文档内容
第 13 讲 拓展六：泰勒展开式与超越不等
式在导数中的应用(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：利用超越不等式比较大小
高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式
高频考点三：利用指数型超越放缩证明不等式
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在 处具有 阶导数的函数利用关于 的 次多项式来逼近函数的方法.
若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对
闭区间 上任意一点 ，成立下式：
其中： 表示 在 处的 阶导数，等号后的多项式称为函数 在 处的泰勒展开式，
剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取 的特殊结果，由于麦克劳林公式使用
方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1对数型超越放缩： （ ）
上式（1）中等号右边只取第一项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
对于结论②左右两边同乘“ ”得 ，用 替换“ ”得：
（ ） 结论③
4.2指数型超越放缩： （ ）
上式（2）中等号右边只取前2项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
当 时，对于上式结论② 结论③当 时，对于上式结论② 结论④
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用超越不等式比较大小
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽·毛坦厂中学高三阶段练习（理））设 ， ， ，（其中自然对数的底
数 ）则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南洛阳·高二期末（文））下列结论中正确的个数为（ ）
① ， ；② ；③ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·浙江·模拟预测）已知数列 满足 ，给出以下结论，正确的个数是
（ ）
① ；② ；③存在无穷多个 ,使 ；④
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知 成等比数列，且 ，
若 ，则
A． B．
C． D．
高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－ .
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝ ，对 x (0，＋∞)， x (－∞，0)使得f(x)≤g(x)成立，求正实数k的取值范围；
1 2 1 2
∀ ∃(3)证明： ＋ ＋…＋ (n∈N*，n≥2).
2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： .
3．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知函数 .
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)证明： .
4．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数 .
(1)若 恒成立，求实数k的取值范围；
(2)证明： ( ， ).5．（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知函数 ，其中 且 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ；
(3)求证：对任意的 且 ，都有： … ．（其中 为自然
对数的底数）
6．（2022·内蒙古·元宝山平煤高中高二阶段练习（理））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明： .
7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ；
(3)若 且 ，证明： .高频考点三：利用指数型超越放缩证明不等式
1．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)当 时，证明： .
2．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知函数 ， ．
(1)若 恒成立，求实数a的值；
(2)若 ，求证： ．
3．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）已知函数 ， ，
(1)当 ， 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 且 恒成立，求 的取值范围：
(3)当 时，记 ， （其中 ）为 在 上的两个零点，证明： .4．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)试比较 与 的大小．
(2)证明： ， ．
