对称图形，对称中⼼是对⻆线的交点
2，菱形的判定
（1）⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形
（2）对⻆线互相垂直的平⾏四边形是菱形
（3）四条边都相等的四边形是菱形
3，菱形的⾯积
（1）菱形的⾯积=底×⾼
（2）菱形的⾯积=菱形对⻆线乘积的⼀半
典型例题
例10 （★★★☆☆）
如图，在菱形 中，对⻆线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，已知 ，
，则 ．
菱形
- 22 -例11 （★★★☆☆）
如图，菱形 的边⻓为 ， ，点 是 的中点，点 是 上的⼀动点，则 的
最小值是 ．
例12 （★★★☆☆）
如图 ，将⼀张矩形纸⽚ 沿着对⻆线 向上折叠，顶点 落到点 处， 交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三⻆形．
（2）如图 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 交 于点 ．
①判断四边形 的形状，并说明理由．
②若 ， ，求 的⻓．
-23 -例13 （★★★☆☆）
如图（ ）， 为等腰三⻆形， ， 点是底边 上的⼀个动点， ，
．
（1）⽤ 表⽰四边形 的周⻓为 ；
（2）点 运动到什么位置时，四边形 是菱形，请说明理由；
（3）如果 不是等腰三⻆形（图（ ）），其他条件不变，点 运动到什么位置时，四边形 是
菱形（不必说明理由）．
例14 （★★★★☆）
如图 ，菱形 的顶点 ， 在直线 上， ，以点 为旋转中⼼将菱形 顺时针旋转
（ ），得到菱形 ， 交对⻆线 于点 ， 交直线 于点 ，连接 ．
（1）当 时，求 的⼤小；
（2）如图 ，对⻆线 交 于点 ，交直线 与点 ，延⻓ 交 于点 ，连接 ．当 的
周⻓为 时，求菱形 的周⻓．
- 24 -正⽅形与轴对称
知识秘籍
正⽅形的对称性：
（1）正⽅形有四条对称轴：对⻆线所在的直线和过对边中点的直线，如图1
（2）如图2，若正⽅形 对⻆线上有⼀点 ，通常连接 ， ，由正⽅形的性质可得
， ，进而推出对应边相等，对应⻆相等
（3）如图3，点 是正⽅形⼀边的中点，则点 在正⽅形的对称轴上，则有结论 ，
典型例题
例15 （★★☆☆☆）
正⽅形 中，在 边上有⼀定点 ， ， ，在 上有⼀动点 ，若使得
的和最小，则 的最短距离为 （ ）
A. B. C. D.
- 25 -例16 （★★☆☆☆）
如图所⽰，正⽅形 的⾯积为 ， 是等边三⻆形，点 在正⽅形 内，在对⻆线 上有
⼀点 ，使 的和最小，则这个最小值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
例17 （★★★★☆）
如图 ， 是菱形 对⻆线 上的⼀点，点 在 的延⻓线上，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）如图 ，当四边形 为正⽅形时，连接 ，试探究线段 与线段 的数量关系，并说明理
由．
-26 -正⽅形与弦图
知识秘籍
弦图中的直⻆三⻆形通常对应全等，进而得出边和⻆的对应相等关系.
典型例题
例18 （★★☆☆☆）
如图，这是⽤⾯积为 的四个全等的直⻆三⻆形 ， ， 和 拼成的“赵爽弦图”，
如果 ，那么正⽅形 的边⻓为 （ ）
A. B.
C. D.
例19 （★★☆☆☆）
如图，四边形 是正⽅形， 是 边上任意⼀点，连接 ，作 ， ，垂⾜分别为
， ．求证： ．
- 27 -第 讲
4
因式分解
因式分解的相关定义
知识秘籍
1、因式分解的定义：把⼀个多项式写成⼏个整式积的形式。
2、公因式：多项式 各项都含有因式“ ”像这样的因式称为多项式的公因式。
3、确定公因式的⼀般步骤：①如果多项式的第⼀项是负数，应把多项式的符号“-”提取；②提取多项式各项
系数的最⼤公约数为公因式的系数；③把多项式各项都含有的相同字⺟(或因式)的最低次幂的积作为公因式
的因式。
典型例题
例1 （★☆☆☆☆）
下列变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
例2 （★★★☆☆）
多项式 与 的公因式是 （ ）
A. B. C. D.
-28 -因式分解的⽅法
知识秘籍
1、提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个多项式的公因式提到括号外，把多项式
写成公因式与另⼀个多项式的积的形式，这种分解因式的⽅法叫做提公因式法。
例如：
2、公式法：
①利⽤平⽅差公式因式分解： ；
②利⽤完全平⽅公式因式分解： ； 。
3、⼗字相乘法：①简单的⼗字相乘法--⼆次项系数为1；②稍微复杂的⼗字相乘法--⼆次项系数不为1；
; 。
4、 分组分解法：
注意：因式分解要分解到不能再分解为⽌
典型例题
例3 （★☆☆☆☆）
分解因式： ．
例4 （★★☆☆☆）
因式分解： ．
- 29 -例5 （★★★☆☆）
阅读材料：若 ，求 ， 的值．
解： ，
，
，
， ， ， ．
根据你的观察，探究下⾯的问题：
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 的三边⻓ ， ， 都是正整数，且满⾜ ，求 的最⼤边
的值．
（3）已知 ， ，求 的值．
- 30 -第5讲
分式
分式的定义
知识秘籍
⼀般地，⽤ , 表⽰两个整式， 可以表⽰成 的形式，如果 中含有字⺟，那么称 为
分式，其中 称为分式的分⼦， 称为分式的分⺟
典型例题
例1 （★☆☆☆☆）
在式⼦① ② ③ ④ 中，是分式的个数为 （ ）
A. B. C. D.
分式有意义
知识秘籍
分式有意义的条件是：分⺟不为0
- 31 -典型例题
例2 （★★☆☆☆）
代数式 中 的取值范围在数轴上表⽰为 （ ）
A.
B.
C. D.
例3 （★☆☆☆☆）
⽆论 取什么数，总有意义的分式是 （ ）
A. B. C. D.
分式的值
知识秘籍
分式的值为0等价于分⼦为0，且分⺟不为0
典型例题
例4 （★★☆☆☆）
若分式 的值为 ，则 的值为 （ ）
A. B. C. D. 或
- 32 -分式的基本性质
知识秘籍
分⼦分⺟同时乘以或除以⼀个不为零的整式，分式的值不变
典型例题
例5 （★☆☆☆☆）
分式 可变形为 （ ）
A. B. C. D.
例6 （★☆☆☆☆）
如果分式 中分⼦、分⺟的 ， 同时扩⼤为原来的 倍，则分式的值 （ ）
A. 扩⼤为原来的 倍 B. 缩小为原来的 C. 扩⼤为原来的 倍 D. 不变
通分和约分
知识秘籍
约分：分式的分⼦和分⺟同时约去公因式，没有公因式的分式为最简分式
公因式=系数的最⼤公约数乘以相同字⺟（或相同因式）的最低次幂
约分：异分⺟的分式变成同分⺟的分式，通分时，通常取最简公分⺟作为他们的共同分⺟
最简公分⺟=系数的最小公倍数乘以相同字⺟（或相同因式）的最⾼次幂乘以不同字⺟和不同因式
- 33 -典型例题
例7 （★★☆☆☆）
下列各式① ② ③ ④ ⑤ 中，分⼦与分⺟没有公因式的分式是 ．
（填序号）
例8 （★★☆☆☆）
化简 的结果是 （ ）
A. B. C. D.
例9 （★★☆☆☆）
通分：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
- 34 -分式的运算
知识秘籍
分式的乘除：两个分式相乘，分⼦的乘积作为分⼦，分⺟的乘积作为分⺟；两个分式相除，把除式的分⼦分
⺟颠倒位置后与被除式相乘；分式的乘⽅要把分⼦分⺟分别乘⽅
分式的加减：同分⺟分式相加减，分⺟不变，分⼦相加减；异分⺟分式相加减，先通分，再加减
分式的混合运算先算乘⽅，再算乘除，最后算加减，有括号的先计算括号⾥的
例10 （★★☆☆☆）
化简： ．
例11 （★★☆☆☆）
化简 的结果等于 （ ）
A. B. C. D.
例12 （★★☆☆☆）
在中考复习中，⽼师出了⼀道题“化简 ”．下列是甲、⼄、丙三位同学的做法，下列判断正确
的是（ ）
甲：原式 ；
⼄：原式 ；
丙：原式 ．
A. 甲正确 B. ⼄正确 C. 丙正确 D. 三⼈均不正确
- 35 -分式的化简求值
知识秘籍
先化简分式，再把含有字⺟的值或条件中所含关系代⼊计算。常⻅的⽅法有：直接代⼊，消元代⼊和整体代
⼊。
典型例题
例13 （★★☆☆☆）
先化简，再求值： ，其中 ．
例14 （★★☆☆☆）
已知 ，且 ，求 的值．
例15 （★★☆☆☆）
先化简，再求值：
，其中 满⾜ ．
- 36 -第6讲
分式⽅程
解分式⽅程
知识秘籍
解分式⽅程的基本思路是通过去分⺟的⽅式将分式⽅程化为整式⽅程
基本步骤为：1、去分⺟，将分式⽅程化为整式⽅程
2、解整式⽅程
3、验根，最简公分⺟为零，则为增根；最简公分⺟不为零，则为⽅程的根
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
解⽅程： ．
分式⽅程的增根问题及⽆解问题
知识秘籍
1，分式⽅程的增根问题
（1）增根是使原分式⽅程分⺟为零的未知数的值，产⽣增根的原因是⽅程两边同乘⼀个使分⺟为零的整式
（2）增根是将原分式⽅程去分⺟后所得整式⽅程的根
2，分式⽅程的⽆解问题
分式⽅程若⽆解，原因有两种：
（1）由分式⽅程转化为的整式⽅程⽆解
（2）由分式⽅程转化为的整式⽅程有解，但这个解使分式⽅程的最简公分⺟为零
- 37 -典型例题
例2 （★★★☆☆）
阅读理解，并解决问题．
分式⽅程的增根
解分式⽅程时可能会产⽣增根，原因是什么呢？事实上，解分式⽅程时产⽣增根，主要是在去分⺟这⼀
步造成的．根据等式的基本性质 ：等式两边乘同⼀个数，或除以同⼀个不为 的数，结果仍相等．但是，
当等式两边同乘 时，就会出现 的特殊情况．因此，解⽅程时，⽅程左右两边不能同乘 ．而去分⺟时
会在⽅程左右两边同乘公分⺟，此时⽆法知道所乘的公分⺟的值是否为 ，于是，未知数的取值范围可能就
扩⼤了．如果去分⺟后得到的整式⽅程的根使所乘的公分⺟值为 ，此根即为增根，增根是整式⽅程的根，
但不是原分式⽅程的根．所以解分式⽅程必须验根．请根据阅读材料解决问题：
（1）若解分式⽅程 时产⽣了增根，这个增根是 ；
（2）小明认为解分式⽅程 时，不会产⽣增根，请你直接写出原因；
（3）解⽅程 ．
例3 （★★★☆☆）
已知关于 的⽅程 ⽆解，求 的值及 的值．
例4 （★★★☆☆）
已知关于 的分式⽅程 ．
（1）若⽅程的增根为 ，求 的值．
（2）若⽅程有增根，求 的值．
（3）若⽅程⽆解，求 的值．
- 38 -分式⽅程应⽤题
知识秘籍
列分式⽅程解应⽤题的⼀般步骤：
（1）审题
（2）设定未知数：直接设未知数或间接设未知数
（3）依题意找出等量关系，列出分式⽅程
（4）解分式⽅程，并验根
（5）写出符合题意的答案
典型例题
例5 （★★★☆☆）
某乡村距城市 千⽶，甲骑⾃⾏⻋从乡村出发，出发 小时 分钟后，⼄骑摩托⻋也从乡村出发进城，⽐甲
先到 小时，已知⼄的速度是甲的速度的 倍，求甲、⼄两⼈的速度．
例6 （★★★☆☆）
书店⽼板去图书批发市场购买某种图书，第⼀次⽤ 元购买若⼲本，按每本 元出售，很快售完．第⼆
次购买时，每本书的进价⽐第⼀次提⾼了 ，他⽤ 元所购买的数量⽐第⼀次多 本．
（1）求第⼀次购买的图书，每本进价多少元？
（2）第⼆次购买的图书，按每本 元售出 本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部售出，要使这两次
销售的总利润不低于 元，每本⾄多降价多少元？（利润 销售收⼊⼀进价）
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