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第 1 讲
⼆次根式及运算
例1
答案：
解答：由题意得
解得
故答案为：
例2
解答：（1）
且
解得：
（2）
的平⽅根是
例3
答案：B
解答：由数轴知
，
原式
故选：
- 1 -例4
答案：
解答：
原式
故答案为：
例5
答案：
解答：由题意得，
解得，
则已知等式可化为
整理得，
解得，
故答案为： ．
例6
答案：
解答：由题意可知： ，
解得： ，
故答案为： ．
例7
答案：
解答：
- 2 -，
故答案为：
例8
解答：
原式
例9
解答：
（1）
故答案为： ，
（2）原式
- 3 -第 2 讲
勾股定理及其逆定理
例1
答案：C
解答：如图，根据题意得， ，
故选：
例2
答案：
解答：
故答案为：
例3
答案：
解答： 是直⻆三⻆形
， ， ， ，
故答案为： ．
- 4 -例4
答案：D
解答：当 ， 为两条直⻆边⻓时，第三边的⻓为
当 为直⻆边⻓， 为斜边⻓时，第三边的⻓为
故选： ．
例5
答案：D
解答：设⽵⼦折断处离地⾯ 尺，则斜边为 尺
根据勾股定理得：
故选
例6
解答：由题意得： ，
由已知可得： （海⾥）
海⾥
（海⾥）
⼄船的速度是 海⾥
- 5 -例7
答案：
解答：将圆柱展开，侧⾯为矩形，如图所⽰
底圆周⻓为
⾼
故答案为： ．
- 6 -第 3 讲
四边形
例1
答案：A
解答： 四边形 是平⾏四边形， ，
，
故选
例2
答案：D
解答： ． 四边形 是平⾏四边形
，（故 成⽴）
． 四边形 是平⾏四边形
，
在 和 中
（ ）
，（故 成⽴）
．
- 7 -，（故 成⽴）
．
，（故 不成⽴）
故选：
例3
解答：（1） 四边形 是平⾏四边形
，即
四边形 是平⾏四边形
（2） 四边形 是平⾏四边形
四边形 是平⾏四边形
即
例4
解答： 四边形 是平⾏四边形
，
⼜
（ ）
，
由四边形 是平⾏四边形
⼜ ， 分别是 ， 的中点，且
- 8 -四边形 是平⾏四边形
例5
解答：如图，连接 ，设对⻆线交于点
四边形 是平⾏四边形
，
，
四边形 是平⾏四边形
例6
答案：B
解答：如图，连接
， ，
四边形 是矩形
当 最小时， 也最小
即当 时， 最小
，
- 9 -的最小值为
即线段 的最小值为
故选：
例7
解答：（1） 四边形 是菱形
，
，
四边形 是平⾏四边形
平⾏四边形 是矩形
（2） ， ，
（ ）
矩形 的⾯积 菱形 的⾯积
是等边三⻆形
， ， ，
矩形 的⾯积 菱形 的⾯积
例8
答案：
解答： 四边形 是矩形
，
⼜
- 10 -在 和 中
，得
阴影
，故
阴影
故答案为： ．
例9
答案：
解答：如图 ，当点 与点 重合时，根据翻折对称性可得
如图 ，当点 与点 重合时，根据翻折对称性可得
在 中， ，即
解得：
所以点 在 上可移动的最⼤距离为
故答案为： ．
例10
答案：
解答： 四边形 是菱形
， ，
菱形
- 11 -菱形
故答案为：
例11
答案：
解答：连接 ， ，设 交 于 ，连接 ，延⻓ ， 于
四边形 是菱形
， 互相垂直平分
点 关于 的对称点为
只有当点 运动到点 时，取等号（两点之间线段最短）
中， ，
，
菱形 的边⻓为 ， 为 的中点
，
，
在 中
的最小值为
故答案为： ．
- 12 -例12
解答：（1）如图 ，根据折叠的性质得
⼜
是等腰三⻆形
（2）① 四边形 是矩形
⼜
四边形 是平⾏四边形
四边形 是菱形
② ，
假设
在 中
，即
解得
即
- 13 -例13
解答：（1） ，
四边形 为平⾏四边形
，
四边形 的周⻓
故答案为：
（2）当 为 中点时，四边形 是菱形
理由如下
连结
，
- 14 -四边形 为平⾏四边形
， 为 中点
四边形 是菱形
（3） 运动到 的平分线上时，四边形 是菱形
，
四边形 是平⾏四边形
平分
四边形 是菱形
例14
解答：（1） 四边形 是菱形
， 是等边三⻆形
- 15 -，
是等边三⻆形
，
在 和 中
（ ）
（2）
在 和 中
（ ）
，
，
在 和 中
（ ）
- 16 -的周⻓为
菱形 的周⻓为
例15
答案：A
解答：连接 ，交直线 于点
四边形 是正⽅形
， 关于 对称
的⻓即为 的最短距离
故选： ．
例16
答案：A
解答：设 与 交于点 ，连接 ，
- 17 -点 与 关于 对称
，此时 最小
即 是 与 的交点上时， 最小，为 的⻓度
正⽅形 的⾯积为
⼜ 是等边三⻆形
故所求最小值为
故选：
例17
解答：（1）证明： 四边形 是菱形
， ，
在 和 中，
（ ）
（2）证明：如图 所⽰：由（1）知
- 18 -（对顶⻆相等）
即
（3） ，理由如下
四边形 是正⽅形
由（1）知：
由（2）知，
是等腰直⻆三⻆形
例18
答案：B
解答： 正⽅形 的⾯积 正⽅形 的⾯积
正⽅形 的边⻓
故选：
例19
解答： 四边形 是正⽅形
，
，
在 和 中
- 19 -（ ）
，
- 20 -第 4 讲
函数基础
例1
答案：D
解答： ．摄⽒温度 （ ）与华⽒温度 （ ）都是变量，摄⽒温度 是⾃变量，华⽒温度 是因变
量，正确
．由表格数据可知，随着摄⽒温度 的逐渐升⾼，华⽒温度 也逐渐升⾼，正确
．摄⽒温度每升⾼ ，华⽒温度升⾼ ，正确
．摄⽒温度每升⾼ ，华⽒温度升⾼ ，当摄⽒温度为 时，华⽒温度为
，故此选项错误
故选：
例2
答案：
解答：根据题意得， 且
解得 且
所以，⾃变量 的取值范围是
故答案为： ．
例3
答案：B
解答： 、 、 选项中，对于⾃变量 的任何值， 都有唯⼀，确定的值与之相对应，则 是 的函数
选项中，对于 的任何值， 都有两个值与之相对应，则 不是 的函数
故选：
- 21 -例4
答案：C
解答：分析题意和图象可知：当点 在 上时， 随 的增⼤而增⼤
当点 在半圆上时， 不变，等于半径
当点 在 上时， 随 的增⼤而减小
且点 在半圆上运动的时间相对于点 在 、 上来说较⻓
所以 正确， 错误
故选：
例5
答案：A
解答：如图
当点 在 上时，过 作 于 ，则
（ ）
当点 在 上时， 的⾯积为平⾏四边形的⾯积的⼀半
即 （ ）
当点 在 上时，过 作 交 的延⻓线于 ，则
（ ）
综上所述， 与 的⼤致图象是由从左往右上升、⽔平⽅向、从左往右下降的三条线段连接而成的折
线
故选：
- 22 -例6
解答：（1）由条件可得
设 ，过点 ，可得⽅程
解得，
（2）当 时，可得
轿⻋和货⻋同时到达，轿⻋的终点坐标为
设 ，过点 和
解得 ，
轿⻋离⼄地的距离 与 的图象如图所⽰
与 轴交点坐标为 ，实际意义是轿⻋⽐货⻋晚出发
例7
答案：
解答：由图象可得，甲的速度为 ⽶ 分
则⼄的速度为： ⽶ 分
设 ， 两地的距离为 ⽶
解得，
甲返回 地⽤时为： 分
则⼄ 分钟⾏驶的路程为 ⽶
此时⼄距离 地 ⽶
即当甲返回到 地时，⼄距离 地 ⽶
故答案为：
- 23 -第 5 讲
正⽐例函数
例1
解答：由题意，设 （ ）
得：
解得：
所以当 时，
即当 时， 的值为
例2
答案：
解答：因为函数 是正⽐例函数
所以 ，且
所以
故答案为： ．
例3
答案：D
解答：因为正⽐例函数 （ ）
所以正⽐例函数 的图象在第⼀、三象限
故选
例4
答案：
解答： 随 的增⼤而减小
当 时， ，代⼊正⽐例函数 得：
- 24 -解得
故答案为：
例5
答案：C
解答： ．把 代⼊得：左边 右边，故本选项错误
． ，图象经过第⼀、三象限，故本选项错误
． ， 随 的增⼤而增⼤，故本选项正确
．当 时， ，故本选项错误
故选
- 25 -第 6 讲
⼀次函数基础
例1
答案：
解答：①由 是⼀次函数，得
解得
② ，解得
③ ，解得：
当 ， ， 时， 是⼀次函数
故答案为： ， ， ．
例2
答案：B
解答：① 是⼀次函数
② ⾃变量的次数不是 ，所以不是⼀次函数
③ ⾃变量的次数不是 ，所以不是⼀次函数
④ 是⼀次函数
故选：
例3
答案：D
解答：依次分析选项可得
．读图可得， ， ；两条直线都过⼀、⼆、三象限，与图不符
．读图可得， ， ；两条直线都过⼀、⼆、三象限，与图不符
．读图可得， ， ；两条直线都过⼆、三、四象限，与图不符
- 26 -．读图可得， ， ；⼀条直线过⼀、三、四象限，另⼀条过⼀、⼆、四象限，与图相符
故选：
例4
答案：
解答：
， 或者 ，
即当 时 或者当 时
直线 的图象中 随 的增⼤而减小
故答案为： ．
例5
答案： 答案不唯⼀
解答： ⼀次函数 随 的增⼤而减小
不妨设
则
把 代⼊得，
所以
故答案为： （答案不唯⼀）．
例6
答案：
解答：由题可知：矩形 中， ， ，
设直线 的解析式为
则 ，解得
- 27 -直线 的解析式为：
故答案为： ．
例7
答案：
解答：直线 的解析式为
，解得：
函数解析式为 ，
故答案为： ．
例8
答案：
解答：从直线 上找两点： ，
这两个点关于 轴的对称点是 ，
那么设经过这两个点的直线解析式为
则 ，
解得 ，
故答案为： ．
例9
答案：
解答：设平移后直线的解析式为
把 代⼊ ，解得
所以平移后直线的解析式为
故答案为： ．
- 28 -例10
答案：A
解答：
化简，得
故选：
例11
答案：
解答：函数 可化为
当 ，即 时，
该定点坐标为
故答案为： ．
- 29 -第 7 讲
⼀次函数综合
例1
答案：A
解答：当 时，⼀次函数 的图象都在正⽐例函数 图象的上⽅
即
故选
例2
答案：
解答：由图可知：当 时， ，即
因此 的解集为：
故答案为： ．
例3
答案：
解答：
根据题意得，⼆元⼀次⽅程组 的解就是直线 与 的交点 的坐标
则原⽅程组的解是
故答案为： ．
例4
解答：（1）在 中，令 ，得
点
将点 ， 代⼊
- 30 -得
解得：
的表达式为
（2）由题意可得
解得
例5
解答：（1） 点 ，
点 的坐标为
（2） 的⾯积为
，即
设 的解析式为 ，则
解得
的解析式为
例6
解答：
（1） ，解得 ，故点 的坐标
- 31 -（2）连接 ，如图
直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，另⼀直线 与 轴、 轴分别交于点 ，
， ， ， ，
例7
解答：（1）当 时，
点 的坐标为
当 时，
解得：
点 的坐标为
点 与点 关于 轴对称
点 的坐标为
（2）当点 的坐标是 时， ，理由如下
点 的坐标为 ，点 的坐标为
， ，
和 关于 轴对称
在 和 中
- 32 -（ ）
当点 的坐标是 时，
（3）分为三种情况
①当 时，如图 所⽰，由（2）知，当点 的坐标是 时，
此时 的坐标是
②当 时，则
而根据三⻆形的外⻆性质得：
此种情况不存在
③当 时，则
，如图 所⽰
设此时 的坐标是
在 中，由勾股定理得：
解得：
此时 的坐标是
综上所述：当 为等腰三⻆形时，点 的坐标是 或
- 33 -例8
解答：（1） 正⽐例函数 的图象经过点
正⽐例函数解析式为
如图 中，过 作 轴于 ，在 中， ，
解得
⼀次函数解析式为
（2）如图 中，过 作 轴于
（3）如图 中，当 时， ，
当 时，
当 时，线段 的垂直平分线为
满⾜条件的点 的坐标为 或 或 或
-34 -例9
解答：（1）将 代⼊ ，得
，解得：
直线 的解析式为
当 时，
点 的坐标为
当 时，
解得：
点 的坐标为
故答案为： ；
（2）将 代⼊ ，得
，解得：
直线 的解析式为
点 的横坐标为
点 的坐标为 ，点 的坐标为
四边形 是平⾏四边形
，即
解得：
当 为 时，四边形 是平⾏四边形
例10
解答：（1）根据题意可得： ，解得
根据题意可得： ，解得：
设直线 的解析式为 （ ）
将 代⼊得
的解析式为
- 35 -（2）过 点作 轴于 ，过 点作 轴于
是以 为底的等腰直⻆三⻆形
，
设 的坐标为
则
例11
答案：A
解答：设直线 的解析式为： （ ）
将 ， 代⼊得
解得：
直线 的解析式为：
是直线 上任意⼀点
，
-36 -①当点 满⾜ 时
②当点 满⾜ 时
，此时
③当点 满⾜ 时
综上，
的最小值为
故选：
例12
解答：（1） ， ，
点坐标为
设直线 的表达式为 （ ），
则 ，解得 ，
即直线 的表达式为
（2） ， ，
点的坐标为
把 代⼊ 得：
直线 的表达式为
（3）由直线 与直线 组成⽅程组为
解得：
点 的坐标为
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接
-37 -可得点 的坐标为
可知
到 ， 的距离之和 有最小
设直线 的表达式为 （ ）
把 和 代⼊为 （ ）
得 ，解得：
所以直线 的表达式为
令 ，得
所以点 的坐标为
-38 -
