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专题 26.1 反比例函数中 k 的几何意义
◆ 典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的一条边AB⊥x轴于点B，经过点A的反比例函
k
数y= （k>0，x>0）的图象交BC于点D，连结OA，OC，若点D是BC中点，△OAC的面积为3，则
x
k的值为 ．
【思路点拨】
利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用△OAC的面积，求出点A的坐标的积，从而
求出答案．
【解题过程】
解：如下图，过C作CH⊥AB、CF⊥x轴，作DE⊥x轴，
设点A(a,b)，
∴OB=a，AB=b，
∵△ABC为等边三角形且CH⊥AB，1 ❑√3
∴BH= b，CH= b，
2 2
1
∴矩形BFCH中，CF= b，
2
∵D是BC中点，
∴DE=14b，
∵∠CBF=30°，
1 ❑√3
∴BE=❑√3⋅ b= b，
4 4
❑√3
∴OE=a+ b，
4
∴ ( ❑√3 ) 1 ，
ab= a+ b ⋅ b
4 4
∴b=4❑√3a，
∵S =S +S −S =3，
△OAC △OAB 梯形ABFC △OCF
∴1 1( 1 ) ❑√3 1( ❑√3 ) 1 ，
ab+ b+ b ⋅ b− a+ b ⋅ b=3
2 2 2 2 2 2 2
1 ❑√3
∴ ab+ b2=3，
4 4
1
∴ ab+3ab=3，
4
12
∴ab= ，
13
12
∴k= ，
13
12
故答案为： ．
13
◆ 学霸必刷
k
1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 y= 图象上任意两点，且BD⊥x轴
x
于点D，AC⊥y轴于点C，△OAC和 △OBD面积之和为6，则k的值为（ ）A．−6 B．−12 C．6 D．12
k
2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，A，B两点在反比例函数y= 1的图象上，C，D两点在反比
x
k
例函数y＝ 2的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=4，BD=6，EF=10，则k −k 等
x 2 1
于（ ）
14
A．4 B． C．24 D．12
3
4 3
3．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例y= (x>0)与y=− (x≥0)的图像如图所示，B为x轴正半轴上一
x x
4 3
动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数y= (x>0)与y=− (x≥0)的图像于点A，C，点D，E
x x
（点E在点D的上方）在y轴上，且DE=AC，则四边形ACDE的面积为（ ）
A．6.5 B．7 C．7.5 D．84．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0)，A(0,4)，B(3,0)为顶
k
点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y= 的图象上，
x
则k的值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
8 k
5．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图， ▱ABCO的顶点B在双曲线y= 上，顶点C在双曲线y=
x x
上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S =10，则k的值为（ ）
▱OABC
A．−8 B．−6 C．4 D．−2
6．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）矩形OABC中，OA=1，OC=2，以O为原点，分别以OA，
k
OC所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线y= (k<2)的图象分别交AB，CB于点
x
E，F，连接OE，OF，EF，S =2S ，则k=（ ）
△OEF △BEF
2 4
A． B．1 C． D．❑√2
3 3k
7．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数y= (k>0)与长方形OABC在第一象限相交
x
于D、E两点，OA=4，OC=8，连接OD，OE，DE，记△OAD、△OCE的面积分别为S 、S ．若
1 2
S +S =8，则△ODE的面积为（ ）
1 2
A．12 B．15 C．8❑√3 D．30
8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分
别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到
右依次记为S ，S ，S ，其中OA:AB:BC=1:2:3，若S =6，则S +S =（ ）
1 2 3 2 1 3
A．15 B．12 C．10 D．18
9．（2024·山东枣庄·二模）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A
k k
和第二象限的点C分别在双曲线 y= 1和 y= 2的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分
x x
别为点 M 和点 N ，给出如下四个结论： ① AM = |k 1 ) ； ② 阴影部分的面积是 1 (|k )+|k )) ； ③ 当
CN k 2 1 2
2
时， ； 若 是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ）
∠AOC=90° |k |=)k ) ④ OABC k +k =0
1 2 1 2A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④
10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接OA，
k 4
y= (x>0)的图象经过OA的中点B，过点B作BC ∥ x轴交函数y= 的图象于点C，过点C作CE ∥
x x
k
y轴交函数y= 的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①
x
3 3
k=1；②S = ；③S = S ；④若BD=AO，则∠AOC=2∠COE．其中正确的是
ΔBOC 2 ΔCDF 16 ΔAOC
（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
k
11．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点A在反比例函数y= (x>0)上，AB垂直x轴于B，C是x
x
AD 1
轴负半轴上一个动点，D是斜边AC上一点， = ，若△BCE的面积为9，则k= ．
AC 5
12．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴k
的正半轴上，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，
x
连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为 ．
13．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，点 、 在双曲线
xOy A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2
3 9
y= 上，且00)的图象经过点C，则k的值为 ．
x
k
15．（2024·山东日照·模拟预测）如图，点A、B是反比例函数y= (k≠0)图象上的两点，延长线段AB
x
交y轴于点C，且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且
OE0)和y = 2 (x>0)的
1 x 2 x图象上，线段AB与x轴相交于点P．
（1）如图①，若AB⊥x轴，且|AP|=2|PB|，k +k =1．求k 、k 的值；
1 2 1 2
（2）如图②，若点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2．求k −k 的值．
1 2
