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专题 22.13 二次函数与一元二次方程（专项练习）（培优练）
【考点目录】
【考点1】抛物线与坐标轴交点坐标；
【考点2】从二次函数函数值求自变量取值范围；
【考点3】图象法解一元二次不等式；
【考点4】由不等式求自变量或函数取值范围；
【考点5】从抛物线与坐标轴交点确定不等式的解集；
【考点6】从抛物线位置确定一元二次方程根的情况；
【考点7】抛物线与x轴交点与截线长问题；
【考点8】抛物线与一元二次方程综合问题；
一、单选题
【考点1】抛物线与坐标轴交点坐标；
1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，
点 ，与 的正半轴交于点 且 ， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，图象上的
一点 使 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【考点2】从二次函数函数值求自变量取值范围；
3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数 （ ），当 和 时，函数值相等，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【考点3】图象法解一元二次不等式；
5．（21-22九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：
1 1.1 1.2 1.3
﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程 必有一个根满足（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． 且 D． 或
【考点4】由不等式求自变量或函数取值范围；
7．（23-24九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数 ，其中 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．1
8．（23-24九年级下·陕西咸阳·阶段练习）将抛物线 沿x轴向右平移m（ ）个单位
得到一条新抛物线，若点 ， 在新抛物线上，且 ，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点5】从抛物线与坐标轴交点确定不等式的解集；
9．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线 与直线 交于两点，则关于 的不等式 的解集是( )
A． 或 B． 或
C． D．
10．（2023九年级上·浙江·专题练习）无论 为何值，直线 与抛物线 总有
公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【考点6】从抛物线位置确定一元二次方程根的情况；
11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，顶点坐
标为 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二次函数图象与 轴有两个交点且两交点距离为5
C．当 时，
D．直线 与二次函数图象有两个交点
12．（2024·广西南宁·模拟预测）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：（1）；② ；③ ；④不等式 的解集为 ．其中正确的结论个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点7】抛物线与x轴交点与截线长问题；
13．（23-24八年级下·重庆·期末）若关于 的二次函数 的图象与 轴有两个公
共点，则满足条件的 的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．
14．（2023·广东梅州·一模）已知抛物线 与一次函数 交于 两点，则线段 的长
度为（ ）
A． B． C． D．20
【考点8】抛物线与一元二次方程综合问题.
15．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的
对称轴是直线 ，图象与 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程 一
定有一个根在 和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，
正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（2024·上海·三模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则
称二次函数为一次函数的轴点函数．函数 （c为常数， ）的图象与x轴交于点M，其轴点
函数 与x轴的另一交点为 ．若 ，则 的值为（ ）
A． B．5或 C． D． 或3
二、填空题
【考点1】抛物线与坐标轴交点坐标；
17．（23-24九年级上·山东泰安·期中）抛物线 与x轴的一个交点为 ，抛物线与x轴
的另一个交点为 ．
18．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线 的部分特征如图所示，则关于 的方程
的解是 ．
【考点2】从二次函数函数值求自变量取值范围；
19．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴
交于点 ，过点 作平行于 轴的直线，交抛物线于点 ，连结 ，若点 关于直线 的对称点
恰好落在线段 上，则 ．
20．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴只有一
个交点 ，与平行于 轴的直线 交于 、 两点，若 ，则点 到直线 的距离为 ．【考点3】图象法解一元二次不等式；
21．（23-24九年级下·湖南岳阳·阶段练习）若关于x的方程 恰有三个根，则t的值为
．
22．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数 的部分图像，由图像可知不等式
的解是 ．
【考点4】由不等式求自变量或函数取值范围；
23．（2024·安徽合肥·三模）二次函数 的对称轴为直线 ，点 ，
都在函数 图象上．
（1） ；
（2）若 ，则 的取值范围为 ．
24．（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）已知二次函数 ，当 时，函数值 的取
值范围是 ．
【考点5】从抛物线与坐标轴交点确定不等式的解集；
25．（2024·上海·模拟预测）已知 ，若抛物线 与线段 没有交点，则m
取值范围为 ．
26．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）抛物线 经过 两点，则关于x的不等式 的解集为 ．
【考点6】从抛物线位置确定一元二次方程根的情况；
27．（2024·四川德阳·三模）如图，将抛物线 在 轴下方部分沿 轴翻折，其余部分保持不
变，得到图像 当直线 与图像 恰有两个公共点时， 的取值范围是 ．
28．（2024·山东临沂·一模）如图，已知抛物线 和线段 ，点 和点 的坐标分别为
，将抛物线向上平移 个单位长度后与线段 仅有一个交点，则 的取值范围是
．
【考点7】抛物线与x轴交点与截线长问题；
29．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线 的顶点为点 ，与 轴分别交于点 ，
（点 在点 左侧），抛物线 与抛物线 关于 轴对称，顶点为点 ，若四边形 为正方形，
则 的值为 ．
30．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为
C，连接 ，若 ，则a的值是 ．【考点8】抛物线与一元二次方程综合问题.
31．（2023·上海·模拟预测）关于 的二次函数 的结论
①对于任意实数 ，都有 对应的函数值与 对应的函数值相等．
②若图象过点 ，点 ，点 ，则当 时， ．
③若 ，对应的 的整数值有4个，则 或 ．
④当 且 时， ，则 ．
其中错误的序号为 ．
32．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称
为“相反点”，例如点 ， ．．．．，都是“相反点”，若二次函数
的图象上有且只有一个“相反点” ，当 时，二次函数 的最小值为
，最大值为 ，则 的取值范围为参考答案：
1．B
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴交点坐标与函数解析式的关系，由于二次函数
的图象与 轴的正半轴交于点 ，点 ，与 的正半轴交于点 且
， ，由此得到 ，，接着把点 ，点 代入解析式即可得到方程组，
解方程组即可求解，根据交点坐标满足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，点 ，与
的正半轴交于点 且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 代入第一个方程得： ，
故选： ．
2．A
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定
和性质，表示出 的坐标是解题的关键．过点 作 轴于点 ，构造等腰直角 ，设
，根据等腰直角三角形的性质表示出点 的坐标，代入抛物线解析式得到关于 的方
程，解方程即可求解．
【详解】解：二次函数 中，令 ，则 ，
解得 ， ，
， ，
过点 作 轴于点 ，，
，
是等腰直角三角形，
，
设 ，
，
点 在二次函数 的图象上，
，
解得 ， （舍去），
，
故选： ．
3．C
【分析】先求出当 时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当 时，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴图象开口向上，
∵ ，
∴ 或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法
是关键．
4．A【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题．
【详解】设当 时 ，
∵当 和 时，函数值相等，
∴当 时， 的两个根为 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程
根与系数的关系．
5．B
【分析】利用表中数据得到 时， ， 时，
，则可以判断方程 时，有一个解 满足 ．
【详解】解：由表格中数据可得，
当 时， ，
当 时， ，
∴方程 必有一个根满足 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图像与性质是解题
的关键．
6．A
【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的
另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴不等式 的解集是 ．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据二次函数的增减性即可求解，
熟练掌握二次函数的图象及性质和数形结合是解题的关键．【详解】解：由 ，
当 时， 随 的增大而减小，
∴在 时，当 时， 有最大值，
最大值为： ，
故选： ．
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性
质得到关于m的不等式是解题的关键．根据平移规律得到新抛物线为 ，即可得到
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，由点 ， 在新抛物线上，且 ，即
可得到关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵ ，
∴将抛物线 向右平移m（ ）个单位得到一条新抛物线为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵点 ， 在新抛物线上，且 ，
∴ ，
∴ ，故选：D．
9．D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，画出 图象，根据图象，写出抛物线在直
线上方部分的 的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 ，
图象如图所示，直线 ： ，则
∴当 时， ，
∴关于 的不等式 的解集为 ，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合，将交点问题转化为不等式问题
是求解本题的关键．由直线 过定点 ，抛物线 的对称轴为直线
，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵ ，
∴直线 过定点 ，
而抛物线 的对称轴为直线 ，
如图，当 时，而直线 与抛物线 总有公共点，
∴ ，
解得： ，
∴此时 ；
当 时，如图，
而直线 与抛物线 总有公共点，
∴ ，
解得： ；
综上： 或 ．
故选：C．
11．D
【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与 轴交点坐标，据
此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，∴二次函数解析式为 ，即 ，故A错误；
∵二次函数图象的对称轴为直线 ，图象与 轴交于点 ，
∴图象与 轴交于另一点 ，
∴二次函数图象与 轴有两个交点且两交点距离为 ，故B错误；
将 代入 ，得
∴
当 时， ；当 时， ，
∵图象开口向上，顶点坐标为 ，
∴函数有最小值 ，
∴当 时， ，故C错误；
令 ，整理得 ，
∴ ，
∴直线 与二次函数图象有两个交点，故D正确；
故选：D．
12．C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；
根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据函数图象经过 即可判断③；将不等式
变形为： ，令 ，根据直线 与抛物线 的
图象交于点 和 ，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解： 抛物线的开口向上，，则①正确；
抛物线与x轴没有交点，
，则②错误；
∵函数图象经过 ，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
不等式 变形为： ，
令 ，如图，
由图象得：直线 与抛物线 的图象交于点 和 ，
不等式 的解集为 ，故④正确，
则正确的个数有3个，
故选C．
13．C
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及二次函数的性质，解题的关键是：利用
根的判别式 以及二次项系数非零求出m的取值范围．
抛物线与x轴有两个交点，可得出关于x的方程 有两个不相等的实数根，
利用根的判别式 结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出
m的取值范围；
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴有两个公共点，
∴关于 的方程 有两个不相等的实数根，∴ ，
解得： 且 ．
故选：C．
14．A
【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到 ，利用根与系数的关系，再运用两
点距离公式变形求出长度即可得到答案．
【详解】解： 抛物线 与一次函数 交于 两点，
联立 ，消元得 ，
，
故选：A
【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系
数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两
点之间距离公式是解决问题的关键．
15．B【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象
与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关
系是解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，故①正确；
∵抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在 、0之间，
∴方程 一定有一个根在 和0之间，故②错误；
∵抛物线 与直线 有两个交点，
∴方程 一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在 ，0之间，
∴ ，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
16．D
【分析】本题主要考查了二次函数与 轴交点问题、一次函数与 轴交点问题，读懂轴点函数的定
义是解题的关键．根据题意，用 表示出点 、 的坐标，代入 ，解出即可得到答
案．
【详解】解： 函数 （ 为常数， ）的图象与 轴交于点其轴点函数 与 轴的两个交点为 、
或
解得： 或
故选：D．
17．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的
对称轴是解题的关键；
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线
与x轴的另一交点坐标，此题得解．
【详解】 抛物线 与x轴的一个交点为 ，
抛物线的对称轴为 ，
抛物线与x轴的另一交点坐标为 即 ；
故答案为： ．
18． ．
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与 轴交点的坐
标，根据抛物线对称性质得到当 时所对应的 的值，解题时，注意二次函数 与
方程 之间的联系【详解】解：根据图象可知，抛物线与 的交点是 ，对称轴为 ，
根据对称性，当 时， ，
∴方程 的解是 ．
故答案为： ．
19．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，平行线的性质，轴对称的性质，等角对等边，
待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，令 代入 得 ， ，则
， ，过 作 轴， 为垂足，则 ，而 轴，则 ，又
点 关于直线 的对称点恰好落在线段 上，则 ，即 ，故
，即可求得 ，把 点的坐标代入 ，即可求解，用勾股定理求
出 的长度是解题的关键．
【详解】解：令 代入 得， ， ，
∴ ，
∴ ，
过 作 轴， 为垂足，则 ，
∵ 轴，
∴ ，又点 关于直线 的对称点恰好落在线段 上，
∴ ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
把 代入 得， ，
解得 ，
故答案为： ．
20． / /
【分析】本题考查了二次函数的对称性．由题意知 ，对称轴为直线 ， ， 两点的纵
坐标相同，设为 ，有 ，点A的横坐标是 ，点 的横坐标是 ，由 ，
可知 ，计算求解即可．
【详解】解： 与 轴只有一个交点 ，
，对称轴为直线 ，
抛物线与平行于 轴的直线 交于 ， 两点，
， 两点的纵坐标相同，设为 ，
则 时， ，
解得： ，
点A的横坐标是 ，点 的横坐标是 ，
，
，解得： ；
故答案为： ．
21． 或
【分析】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．
作函数 的图象，从而利用数形结合解得．
【详解】 的根的个数即函数 与 的图象的交点个数，
由题意作函数 的图象如图：
结合图象可知，
当 过点 或与 相切时，两函数图象有三个交点，
将 代入 得
联立 和 得： ，
则 ，
解得：
或
故答案为： 或 ．22．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数
的对称轴是直线 ，抛物线与 轴的一个交点为 ，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线
与 轴的另一个交点，再根据抛物线在 轴上方的图象对应的 的范围解答即可，正确读懂图象信
息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
当 时， ，
故答案为： ．
23． 1 或
【分析】本题考查了二次函数图象的性质及点的坐标特征，二次函数与不等式．
（1）根据对称轴 ，即可求出a的值；
（2）根据 ，列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：（1） 二次函数 的对称轴为直线 ，
，
，
故答案为：1；
（2） 点 ， 都在二次函数 的图象上，
，
，即
，
或 ．
故答案为： 或 ．
24．
【分析】根据二次函数的性质可得函数图像开口方向向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
根据 的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置 值最小即可得出函数值 的取值范围．
【详解】解： ，
可知函数图像开口方向向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置 值最小，
当 时， ，
当 时，函数值 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图像与不等式的解集，二次函数一般式化成顶点式，熟练掌握二次函
数的性质是解答本题的关键．
25． 或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由
可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线 上移动，分抛物线对称轴在点
A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可．
【详解】解：由 可得抛物线的对称轴直线为 ，顶点坐标为 ，图象开口向
上，
如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线 上移动，当对称轴在点A左侧时， ，
把 代入 得 ，
解得 或 (舍去)，
时，抛物线 与线段 没有交点，
当对称轴在点A右侧时， ，
设线段 所在直线的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
线段 所在直线的解析式为 ，联立 ，得： ，
抛物线 与线段 没有交点，
，
，
综上，当 或 ，抛物线 与线段 没有交点，
故答案为： 或 ．
26．
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，二次函数的平移．直接利用二次函数大致图象结合不
等式与函数关系得出答案．
【详解】解：∵抛物线 经过 两点，
∴把抛物线 沿x轴向右平移1个单位后的图象经过 ，
即抛物线 的图象经过 ，
∴关于x的不等式 的解集为： ．
故答案为：
27． 或
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数， )与x
轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题
的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程 得到A、B的坐标，利用二次函数
的性质得到顶点的坐标，可写出图象 沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线 与 相切
b的值，直线 过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线 与此图象有且
只有两个公共点时b的取值范围．
【详解】解：当 时， ，解得 ，则 ，
，
则顶点坐标为 ，
把图象 沿x轴翻折所得图象的解析式为
，
如图，
当直线 与 相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时
有两个相等的实数解，
方程整理得 ， ，
解得 ，
∴当 时，直线 与图像 恰有两个公共点，
当直线 过 时， ，解得 ，
当直线 过 时， ，解得 ，所以，当 时，直线 与此图象有且只有两个公共点．
综上可知，当直线 与图像 恰有两个公共点时， 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
28． 或
【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移 个单位
长度后抛物线为 ，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平
移到线段 上，当抛物线经过点 时，求出对应 的值，结合图形即可求解．
【详解】 ，
将抛物线向上平移 个单位长度后抛物线为 ，
当抛物线顶点恰好平移到线段 上，此时， ，可得 ；
当抛物线经过点 时，此时 ，可得 ，
此时 关于对称轴 对称的点 ，在线段 上，不符合题意；
当抛物线经过点 时，此时 ，可得 ，
此时 关于对称轴 对称的点 ，不在线段 上，符合题意；
结合图形可知，平移后的抛物线与线段 仅有一个交点时， 或 ；故答案为： 或 ．
29． /0.5
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程
求出 ， ， ， 坐标．
根据抛物线 ：求出顶点 的坐标，再令 ，解方程求出 ， 坐标，得出 ，再根据
抛物线 与抛物线 关于 轴对称，求出顶点 的坐标，然后根据正方形得到 列出关于
的方程，解方程求出 的值．
【详解】解： 抛物线 的顶点为点 ，
，
抛物线 与 轴分别交于点 ， （点 在点 左侧），
，抛物线开口向上，
当 时， ，
整理得： ，
解得 ，
点 在点 左侧，
， ，
，
抛物线 与抛物线 关于 轴对称，顶点为 ，
，
，
∵四边形 是正方形，
∴ ，则 ，
，
经检验， 是方程的解，也符合题意，
故答案为： ．
30．
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，过C作 轴于点D．设出各点坐标 ，
则 ， ，设抛物线解析式为 ，把 代入，得到关
于 的方程，求解即可得到a的值．
【详解】解：过C作 轴于点D．
由题意可知 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得：
，
解得 ；
故答案为：
31．①③【分析】本题主要考查了二次函数的性质．先求出该函数对称轴为直线 ，再得出 和
关于直线 对称，即可判断①；把 代入 ，求出 ，
则当 时，y随x的增大而增大，得出 ，即可判断②；根据
，然后进行分类讨论：当 时，当 时，即可判断③；
根据当 且 时，得出y随x的增大而减小，根据 时， ，求出
，则当 时， ，求出n的值，即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵ ， ，
∴ ，即 和 关于直线 对称，
∴ 对应的函数值与 对应的函数值相等，故①正确，符合题意；
②把 代入 得： ，
解得： ，
∴二次函数表达式为 ，
∵ ，该函数的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故②不正确，不符合题意；
③∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
当 时，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，对应的 的整数值有 个，
∴四个整数解为： ，
∴ ，解得： ，
当 时，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，对应的 的整数值有 个，
∴四个整数解为： ，
∴ ，解得： ，
综上： 或 ，故③正确，符合题意；
④当 且 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，故答案为：①③．
32．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程等
知识点，把 代入二次函数得出 ，根据二次函数 的图象上有且
只有一个“相反点”，得出 ，即 有且只有一个根，推出
，求出 ， ，从而得出 ，最后由二次函数
的性质即可得出答案．
【详解】解：∵点 是二次函数 的“相反点”，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数 的图象上有且只有一个“相反点”，
∴ ，即 有且只有一个根，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的图象的对称轴为直线 ，函数的最大值为 ，
当 时， ，
解得： ， ，
∴当 时，函数的最小值为 ，最大值为 ，故答案为： ．
