文档内容
2.4 一元一次不等式
课堂知识梳理
1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫
做一元一次不等式.
2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以
一个负数时,不等号要改变方向.
3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化
为1(不等号的改变问题)
4. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、
“不大于”、“不小于”等含义;
②设: 设出适当的未知数;
③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1
1．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在x>0， <−1，2x<−2+x，
x
x+ y≥−3，x+1=0，x2>3，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：是一元一次不等式的有：x>0，2x<−2+x共有2个．
故选：B．
2．（2022春·海南海口·七年级琼山中学校考阶段练习）不等式x+2≥3的解集在数轴上表
示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
1【详解】解：∵x+2≥3，
∴x≥1，
不等式x+2≥3的解集在数轴上表示为：
，
故选：C
3．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个
不等式可以是（ ）
A．x−2<0 B．x−2>0 C．x+2<0 D．x+2>0
【答案】A
【详解】解：A、x<2，故A符合题意；
B、x>2，故B不符合题意；
C、x<−2，故C不符合题意；
D、x>−2，故D不符合题意；
故选：A．
4．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，
如果商店要以不低于5%的利润销售，最低可打（ ）折出售．
A．7折 B．7.5折 C．8折 D．8.5折
【答案】C
【详解】解：设最低可打x折，则
3150×0.1x−2400≥2400×5%
∴x≥8，
∴最低打八折，
故选：C．
x−1 3x+2
5．下列解不等式 − ≤1的过程中，出现错误的是（ ）
3 4
A．去分母，得4(x−1)−3(3x+2)≤12 B．去括号，得4x−4−9x−6≤12
22
C．移项，合并同类项，得−5x≤22 D．系数化为1，得x≤−
5
【答案】D
x−1 3x+2
【详解】解： − ≤1，
3 4
两边同乘以12去分母，得4(x−1)−3(3x+2)≤12，
去括号，得4x−4−9x−6≤12，
2移项，合并同类项，得−5x≤22，
22
系数化为1，得x≥− ，
5
由此可知，出现错误的是选项D，
故选：D．
6．某苏州特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，
若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式
（ ）
1
A．150x−100≥100×5% B．150× x−100≤100×5%
10
1 1
C．150× x−100≥100×5% D．150× x−100>100×5%
10 10
【答案】C
【详解】解：∵进价为每盒100元，标价为150元，要保证利润率不少于5%，
1
∴150× x−100≥100×5%
10
故选C．
7．已知关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．-7E>C>A,B>D>A，
∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B．
5故答案为：B．
15．已知(b+1)x|b+1|<−3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不
等式．
【答案】b=0或b=−2，当b=0时，不等式的解集为x<−3；当b=−2时，不等式的解集
为x>3．
【详解】解：∵(b+1)x|b+1|<−3是关于x的一元一次不等式，
∴b+1≠0且|b+1|=1，
解得b=0或b=−2，
当b=0时，不等式为x<−3，解集为x<−3．
当b=−2时，不等式为−x<−3，解得x>3．
16．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）求满足3(x+1)>5x+7的最大整数解．
【答案】−3
【详解】解：3(x+1)>5x+7，
3x+3>5x+7，
3x−5x>7−3
−2x>4，
x<−2，
所以不等式的最大整数解是−3．
17．（2023春·浙江·八年级开学考试）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
(1)9x−2≤7x+3
x−1 x−3
(2) ≥ +1
3 2
5
【答案】(1)x≤ ，详见解析；(2)x≤1，详见解析
2
【详解】（1）解：9x−2≤7x+3，
移项，得9x−7x≤3+2，
合并同类项，得2x≤5，
5
两边都除以2，得x≤ ；
2
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
6；
x−1 x−3
（2） ≥ +1，
3 2
去分母，得2(x−1)≥3(x−3)+6，
去括号，得2x−2≥3x−9+6，
移项，合并同类项得−x≥−1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示解集如图：
．
18.有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元．若购买3
台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元．
(1)求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？
(2)采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元，请问A型号呼吸
机最多购买几台？
【答案】(1)A型呼吸机每台1.6万元，B型呼吸机每台1.2万元
(2)A型呼吸机最多可以购买9台
【详解】（1）解：设A型呼吸机每台x万元，B型呼吸机每台y万元，
¿，解方程组得，¿，
∴A型呼吸机每台1.6万元，B型呼吸机每台1.2万元．
（2）解：设A型呼吸机购买了a台，则B型呼吸机购买了(30−a)台，
∴1.6a+1.2(30−a)<40，解不等式得，a<10，
∴A型呼吸机最多可以购买9台．
培优第二阶——拓展培优练
19．平面直角坐标系内，点P（2m+1，m-3）不可能在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【详解】解：假设点P在第一象限，则¿
解得：m>3；
7故点P（2m+1，m-3）可能在第一象限；
假设点P在第二象限，则¿
该不等式无解，
故点P（2m+1，m-3）不可能在第二象限；
假设点P在第三象限，则¿
1
解得：m<− ，
2
故点P（2m+1，m-3）可能在第三象限；
假设点P在第四象限，则¿
1
解得：− 1− ，
6 3
去分母，得x>6−2x+4，
故步骤甲错误．
移项、合并同类项，得
x+2x>6+4
故步骤乙错误．
合并同类项，得3x>10．
10
化系数为1，得x> ．
3
故选：B．
21．（2023春·湖南常德·八年级校考期末）关于x、y的二元一次方程组¿的解满足不等式x
＋y＞0，a的取值范围是（ ）
A．a＜－1 B．a＜1 C．a＞－1 D．a＞1
8【答案】C
【详解】解：¿，
①+②得：4x+4 y=2+2a，等号两边同除以4得：
1 1
x+ y= + a，
2 2
∵x+ y>0，
1 1
∴ + a>0，
2 2
解得：a>−1，
故选：C．
1+x 1+2x
22．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）我们知道不等式 ＜ +1的解集是
2 3
1+(3x−1) 1+2(3x−1)
x＞−5，则不等式 ＜ +1的解集是（ ）
2 3
4 4
A．x＞− B．x＜− C．x＞−2 D．x＜−2
3 3
【答案】A
1+x 1+2x
【详解】解：∵不等式 ＜ +1的解集是x＞−5，
2 3
1+(3x−1) 1+2(3x−1)
∴不等式 ＜ +1中3x−1＞−5，
2 3
4
解得：x＞− ，故A正确．
3
故选：A．
23．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，
可又不想静静地等在A站，他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，
发现他与公交车的距离为720m（如图）．此时有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交
站之间的距离最大为（ ）
A．240m B．300m C．320m D．360m
【答案】B
【详解】解：设看手机时小明到A站的距离为xm，到B站的距离为ym．
9720−x
到A公交站：x≤ ，
5
解得：x≤120；
720+ y
到B公交站：y≤ ，
5
解得：y≤180．
∴x+ y≤120+180=300，
即A，B两公交站之间的距离最大为300m．
故选：B．
24．某车工计划在15天内至少加工零件408个，前3天每天加工零件24个．该车工若在
规定的时间内完成任务，此后平均每天需要加工零件（ ）
A．最少28个 B．最少29个 C．最多28个 D．最多29个
【答案】A
【详解】解：设此后平均每天加工x个零件，
依题意得：3×24＋（15-3）x≥408，
解得：x≥28，
∴x的最小值为28，
∴该车工若在规定的时间内完成任务，此后平均每天需要加工零件最少28个，
故选：A．
25．定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b=a(a−b)+1，如：
2⊕5=2(2−5)+1=−5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：根据题意，原不等式转化为：4(4−x)+1≥2，
去括号，得：16−4x+1≥2，
移项、合并同类项，得：−4x≥−15，
15
系数化为1，得：x≤ ，
4
正整数解有3个，为1，2，3．
故选：C．
x 2x−7a a
26．已知关于x的不等式 <7的解也是不等式 > −1的解，则常数a的取值范围
a 5 2
是_____．
10
【答案】− ≤a<0
9
2x−7a a
【详解】解：关于x的不等式 > −1，
5 2
1019 5
解得：x> a− ，
4 2
x 2x−7a a
∵关于x的不等式 <7的解也是不等式 > −1的解，
a 5 2
∴ a＜0，
x
∴不等式 <7的解集是x>7a，
a
19 5 10
∴ 7a≥ a− ，解得：a≥− ，
4 2 9
∵a＜0，
10
∴− ≤a<0，
9
10
故答案为：− ≤a<0．
9
27．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）小聪去商店买笔记本和
钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元．若笔记本和钢笔都购买，且
笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有___________种．
【答案】4
【详解】解：设笔记本的数量为x个，钢笔的数量为y个．
由题意得：¿，
60−2x 60−2x
∴y= >0，x> ，
5 5
60
解得： 3时选择方案二才能获得最大优惠
【详解】（1）商品A每件的出售价格为110×0.7=77（元），商品B每件的出售价格为
a
160× =16a（元）， 根据题意得：5×77+4×16a=961
10
解得a=9
所以a的值为9．
15（2）若某单位购买A商品x件，则购买B商品(2x+1)件，
当x+(2x+1)≤10，即x≤3时，只能选择方案一得最大优惠
当x+(2x+1)>10，即x>3时，
方案一中商品B每件的出售价格为16×9=144（元），总费用为
77x+144(2x+1)=365x+144；
方案二的总费用为110×0.8x+160×0.8(2x+1)=344x+128，
∵365x+144>344x+128
∴当x>3时选择方案二才能获得最大优惠，
综合上述，当x≤3时，选择方案一才能获得最大优惠，当x>3时选择方案二才能获得最大
优惠．
35．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）疫情期间某药店购进一批N95口罩，其中10
只/包与20只/包的口罩共有500包，已知10只/包的N95口罩进价为30元/包，20只/包的
N95口罩进价为55元/包．
(1)若购进这两种规格的N95口罩共花了2万元，请分别求出购进10只/包与20只/包口罩的
包数．
(2)该药店计划将10只/包的口罩销售价定为45元/包，20只/包的口罩销售价定为85元/包，
若购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，求购进的20只/包
的口罩至少多少包?
【答案】(1)购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只
(2)购进的20只/包的口罩至少100包
【详解】（1）解：设购进10只/包N95口罩x只，则购进20只/包N95口罩(500−x)只，则
30x+55(500−x)=20000，即25x=7500，解得x=300，
∴购进20只/包N95口罩500−x=200只，
答：购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只；
（2）解：设购进20只/包N95口罩m只，则购进10只/包N95口罩(500−m)只，则
(45−30)(500−m)+(85−55)m≥9000，即15m≥1500，解得m≥100，
答：购进的20只/包的口罩至少100包．
36．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段
函数，函数y=¿就是分段函数，我们把这个分段函数图像记为图象G．
16(1)当m=0时，在平面直角坐标系中，画出图象G；
(2)当m=0时，结合图像G，回答下面问题：
①当函数值y=−4时，求自变量x的值；
②若M(b−1,y )和N(b,y )在图象G，且y 0时，函数图像经过(0,0)与(1,−1)，当x<0时，函数图像经过(0,0)与(−1,−1)，
画出函数图象，如图所示：
（2）解：①当x>0时，−x=−4，解得x=4，
当x<0时，x=−4，
综上可知，函数值y=−4时，自变量x的值为4或−4；
②∵b−1m，
∴y=−x+m，
∵−4≤x≤2，
∴−2+m≤ y≤4+m，
∵m−4≤ y<0，
∴−2+m≥m−4，4+m<0，
∵−2+m≥m−4恒成立，4+m<0的解集为：m<−4，
∴m<−4；
当m≥2时，x≤m，
∴y=x+m，
∴当−4≤x≤2时，−4+m≤ y≤2+m，
∵m−4≤ y<0，
∴2+m<0，
解得：m<−2，
∴没有符合条件的m值存在；
当−4≤m<2时，y=¿，
当m− m，
2
4
解得：m> ，
3
4
∴ 0 B．y−2<0 C．y−2≥0 D．y−2≤0
【答案】D
【详解】解：由题意，用不等式表示为y−2≤0，
故选：D．
38．（2022·辽宁大连·统考中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
【答案】D
【详解】解：4x<3x+2，
移项，合并同类项得：x<2,
故选D
1 1
39．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： (x−3)< −2x ．
2 3
11
【答案】x<
15
1 1
【详解】解： (x−3)< −2x
2 3
去分母，得3(x−3)<2−12x，
去括号，得3x−9<2−12x，
移项、合并同类项，得15x<11．
11
化系数为1，得x< ．
15
40．（2022·山东聊城·统考中考真题）关于x，y的方程组¿的解中x与y的和不小于5，则k
的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
【答案】A
【详解】解：把两个方程相减，可得x+ y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
20所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
41．（2022·四川雅安·统考中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
1 3
42．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式 x−1≤7− x的解集在数轴上表示为（ ）
2 2
A． B．
C． D．
【答案】C
1 3
【详解】∵不等式 x−1≤7− x的解集为x≤4，
2 2
∴数轴表示为：
，
故选C．
43．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋
3
b＞0的不等式的解集为________．
2
21【答案】x>−3
【详解】解：∵根据图像可知y＝kx＋b与x轴交于点(2,0)，且k>0，
∴2k+b=0，
解得b=−2k，
3
∴kx+ b>0，
2
3b
∴x>− ，
2k
−3(2k)
即x> ，
2k
解得x>−3，
故答案为：x>−3．
44．（2022·北京·统考中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的
包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案
________（写出要装运包裹的编号）；
（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满
足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．
【答案】 ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD） ACE
【详解】解：（1）根据题意，
22选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2=10（吨），总重6+5+5=16<19.5
（吨），符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19<19.5
（吨），符合要求；
选择AD时，装运的I号产品重量为：5+4=9（吨），总重6+7=13<19.5（吨），符合
要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4=11（吨），总重6+5+7=18<19.5
（吨），符合要求；
选择BCD时，装运的I号产品重量为：3+2+4=9（吨），总重5+5+7=17<19.5（吨），
符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3=9（吨），总重7+5+8=20>19.5（吨），
不符合要求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3=10（吨），总重5+7+8=20>19.5
（吨），不符合要求；
选择ACE时，装运的I号产品重量为：5+2+3=10 （吨），总重6+5+8=19<19.5
（吨），符合要求；
综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．
故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．
（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：1+2+3=6（吨）；
选择ABE时，装运的II号产品重量为：1+2+5=8（吨）；
选择AD时，装运的II号产品重量为：1+3=4（吨）；
选择ACD时，装运的II号产品重量为：1+3+3=7（吨）；
选择BCD时，装运的II号产品重量为：2+3+3=8（吨）；
选择ACE时，装运的II号产品重量为：1+3+5=9 （吨）.
故答案为：ACE．
45．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中
A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，
A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这
个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品
至少要生产多少件？
【答案】(1)这个月生产A产品30件，B产品70件；(2)140件
【详解】（1）解：设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得¿
解得¿，
∴这个月生产A产品30件，B产品70件，
23答：这个月生产A产品30件，B产品70件；
（2）解：设B产品生产m件，则A产品生产(180−m)件，
根据题意，得(100−75)m+(120−100)(180−m)≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
∴B产品至少生产140件，
答：B产品至少生产140件．
46．（2022·广西梧州·统考中考真题）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期
短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无
损耗的情况下可以加工成1kg的龙眼干．
(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不
低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的
利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价
格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/
kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工
成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的
函数关系式．
【答案】(1)龙眼干的售价应不低于36元/kg
(2)w=¿
【详解】
(1)
解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a
（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg．
(2)
1 47
解：a千克的新鲜龙眼一共可以加工成 ×(1−6%)a= a千克龙眼干，设龙眼干的售
3 150
47
价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为 ay元，
150
当a≤100千克时，新鲜龙眼的总收益为12a元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
47 12×150 1800
∴ ay≥12a，解出y≥ = ≈38.3元，
150 47 47
24又龙眼干的定价取最低整数价格，
∴y=39，
47 611
∴龙眼干的销售总收益为 a×39= a，
150 50
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
611 11a
w= a−12a= 元；
50 50
当a>100千克时，新鲜龙眼的总收益为12×100+5(a−100)=(5a+700)元，
611
龙眼干的总销售收益为 a元，
50
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
611 361a
w= a−(5a+700)=( −700)元，
50 50
故w与a的函数关系式为w=¿．
25
