文档文本内容
第1讲
⼆次根式及运算
⼆次根式有意义
知识秘籍
⼆次根式有意义的条件：被开⽅数是⾮负的
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
要使 有意义，则 的取值范围是 ．
例2 （★★★☆☆）
已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的平⽅根．
⼆次根式的性质
知识秘籍
（ ）
（ 为任意数）
- 1 -典型例题
例3 （★★☆☆☆）
实数 ， 在数轴上对应的位置如图，化简 等于 （ ）
A. B.
C. D.
例4 （★★☆☆☆）
已知 ，化简 ．
例5 （★★☆☆☆）
已知 ，则代数式 ．
⼆次根式的运算
知识秘籍
最简⼆次根式需满⾜：被开⽅数不含开得尽⽅的因数或因式；被开⽅数是整数或整式
同类⼆次根式：化简后，被开⽅数相同的⼆次根式是同类⼆次根式
分⺟有理化：将分⺟中的⼆次根式化去的过程称为分⺟有理化
只有同类⼆次根式可以进⾏加减运算
- 2 -典型例题
例6 （★★☆☆☆）
最简⼆次根式 与 是同类⼆次根式，则 ．
例7 （★★☆☆☆）
已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值 ．
例8 （★★☆☆☆）
．
例9 （★★☆☆☆）
仿照下列过程：
，
．
（1）运⽤上述的⽅法可知： ， ；
（2）计算： ．
- 3 -第2讲
勾股定理及其逆定理
勾股定理
知识秘籍
直⻆三⻆形中，两直⻆边的平⽅和等于斜边的平⽅
已知两边，可通过勾股定理求得第三边；已知两边关系和⼀边⻓度，可通过勾股定理列⽅程，求出两未知边
所在的直⻆三⻆形三边关系⽐为：
所在的直⻆三⻆形三边关系⽐为：
常⽤勾股数为：3，4，5；5，12，13；7，24，25
平⾯直⻆坐标系中 ， 两点间距离等于
典型例题
例1 （★☆☆☆☆）
已知等边三⻆形的边⻓为 ，则⼀边上的⾼为 （ ）
A. B. C. D.
例2 （★★☆☆☆）
在平⾯直⻆坐标系中， ， 两点的坐标分别为 ， ， 由 勾 股 定 理 ， 得
， 所以 ， 两点间的距离为 ， 已知
， ，则 ， 两点间的距离为 ．
- 4 -例3 （★★☆☆☆）
如图所⽰，以直⻆三⻆形 的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为 ， ， ，且 ， ，则
．
例4 （★★☆☆☆）
若⼀个直⻆三⻆形的两边⻓为 ， ，则第三边的⻓为 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
勾股定理与实际问题
知识秘籍
⾸先将实际问题抽象成⼏何图形，再利⽤勾股定理求出所求线段即可
⽴体图形沿表⾯⾏进，计算最短路径⻓，需要将⽴体图形展开，找最短路径，通过勾股定理可求得最短路径
⻓
典型例题
- 5 -例5 （★★☆☆☆）
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折⽵抵地”问题：今有⽵⾼⼀丈，末折抵地，去本三尺，问折
者⾼⼏何？意思是：⼀根⽵⼦，原⾼⼀丈（⼀丈 尺），⼀阵⻛将⽵⼦折断，其⽵梢恰好抵地，抵地处
离⽵⼦底部 尺远，问折断处离地⾯的⾼度是多少？设折断处离地⾯的⾼度为 尺，则可列⽅程为 （ ）
A. B.
C. D.
例6 （★★★☆☆）
如图，甲、⼄两船同时从港口 出发，甲船以 海⾥ 的速度向南偏东 ⽅向航⾏，⼄船向北偏东 ⽅
向航⾏． 后，甲船到达 岛，⼄船到达 岛．若 ， 两岛相距 海⾥，请问⼄船的速度是多少？
例7 （★★☆☆☆）
如图⼀个圆柱，底圆周⻓ ，⾼ ，⼀只蚂蚁沿外壁爬⾏，要从 点爬到 点，则最少要爬⾏
．
- 6 -第3讲
四边形
平⾏四边形的性质
知识秘籍
（1）边：平⾏四边形的对边平⾏且相等
（2）⻆：平⾏四边形的对⻆相等，邻⻆互补
（3）对⻆线：平⾏四边形的对⻆线互相平分
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
如图，在 中， ， ， ，则 的⻓为 （ ）
A. B.
C. D.
例2 （★★☆☆☆）
如图，在 中，延⻓ 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，则下列结论不⼀定成⽴的
是（ ）
A.
B.
C.
D.
- 7 -平⾏四边形的判定
知识秘籍
（1）两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形
（3）⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形
（4）两组对⻆分别相等的四边形是平⾏四边形
（5）两条对⻆线互相平分的四边形是平⾏四边形
典型例题
例3 （★★☆☆☆）
如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ．求证：
（1）四边形 是平⾏四边形；
（2） ．
例4 （★★★☆☆）
如图所⽰， 中， ， 分别是 ， 上的点， ， ， 分别是 ， 的中点．
求证：四边形 是平⾏四边形．
- 8 -例5 （★★☆☆☆）
已知：如图，在平⾏四边形 中，点 ， 在 上，且 ．
求证：四边形 是平⾏四边形．
矩形的性质与判定
知识秘籍
1，矩形是特殊的平⾏四边形，具有平⾏四边形的所有性质，另外还有如下性质：
（1）⻆：矩形的四个⻆都是直⻆
（2）对⻆线：矩形的对⻆线相等
（3）对称性：矩形是轴对称图形，也是中⼼对称图形，对称中⼼是对⻆线的交点
2，矩形的判定
（1）有三个⻆是直⻆的四边形是矩形
（2）有⼀个⻆是直⻆的平⾏四边形是矩形
（3）对⻆线相等的平⾏四边形是矩形
典型例题
例6 （★★★☆☆）
如图，在 中， ， ， ，点 为斜边 上⼀动点，过点 作 于 ，
于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 （ ）
A. B.
C. D.
- 9 -例7 （★★★☆☆）
如图，在菱形 中，对⻆线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，延⻓ ⾄ ，使
，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求矩形 的⾯积．
例8 （★★☆☆☆）
如图，矩形 的对⻆线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和 于点 ， ， ，
，则图中阴影部分的⾯积为 ．
例9 （★★☆☆☆）
如图，在矩形纸⽚ 中， ， ，折叠纸⽚，使点 落在 边上的点 处，折痕为
，当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动，若限定点 ， 分别在 ， 边上移
动，则点 在 边上可移动的最⼤距离为 ．
- 10 -菱形的性质与判定
知识秘籍
1，菱形是特殊的平⾏四边形，具有平⾏四边形的所有性质，另外还有如下性质
（1）边：菱形的四条边都相等
（2）对⻆线：菱形的两条对⻆线互相垂直，并且每⼀条对⻆线平分⼀组对⻆
（3）对称性：菱形是轴对称图形，也是中⼼对称图形，对称中⼼是对⻆线的交点
2，菱形的判定
（1）⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形
（2）对⻆线互相垂直的平⾏四边形是菱形
（3）四条边都相等的四边形是菱形
3，菱形的⾯积
（1）菱形的⾯积=底×⾼
（2）菱形的⾯积=菱形对⻆线乘积的⼀半
典型例题
例10 （★★★☆☆）
如图，在菱形 中，对⻆线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，已知 ，
，则 ．
菱形
- 11 -例11 （★★★☆☆）
如图，菱形 的边⻓为 ， ，点 是 的中点，点 是 上的⼀动点，则 的
最小值是 ．
例12 （★★★☆☆）
如图 ，将⼀张矩形纸⽚ 沿着对⻆线 向上折叠，顶点 落到点 处， 交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三⻆形．
（2）如图 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 交 于点 ．
①判断四边形 的形状，并说明理由．
②若 ， ，求 的⻓．
- 12 -例13 （★★★☆☆）
如图（ ）， 为等腰三⻆形， ， 点是底边 上的⼀个动点， ，
．
（1）⽤ 表⽰四边形 的周⻓为 ；
（2）点 运动到什么位置时，四边形 是菱形，请说明理由；
（3）如果 不是等腰三⻆形（图（ ）），其他条件不变，点 运动到什么位置时，四边形 是
菱形（不必说明理由）．
例14 （★★★★☆）
如图 ，菱形 的顶点 ， 在直线 上， ，以点 为旋转中⼼将菱形 顺时针旋转
（ ），得到菱形 ， 交对⻆线 于点 ， 交直线 于点 ，连接 ．
（1）当 时，求 的⼤小；
（2）如图 ，对⻆线 交 于点 ，交直线 与点 ，延⻓ 交 于点 ，连接 ．当 的
周⻓为 时，求菱形 的周⻓．
- 13 -正⽅形与轴对称
知识秘籍
正⽅形的对称性：
（1）正⽅形有四条对称轴：对⻆线所在的直线和过对边中点的直线，如图1
（2）如图2，若正⽅形 对⻆线上有⼀点 ，通常连接 ， ，由正⽅形的性质可得
， ，进而推出对应边相等，对应⻆相等
（3）如图3，点 是正⽅形⼀边的中点，则点 在正⽅形的对称轴上，则有结论 ，
典型例题
例15 （★★☆☆☆）
正⽅形 中，在 边上有⼀定点 ， ， ，在 上有⼀动点 ，若使得
的和最小，则 的最短距离为 （ ）
A. B. C. D.
- 14 -例16 （★★☆☆☆）
如图所⽰，正⽅形 的⾯积为 ， 是等边三⻆形，点 在正⽅形 内，在对⻆线 上有
⼀点 ，使 的和最小，则这个最小值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
例17 （★★★★☆）
如图 ， 是菱形 对⻆线 上的⼀点，点 在 的延⻓线上，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）如图 ，当四边形 为正⽅形时，连接 ，试探究线段 与线段 的数量关系，并说明理
由．
- 15 -正⽅形与弦图
知识秘籍
弦图中的直⻆三⻆形通常对应全等，进而得出边和⻆的对应相等关系.
典型例题
例18 （★★☆☆☆）
如图，这是⽤⾯积为 的四个全等的直⻆三⻆形 ， ， 和 拼成的“赵爽弦图”，
如果 ，那么正⽅形 的边⻓为 （ ）
A.
B.
C.
D.
- 16 -例19 （★★☆☆☆）
如图，四边形 是正⽅形， 是 边上任意⼀点，连接 ，作 ， ，垂⾜分别为
， ．求证： ．
- 17 -第4讲
函数基础
函数的定义
知识秘籍
函数是在变化的过程中，每取⼀个x值，都有唯⼀的y值和它对应，其中x是⾃变量，y是因变量
⾃变量的取值范围通常需要考虑：被开⽅数⾮负；分⺟不为0；实际问题中⾃变量的实际含义
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
对于⽓温，有的地⽅⽤摄⽒度表⽰，有的地⽅⽤华⽒温度表⽰，从温度计上可以看出，摄⽒温度 （ ）与
华⽒温度 （ ）有如下对应的关系。下列说法不正确的是 （ ）
（ ）
（ ）
A. 摄⽒温度 （ ）与华⽒温度 （ ）都是变量，摄⽒温度 是⾃变量，华⽒温度 是因变量
B. 随着摄⽒温度 的逐渐升⾼，华⽒温度 也逐渐升⾼
C. 摄⽒温度每升⾼ ，华⽒温度升⾼
D. 当摄⽒温度为 时，华⽒温度为
例2 （★★☆☆☆）
函数 中，⾃变量 的取值范围是 ．
- 18 -例3 （★☆☆☆☆）
下列各曲线中不能表⽰ 是 的函数的是 （ ）
A. B. D.
C.
动点函数图象
知识秘籍
通过动点路径判断动点函数图象常⽤⽅法有：解析式法和特殊值法。要重点关注x、y所表⽰的含义。
典型例题
例4 （★★☆☆☆）
如图，小亮在操场上玩，⼀段时间内沿 的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点 的距
离 与时间 之间关系的函数图象是 （ ）
A. B. C. D.
- 19 -例5 （★★★☆☆）
如图， 中， ， ， ，点 从点 出发，以 的速度沿折线
运动，到达点 为⽌．设运动时间为 （ ）， 的⾯积为 （ ），则 与 的⼤
致图象是（ ）
A. B.
C. D.
函数图象信息读取
知识秘籍
在函数图象上找出横纵坐标各代表的实际意义，然后根据特殊点求出解析式，再利⽤解析式去解决实际问题
即可
典型例题
- 20 -例6 （★★★☆☆）
⼀辆货⻋从甲地出发以每小时 的速度匀速驶往⼄地，⼀段时间后，⼀辆轿⻋从⼄地出发沿同⼀条路匀
速驶往甲地．货⻋⾏驶 后，在距⼄地 处与轿⻋相遇．图中线段 表⽰货⻋离⼄地的距离
与货⻋⾏驶时间 的函数关系．
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）若两⻋同时到达各⾃⽬的地，在同⼀坐标系中画出轿⻋离⼄地的距离 与 的图象，求该图象与 轴交
点坐标并解释其实际意义．
例7 （★★☆☆☆）
甲⼄沿着同⼀路线以各⾃的速度匀速从 地到 地，甲出发 分钟后⼄随即出发，甲、⼄到达 地后均⽴即
按原路原速返回 地，甲、⼄之间的距离 （⽶）与甲出发的时间 （分）之间的部分图象如图所⽰．当甲
返回到 地时，⼄距离 地 ⽶．
- 21 -第5讲
正⽐例函数
正⽐例函数定义
知识秘笈
形如y=kx（k≠0）的函数为正⽐例函数，其中y和x成正⽐例关系
正⽐例函数的结构特征是：x的最⾼项次数为1，⼀次项系数不为0，常数项为0
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
已知 与 成正⽐例，且当 时， ，求当 时， 的值．
例2 （★☆☆☆☆）
若函数 是正⽐例函数，则 ．
正⽐例函数图象与性质
知识秘笈
正⽐例函数必过原点；当k>0时，函数图象经过⼀、三象限，y随x增⼤而增⼤；当k<0时，函数图象经过
⼆、 四象限，y随x增⼤而减小
- 22 -典型例题
例3 （★☆☆☆☆）
正⽐例函数 （ ）的图象⼤致是（ ）
A. B. C. D.
例4 （★☆☆☆☆）
已知正⽐例函数 （ 是常数， ），当 时，对应的 的取值范围是 ，且 随
的增⼤而减小，则 的值为 ．
例5 （★★☆☆☆）
关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 函数图象必经过点 B. 函数图象经过第⼆、四象限
C. 随 的增⼤而增⼤ D. 不论 取何值，总有
- 23 -第6讲
⼀次函数基础
⼀次函数定义
知识秘籍
形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数称为⼀次函数
⼀次函数的结构特征是：x的次数为1；⼀次项系数不为0；b为任意常数
当b=0时，y=kx，故正⽐例函数是特殊的⼀次函数
典型例题
例1 （★★☆☆☆）
当 时， 是⼀次函数．
例2 （★☆☆☆☆）
下列函数：① ② ③ ④ 中，是⼀次函数的有 （ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 24 -⼀次函数图象与性质
知识秘籍
⼀次函数y=kx+b（k≠0）与x轴交于( )，与y轴交于（0，b）
k＞0，从左到右斜向上，y随x增⼤而增⼤；k＜0，从左到右斜向下，y随x增⼤而减小
b＞0，函数图象与y轴交点在x轴上⽅；b<0时，函数图象与y轴交点在x轴下⽅
典型例题
例3 （★★☆☆☆）
关于 的⼀次函数 和 的图象可能是 （ ）
A. B. C. D.
- 25 -例4 （★★☆☆☆）
直线 上有两点 和点 ，且 ，则常数 的取值范围是
．
例5 （★★☆☆☆）
请你写出⼀个⼀次函数的解析式，使其满⾜以下要求：①图象经过 ；② 随 增⼤而减小．该解析式可
以是 ．
待定系数法求⼀次函数解析式
知识秘籍
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的⽅法，叫做待定系数法
⽤待定系数法求⼀次函数解析式的⼀般步骤：
1、根据已知条件写出含有特定系数的解析式：y=kx+b（k≠0）
2、将函数上点的坐标代⼊到解析式中，得出以待定系数为未知数的⽅程或⽅程组
3、解⽅程（组），求出待定系数
4、将待定系数代回y=kx+b，得到所求函数解析式。
典型例题
例6 （★★☆☆☆）
如图，在直⻆坐标系中，已知矩形 的两个顶点 ， ，对⻆线 所在的直线 ，那么直线
对应的解析式是 ．
- 26 -例7 （★★☆☆☆）
已知点 ， ，且点 在直线 上，则 ．
⼀次函数的⼏何变换
知识秘籍
函数的平移：上加下减常数项，左加右减⾃变量
平移前后的解析式的k值相等；若两函数解析式的k相等，那么这两条直线平⾏
函数的对称：关于x轴对称，x不变，y变成-y；关于y轴对称，y不变，x变成-x；关于原点对称，x、y都变成
相反数。
⼀次函数解析式为y=kx+mk+b（k、b为常数，m为已知数），若求该函数所过定点，需要将解析式变形为：
y=k（x+m）+b，当x=-m时，y恒为b，所以y=kx+mk+b恒过点（-m，b）
典型例题
例8 （★★☆☆☆）
写出直线 关于 轴对称的直线的解析式 ．
例9 （★★☆☆☆）
如果将直线 平移，使其经过点 ，那么平移后所得直线的表达式是 ．
例10 （★★☆☆☆）
将直线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
- 27 -例11 （★★☆☆☆）
函数 （ 为任意实数）的图象必经过定点，则该点坐标为 ．
- 28 -第7讲
⼀次函数综合
⼀次函数与⽅程、不等式
知识秘籍
⼀次函数图象y=kx+b与x轴交点的横坐标是⽅程kx+b=0的解
两个⼀次函数交点的坐标是这两个函数解析式联⽴所得⽅程组的解
任何⼀个以x为未知数的⼀元⼀次不等式都可以变形为kx+b>0或kx+b＜0的形式，解这个不等式相当于求⾃
变量在什么范围内的时候，函数值为正或为负，在图象上看，就是确定图象在x轴上⽅或x轴下⽅时，所对应
⾃变量x的全体取值范围
图象法解⼀元⼀次不等式：
求kx+b>ax+c的解集，就是确定函数y=kx+b在y=ax+c上⽅时所对应⾃变量x取值的全体
求kx+b<ax+c的解集，就是确定函数y=kx+b在y=ax+c下⽅时所对应⾃变量x取值的全体
典型例题
例1 （★☆☆☆☆）
同⼀直⻆坐标系中，⼀次函数 与正⽐例函数 的图象如图所⽰，则满⾜ 的 取值
范围是（ ）
A. B.
C. D.
- 29 -例2 （★☆☆☆☆）
如图是⼀次函数的 图象，则关于 的不等式 的解集为 ．
例3 （★★☆☆☆）
如图，若直线 与 相交于点 ，则⼆元⼀次⽅程组 的解是 ．
- 30 -⼀次函数与⾯积问题
知识秘籍
当三⻆形的⼀边平⾏于x轴（或y轴）时，选此边作为底，进而求出三⻆形的⾯积
可以利⽤三⻆形的⾯积等于⽔平宽✖铅锤⾼的⽅式，求出三⻆形⾯积，如下图
可以将三⻆形补全成矩形，求出矩形⾯积再分别减去其他三个小三⻆形的⾯积，进而求得所求三⻆形⾯积，
如下图
矩
- 31 -典型例题
例4 （★★★☆☆）
如图所⽰，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，且 与 轴交于点 ， 经过点
， ．
（1）求点 的坐标和直线 的表达式；
（2）求 的⾯积．
例5 （★★☆☆☆）
如图，过点 的两条直线 ， 分别交 轴于点 ， ，其中点 在原点上⽅，点 在原点下⽅，已知
．
（1）求点 的坐标．
（2）若 的⾯积为 ，求直线 的解析式．
- 32 -例6 （★★★☆☆）
如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，另⼀直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，
两直线相交于点 ．
（1）求点 的坐标．
（2）连接 ，求 的⾯积．
⼀次函数与存在性问题
知识秘籍
1.等腰三⻆形的存在性问题
已知平⾯直⻆坐标系中两点A、B,与A、B构成等腰三⻆形的点C的轨迹
当AB=AC时，点C在以A为圆⼼，AB为半径的圆上（除与直线AB共线的点）
当BA=BC时，点C在以B为圆⼼，BA为半径的圆上（除与直线AB共线的点）
当CA=CB时，点C在线段AB的垂直平分线上（除与直线AB共线的点）
- 33 -2.等腰直⻆三⻆形存在性问题
在平⾯直⻆坐标系中，使 为等腰直⻆三⻆形，即 ,AC=BC
已知点 过点C作 轴，分别过点A,B作 垂⾜分
别 为 D,E, 易 证 明 , 于 是 有 AD=CE,CD=BE, 可 得
1.已知三个顶点的平⾏四边形存在性问题
如果已知三个定点，探寻平⾏四边形的第四个顶点，符合条件的有三个点，以已知三个定点为三⻆形的顶
点，过每个点画对边的平⾏线，三条直线两两相交，产⽣三个交点即为所求的第四个顶点
2.已知两个顶点的平⾏四边形存在性问题
如果已知两个定点，可以把确定的⼀条线段作为边或对⻆线进⾏分类讨论，
当已知线段为平⾏四边形的边时，根据平⾏四边形的对边平⾏且相等，以两定点连线为平⾏四边形的边，运
⽤坐标平移，可计算其他顶点坐标
- 34 -当已知线段为平⾏四边形的对⻆线时，根据平⾏四边形的中⼼对称性质，运⽤坐标对称（或中点坐标），可
以计算其他顶点坐标
典型例题
例7 （★★★★☆）
如图，⼀次函数 的图象与 ， 轴分别交于 ， 两点，点 与点 关于 轴对称．动点 ， 分
别在线段 ， 上（点 与点 ， 不重合），且满⾜ ．
（1）求点 ， 的坐标及线段 的⻓度；
（2）当点 在什么位置时， ，说明理由；
（3）当 为等腰三⻆形时，求点 的坐标．
- 35 -例8 （★★★☆☆）
如图，⼀次函数 的图象与 轴交于点 ，与正⽐例函数 的图象相交于点 ，且
．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求 的⾯积；
（3）点 在 轴上，且 是等腰三⻆形，请直接写出点 的坐标．
例9 （★★★☆☆）
如图，直线 ： 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，与直线 ： 交于点 ．
（1）点 坐标为（ ， ），点 坐标为（ ， ）；
（2）在线段 上有⼀点 ，过点 作 轴的平⾏线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，当 为何值
时，四边形 是平⾏四边形．
- 36 -例10 （★★★☆☆）
如图，在平⾯直⻆坐标系中， ， ，且 ， 满⾜ ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点 为直线 上⼀点，且 是以 为底的等腰直⻆三⻆形，求 值．
⼀次函数与⼏何综合
知识秘籍
1、⼀次函数与图形交点问题可以利⽤数形结合的⽅式，⾸先找到⼀次函数在字⺟参数的影响下，图象所形
成的轨迹，再找到与图形有交点时的临界状态，代⼊点的坐标求字⺟参数的临界值，进而确定字⺟参数的取
值范围，需要注意临界状态是否可以取等
2、⼀次函数与最值
线段上点的纵坐标最值：根据增减性求最值，如下图，在直线y=kx+b上两点 ，点C在线段
AB上，则
- 37 -平⾯直⻆坐标系中的最短路径：利⽤点关于坐标轴的对称性特点求最短路径，如下图，在平⾯直⻆坐标系中
两点A,B,在 轴上存在点P，使得AP+BP最小，求P点坐标。⾸先将A沿 轴对称，记对称点为 ,利⽤待定
系数法求 直线解析式，直线 与 轴交点即为P点
典型例题
例11 （★★★☆☆）
如图，已知直线 分别交坐标轴于 ， ，直线上任意⼀点 ，设点 到 轴和 轴的距
离分别是 和 ，则 的最小值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
- 38 -例12 （★★★☆☆）
如图， 中， ， ， ，直线 分别交 ， 于点 ，点 ，且
的⾯积是 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）求直线 的表达式；
（3）若点 是 轴上的点，且使得点 到点 和点 的距离之和最小，求点 的坐标．
- 39 -
