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第 1 讲
不等式（组）
例1
答案：C
解答：由题意知，原解题过程中去分⺟、去括号和系数化为 这 步出现错误
故选：
例2
解答：（1）
在数轴上表⽰不等式的解集，如图
①
（2）
②
解①得：
解②得：
则不等式组的解集为：
在数轴上表⽰不等式组的解集，如图
例3
解答： ①
②
- 1 -解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为
不等式组的解集在数轴上表⽰如下
例4
答案：
解答：解不等式
解得
由数轴上的解集
可得
解得
故答案为： ．
例5
答案：B
解答： ①
②
- 2 -解①得
解②得
因为不等式组 有解
所以
解得
故选
例6
答案：C
解答： ①
②
解①得
解②得
则不等式组的解集是
不等式组有 个整数解
不等式组的整数解是 ， ， ，
例7
答案：B
解答：由 得
⽅程有负数解
解得
故选：
例8
答案：
- 3 -解答： ①
②
① ②，得
解得，
故答案为： ．
例9
答案：
解答：设答对 道
故
解得：
所以⾄少要答对 道题，成绩才能在 分以上
故答案为： ．
例10
答案：
解答：设共有 名学⽣，则图书共有 本
由题意得：
解得：
为⾮负整数
这些书共有： （本）
故答案为： ．
- 4 -例11
解答：（1）设甲⽔果销售单价为 元 千克，⼄⽔果销售单价为 元 千克
根据题意得： ，解得
答：甲⽔果销售单价为 元 千克，⼄⽔果销售单价为 元 千克．
（2）设购进甲⽔果 千克，则购进⼄⽔果 千克
根据题意得：
解得：
答：最多能购进甲⽔果 千克．
（3）根据题意知
解得
在（2）的条件下不能实现利润为 元的⽬标
- 5 -第 2 讲
等腰三⻆形与等边三⻆形
例1
答案：
解答： 平分 ，
，
是 的中垂线
故答案为： ．
例2
答案：
解答： ， 分别是 的 ， 边的垂直平分线
，
，
的周⻓是
故答案为： ．
例3
答案：
解答： 平分 ， ，
- 6 -，
即
解得
故答案为： ．
例4
答案：
解答：如图，过点 作 于点
点 是 的⻆平分线上⼀点， 于点
，
垂直平分
则
故答案是：
例5
答案：C
解答：延⻓ 到 使得 ，延⻓ 到 使得 ，连接 与 ， 分别交于点
，
- 7 -， 关于 对称， ， 关于 对称
此时 的周⻓最小
，
，同理：
，
，
故选
例6
解答：（1）如图 ，作 关于直线 的对称点
连接 交 于点
则点 就是所要求作的点
理由：在 上取不同于 的点 ，连接 ， ， ，
和 关于直线 对称
，
而
即 周⻓小于 周⻓
-8 -（2）如图 ，作 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ， 于
则点 ， 就是所要求作的点
理由：在 ， 上取不同于 ， 的点 ， ，连接 ， ， ， ， ， ，
和 关于 对称， 和 关于 对称
， ， ，
，
（3）如图 ，作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ， 于
则点 ， 就是所要求作的点
理由：在 ， 上取不同于 ， 的点 ， ，连接 ， ， ， ， ， ，
，
和 关于 对称， 和 关于 对称
， ， ，
由（2）得知
例7
答案：D
解答：由题意可得： 垂直平分
- 9 -则
故
则
故选：
例8
答案：
解答：如图，过点 作 于
由题意可知： 是 的⻆平分线
，
故答案为： ．
例9
解答：点 为线段 的垂直平分线与 的平分线的交点，则点 到点 ， 的距离相等，到 ，
的距离也相等，作图如图
-10 -例10
答案：
解答：作 于
设 ⻓为
是 的⻆平分线， ，
，即
解得，
故答案为： ．
例11
解答：如图
延⻓ 交 的延⻓线于
，
- 11 -在 和 中
,
（ ）
∵ 是 的平分线， ，
∴ ， ，
在 和 中，
,
∴ ，
例12
解答：（1）
理由如下
为 的⻆平分线
在 与 中，
（ ）
，
⼜ ，
- 12 -故答案为：
（2）结论：还成⽴
理由：如图 ，在 上截取 ，连接
为 的⻆平分线时
在 与 中，
（ ）
，
- 13 -（3）猜想：
证明：如图 ，在 的延⻓线上截取 ，连接
平分
在 与 中，
（ ）
，
⼜
⼜
例13
答案：
解答： 中，
顶⻆与⼀个底⻆度数的⽐值等于
即
故答案为： ．
- 14 -例14
答案：
解答：如图，在线段 上取⼀点 ，使
，
，即
故答案为：
例15
答案：C
解答：①当 ⻆为顶⻆的外⻆时，顶⻆为
②当 为底⻆的外⻆时，底⻆为
顶⻆为
故选
- 15 -例16
答案：C
解答：当腰⻓为 时，则三边分别为 ， ，
因为 ，所以不能构成三⻆形
当腰⻓为 时，则三边⻓分别为 ， ， ，符合三⻆形三边关系
此时，其周⻓为：
故选：
例17
解答：（1） ，
， 都在 的垂直平分线上
垂直平分
（2） 是等边三⻆形，理由如下：
，
是等边三⻆形
（3） ，
例18
解答： 是等边三⻆形
，
线段 绕点 顺时针旋转 得到
，
即
- 16 -在 与 中
例19
答案：A
解答： 在 中， ，
的垂直平分线交 于
在 中
，
故选：
例20
答案：①②
解答： ， 为等边三⻆形
， ，
，即
- 17 -在 和 中
（ ）
⼜ 为等边三⻆形
同理可得
四边形 是平⾏四边形，选项②正确
，即
在 和 中
（ ），选项①正确
若 ， ，则有 ， ，此时 为菱形，选项③错
误
故答案为：①②．
例21
解答：【观察猜想】：结论： ，
理由：设 交 于点
， 都是等边三⻆形
， ，
- 18 -（ ）
，
即
故答案为： ，
【数学思考】：结论仍然成⽴
理由：设 交 于点
， 都是等边三⻆形
， ，
（ ）
，
即
【拓展应⽤】
设 交 于点
， 都是等腰直⻆三⻆形
， ，
- 19 -（ ）
，
四边形
故答案为：
- 20 -第 3 讲
四边形
例1
答案：A
解答： 四边形 是平⾏四边形， ，
，
故选
例2
答案：D
解答： ． 四边形 是平⾏四边形
，（故 成⽴）
． 四边形 是平⾏四边形
，
在 和 中
（ ）
，（故 成⽴）
．
- 21 -，（故 成⽴）
．
，（故 不成⽴）
故选：
例3
解答：（1） 四边形 是平⾏四边形
，即
四边形 是平⾏四边形
（2） 四边形 是平⾏四边形
四边形 是平⾏四边形
即
例4
解答： 四边形 是平⾏四边形
，
⼜
（ ）
，
由四边形 是平⾏四边形
⼜ ， 分别是 ， 的中点，且
- 22 -四边形 是平⾏四边形
例5
解答：如图，连接 ，设对⻆线交于点
四边形 是平⾏四边形
，
，
四边形 是平⾏四边形
例6
答案：B
解答：如图，连接
， ，
四边形 是矩形
当 最小时， 也最小
即当 时， 最小
，
- 23 -的最小值为
即线段 的最小值为
故选：
例7
解答：（1） 四边形 是菱形
，
，
四边形 是平⾏四边形
平⾏四边形 是矩形
（2） ， ，
（ ）
矩形 的⾯积 菱形 的⾯积
是等边三⻆形
， ， ，
矩形 的⾯积 菱形 的⾯积
例8
答案：
解答： 四边形 是矩形
，
⼜
- 24 -在 和 中
，得
阴影
，故
阴影
故答案为： ．
例9
答案：
解答：如图 ，当点 与点 重合时，根据翻折对称性可得
如图 ，当点 与点 重合时，根据翻折对称性可得
在 中， ，即
解得：
所以点 在 上可移动的最⼤距离为
故答案为： ．
例10
答案：
解答： 四边形 是菱形
， ，
菱形
- 25 -菱形
故答案为：
例11
答案：
解答：连接 ， ，设 交 于 ，连接 ，延⻓ ， 于
四边形 是菱形
， 互相垂直平分
点 关于 的对称点为
只有当点 运动到点 时，取等号（两点之间线段最短）
中， ，
，
菱形 的边⻓为 ， 为 的中点
，
，
在 中
的最小值为
故答案为： ．
- 26 -例12
解答：（1）如图 ，根据折叠的性质得
⼜
是等腰三⻆形
（2）① 四边形 是矩形
⼜
四边形 是平⾏四边形
四边形 是菱形
② ，
假设
在 中
，即
解得
即
- 27 -例13
解答：（1） ，
四边形 为平⾏四边形
，
四边形 的周⻓
故答案为：
（2）当 为 中点时，四边形 是菱形
理由如下
连结
，
- 28 -四边形 为平⾏四边形
， 为 中点
四边形 是菱形
（3） 运动到 的平分线上时，四边形 是菱形
，
四边形 是平⾏四边形
平分
四边形 是菱形
例14
解答：（1） 四边形 是菱形
， 是等边三⻆形
- 29 -，
是等边三⻆形
，
在 和 中
（ ）
（2）
在 和 中
（ ）
，
，
在 和 中
（ ）
- 30 -的周⻓为
菱形 的周⻓为
例15
答案：A
解答：连接 ，交直线 于点
四边形 是正⽅形
， 关于 对称
的⻓即为 的最短距离
故选： ．
例16
答案：A
解答：设 与 交于点 ，连接 ，
点 与 关于 对称
，此时 最小
即 是 与 的交点上时， 最小，为 的⻓度
-31 -正⽅形 的⾯积为
⼜ 是等边三⻆形
故所求最小值为
故选：
例17
解答：（1）证明： 四边形 是菱形
， ，
在 和 中，
（ ）
（2）证明：如图 所⽰：由（1）知
（对顶⻆相等）
即
（3） ，理由如下
-32 -四边形 是正⽅形
由（1）知：
由（2）知，
是等腰直⻆三⻆形
例18
答案：B
解答： 正⽅形 的⾯积 正⽅形 的⾯积
正⽅形 的边⻓
故选：
例19
解答： 四边形 是正⽅形
，
，
在 和 中
（ ）
，
- 33 -第 4 讲
因式分解
例1
答案：D
解答： ．是整式的乘法，故 错误
．等式不成⽴，故 错误
．没把⼀个多项式转化成⼏个整式乘积的形式，故 错误
．把⼀个多项式转化成⼏个整式乘积的形式，故 正确
故选：
例2
答案：B
解答：
故多项式 与 的公因式是：
故选：
例3
答案：
解答：
故答案为： ．
例4
答案：
解答：
- 34 -故答案为：
例5
解答：（1）
，
（2）
，
，
的三边⻓ ， ， 都是正整数，且
⼜ 是最⻓边
的值是 ， ， ， ，
（3）
，
，
- 35 -第 5 讲
分式
例1
答案：C
解答：② ；④ 中的分⺟中均不含有字⺟，因此它们是整式，而不是分式
① ；③ 中的分⺟中含有字⺟，且分⼦和分⺟都是整式，因此是分式
故选：
例2
答案：A
解答：由题意，得
且
解得 且
在数轴上表⽰如图
故选：
例3
答案：A
解答： ． ，⽆论 为何值 ，故此分式总有意义
． ，当 时分式有意义，则 时，分式⽆意义
． ， 可能为零，故分式有可能⽆意义
． ， ， 时，分式有意义
故选：
-36 -例4
答案：B
解答：
由题意可知：
解得：
故选：
例5
答案：D
解答：
故选：
例6
答案：A
解答：由题意可知：
故选：
例7
答案：③⑤
解答：①公因式是：
②公因式是：
③没有公因式
④公因式是：
⑤没有公因式
则没有公因式的是③⑤
故答案为：③⑤．
-37 -例8
答案：B
解答：
故选：
例9
解答：（1）最简公分⺟：
，
（2）最简公分⺟：
，
（3）最简公分⺟：
，
（4）最简公分⺟：
例10
解答：
原式
- 38 -例11
答案：A
解答：原式
故选：
例12
答案：C
解答：
原式
则丙正确
故选：
例13
解答：
当 时，原式
- 39 -例14
解答：
原式
原式
例15
解答：
原式
将 代⼊化简后的式⼦得：
- 40 -第 6 讲
分式⽅程
例1
解答：原⽅程变形为：
经检验 是原⽅程的解
所以原⽅程的解是
例2
解答：（1）
故答案为： ．
（2） 原分式⽅程的最简公分⺟为 ，而
解这个分式⽅程不会产⽣增根
（3）⽅程两边同乘 ，得
解得：
经检验：当 时，
所以，原分式⽅程⽆解
例3
解答：⽅程 两边同乘 ，得
即
当 时，整式⽅程 ⽆解，此时
当 ，即 时，原⽅程⽆解，此时
解得
综上，可知当 或 时，原⽅程⽆解
- 41 -当 成⽴时，
例4
解答：⽅程两边同时乘以
去分⺟并整理得
（1） 是分式⽅程的增根
解得：
（2） 原分式⽅程有增根
解得： 或
当 时，
当 时，
（3）当 时，该⽅程⽆解，此时
当 时，要使原⽅程⽆解，由(２)得： 或
综上， 的值为 或 或
例5
解答：设甲速度是每小时 千⽶，则⼄的速度是每小时 千⽶
由题意可知：
即
解得：
经检验， 是原分式⽅程的根，且符合题意
答：甲的速度是每小时 千⽶，⼄的速度是每小时 千⽶．
- 42 -例6
解答：（1）设第⼀次购买的图书的单价为 元 本，则第⼆次购买图书的单价为 元 本
根据题意得：
解得：
经检验， 是原分式⽅程的解，且符合题意
答：第⼀次购买的图书，每本进价为 元．
（2）第⼀次购进数量为 （本）
第⼆次购进数量为 （本）
设每本降价 元
根据题意得：
解得：
答：每本⾄多降价 元．
- 43 -
