第11讲二次函数的实际问题_《初中数学•秋季三阶学生讲义分节》789年级(北师)_《初中数学•秋季三阶讲义》9年级(北师)_《初中数学•秋季三阶学生讲义解析》9年级(北师)提高班

第 11 讲 二次函数的实际问题
知识点1二次函数的实际问题之利润问题
1.利润、售价、进价之间的关系：
利润=售价-进价。
2.总利润、单价利润、数量之间的关系：
总利润=单件利润×数量。
【典例】
【题干】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50
元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单
价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A. y=（x﹣40）（500﹣10x） B. y=（x﹣40）（10x﹣500）
C. y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y=（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【答案】C.
【解析】解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为：y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．
故选：C．
2.某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进
行销售：①若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣
x+150，成本为20元/件，月利润为W （元）；②若只在国外销售，销售价格为150
内
元/件，受各种不确定因素影响，成本为 a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x
（件）时，每月还需缴纳 x2元的附加费，月利润为W （元）．
外
（1）若只在国内销售，当x=1000（件）时，y= （元/件）；
（2）分别求出W 、W 与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
内 外
（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．
【解析】解：（1）当x=1000时，y=﹣ ×1000+150=140，故答案为：140．
（2）W =（y﹣20）x=（﹣ x+150﹣20）x=﹣ x2+130x．
内
W =（150﹣a）x﹣ x2=﹣ x2+（150﹣a）x．
外
（3）由题意得（750﹣5a）2=422500．
解得a=280或a=20．
经检验，a=280不合题意，舍去，
∴a=20．
【方法总结】
解这类题方法是：
（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式,把二次函数化成顶点式来求题
目中的最大值。
【随堂练习】
1．（准格尔旗三模）鄂尔多斯市某百货商场销售某一热销商品 ，其进货和销售情况如
下：用16000元购进一批该热销商品 ，上市后很快销售一空，根据市场需求情况，该商
场又用7500元购进第二批该商品，已知第二批所购件数是第一批所购件数的一半，且每件
商品的进价比第一批的进价少10元．
（1）求商场第二批商品 的进价．
（2）商场同时销售另一种热销商品 ，已知商品 的进价与第二批商品 的进价相同，
且最初销售价为165元，每天能卖出125件．经市场销售发现，若售价每上涨1元，其每
天销售量就减少5件，问商场该如何定售价，每天才能获得最大利润？并求出每天的最大
利润是多少？
【解答】解：（1）设商场第二批商品 的进价为 元，由题意得
解得： ．
经检验， 是原分式方程的解．
答：商场第二批商品 的进价为150元
（2）设商场热销商品 的销售价为 元，
由（1）知：商品 的进价为150元，则其利润当 时， 取得最大值，最大值为2000．
答：商场应将热销商品 的销售价定为170元，每天才能获得最大利润，最大利润为2000
元．
知识点2：二次函数的实际问题之轨迹问题
1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中。
2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件。
3.利用待定系数法求二次函数的解析式。
4.运用已求二次函数的解析式解决问题。
【典例】
1.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在
的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面 m，则水流落
地点B离墙的距离OB是________
【答案】3米
40 40 10
(1, ) y=a(x−1) 2 + a=−
3 3 (0,10) 3
【解析】解：顶点为 ，设 ，将点 代入，
10 40
y=− (x−1) 2 + =0
3 3 (x−1) 2 =4
令 ，得： ，所以OB=3
2.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为
抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池
中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王
师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提
下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【解析】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=a（x﹣3）2+5
（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，
解得：a=﹣ ，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣ （x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣ （x﹣3）2+5=1.8，
解得：x=﹣1，x=7，
1 2
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x=0时，y=﹣ （x﹣3）2+5= ．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣ x2+bx+ ，
∵该函数图象过点（16，0），
∴0=﹣ ×162+16b+ ，解得：b=3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ x2+3x+ =﹣ （x﹣
）2+ ．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
【方法总结】
y=ax2 +bx+c(a≠0)
1.一般地，抛物线 的顶点就是抛物线的最低（高）点，当
b
4ac−b2
x=−
2a y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
时，二次函数 有最小（大）值
2.利用函数的观点来认识现实生活中的模型，可以用二次函数的最值来解决实际问题。【随堂练习】
1．（集美区模拟）如图，排球运动员站在点 处练习发球，将球从 点正上方 的
处发出，把球看成点，其运行的高度 与运行的水平距离 满足抛物线解析式．已
知球达到最高 的 点时，与 点的水平距离 为 ．
（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；
（2）球网 与点 的水平距离为 ，高度为 ．球场的边界距 点的水平距离为
．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理
由．
【解答】解：（1）如图，
以点 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点 ， ， 的坐标分别为 ， ，
设球运行的高度 与运行的水平距离 的抛物线解析式为
由题意知抛物线的顶点为
故
将点 代入得
，
故此时抛物线的解析式为
（2）该球员的判断不对，理由如下：
当 时，球能过网；
当 时，
解得： ， （舍
故球会出界．
知识点3二次函数的实际问题之面积问题
1.二次函数的应用中动点产生的图形面积问题；
2. 二次函数的最值：
b
x=−
y=ax2 +bx+c(a≠0)
2a
一般地，抛物线 的顶点就是抛物线的最低（高）点，当
4ac−b2
y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
时，二次函数 有最小（大）值 ；
当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为 120m，室内通
道的尺寸如图，设一条边长为x（cm），种植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为
，当x= 时，种植面积最大= m2．
【答案】y=﹣x2+58x﹣112，729m2
【解析】解：设一边长是xcm，则种植部分的长是x﹣1﹣1=x﹣2，宽是60﹣x﹣1﹣3=56﹣
x，则面积y=﹣x2+58x﹣112．
函数的顶点坐标是（29，729），则当x=29时，种植面积最大=729m2．
2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的
速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同
时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？
（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量
的取值范围．
（3）t为何值时s最小，最小值时多少？
【解析】（1）根据 t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示 PB、BQ的长度，可得
△BPQ的面积，用S=S -S 求面积即可；
矩形ABCD PBQ
△
（2）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值．
（1）第t秒钟时，AP=t cm，故PB=（6-t）cm，BQ=2t cm
1
2
S = •（6-t）•2t=-t2+6t
PBQ
故 △
∵S =6×12=72．
矩形ABCD
∴S=72-S =t2-6t+72（0＜t＜6）；
PBQ
△
（2）∵S=t2-6t+72=（t-3）2+63，
∴当t=3秒时，S有最小值63cm2．
3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，
设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．
【解析】解：（1）S=BC×AB=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x
由题意得：
0＜x＜8
（2）∵24﹣3x≤9
∴x≥5结合（1）得，5≤x＜8．
4.如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小
路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【解析】解：由题意得：
y=（80﹣x）（60﹣x），
=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
所以函数关系式为：
y=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
【方法总结】
根据图形的形状列出函数的解析式，再确定自变量的取值范围，根据二次函数的顶点坐标
公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）；
【随堂练习】
1．（天心区校级期末）某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 长
的篱笆围成一个矩形 （篱笆只围 ， 两边），设 ．
（1）若花园的面积 ，求 的值；
（2）若在 处有一棵树与墙 ， 的距离分别是 和 ，要将这棵树围在花园内
（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积 的最大值．
【解答】解：（1）设 米，可知 米，根据题意得： ．
解这个方程得： ， ，
答： 的值是 或 ．
（2）设花园的面积为 ，则 ．
在 处有一棵树与墙 ， 的距离是 和5米，
，
．
当 时， （平方米）．
答：花园面积的最大值是99平方米．
2．（滨江区期末）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为
，饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围
墙的总长为 ，设三间饲养室合计长 ，总占地面积为 ．
（1）求 关于 的函数表达式和自变量的取值范围．
（2） 为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
【解答】解：（1）根据题意得， ，
自变量的取值范围为： ；
（2） ，
当 时，三间饲养室占地总面积最大，最大为 ．
知识点4二次函数的实际问题之函数图象问题
【典例】
（宜兴市一模）某制衣企业直销部直销某类服装，价格 （元 与服装数量 （件 之间的
关系如图所示，现有甲乙两个服装店，计划在“五一”前到该直销部购买此类服装，两服
装店所需服装总数为120件，乙服装店所需数量不超过50件，设甲服装店购买 件，如果
甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装，两服装店需付款总和为 元．（1）求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围．
（2）若甲服装店购买不超过100件，请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节
约多少钱？
【解答】解：（1）设
把 ， 代入可求得
由题意得 ，解得 ，
①当 时，
②当 时， ；
（2） 甲服装店数量不超过100件，
，
．
时， ，
两服装店联合购买需 （元
最多可节约 （元 ．
【方法总结】
这种题型先观察图象，确定两个变量的关系，并根据题意来确定相应的关系式或最值
【随堂练习】
1．（芜湖三模）我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种
草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投人市场销售．经市场调查发现，草
莓销售不会亏本，且每天的销售量 （千克）与销售单价 （元 千克）之间函数关系如图
所示．
（1）求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围．（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？
（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量600千克，则按照（2）中的方式进行销售，
能否销售完这批草莓？请说明理由．
【解答】解：（1）设 与 的函数关系式为 ．
把 ， 分别代入
得 ，
解得
与 的函数关系式为
由题意知
（2）设每天的销售利润为 元，
由题意知
，
当 时， 取最大值，为2025．
当该品种草莓定价为19元 千克时，每天销售获得的利润最大，为2025元
（3）能销售完这批草莓
当 时， ，
按照（2）中的方式进行销售，能销售完综合运用：二次函数的实际应用
1.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售
完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y（元）与国内
1
销售量x（千件）的关系为：
y=
1
若在国外销售，平均每件产品的利润y（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为
2
（1）用x的代数式表示t为：t= ；当0＜x≤4时，y 与x的函数关系为：y= ；
2 2
当 ＜x＜ 时，y=100；
2
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函
数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为
多少？
【解析】（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国
内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x；
根据平均每件产品的利润y（元）与国外的销售数量t（千件）的关系
2
及t=6﹣x即可求出y 与x的函数关系：当0＜x≤4时，
2
y=5x+80；当4≤x＜6时，y=100；
2 2
（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：
①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最
大值，再比较即可．
解：（1）由题意，得x+t=6，
∴t=6﹣x；
∵
∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，
此时y 与x的函数关系为：y=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；
2 2当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，
此时y=100．
2
故答案为6﹣x；5x+80；4，6；
（2）分三种情况：
①当0＜x≤2时，
②当2＜x≤4时，
w5x130x1006x5x2 30x600
③当4＜x＜6时，
10x2 40x4800 x2

w10x2 80x4802 x4


5x2 30x6004 x6
综上可知，
（3）当0＜x≤2时，w10x2 40x480 10x22 440 ，此时x=2时，w =600；
最大
当2＜x≤4时，w10x2 80x480 -10x-42 640 ，此时x=4时，w =640；
最大
当4＜x＜6时，w5x2 30x480=-5(x-3) 2 +645
，4＜x＜6时，w＜640；
∴x=4时，w =640．
最大
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最
大值为64万元．
∠C=60∘
2.在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9， ，动点P从点C出发沿C求D方向向
终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
（1）求AD的长；
ΔPDQ
（2）设CP=x，问当x为何值时， 的面积达到最大？求出最大值。
【解析】解：（1）过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4，
∵∠D=∠C=60∘
∴ΔAED
是等边三角形
∴AD=DE=9−4=5
（2） 为PD边上的高，则
根据题意得：
9 81 3
x S 
由题意可知， 0 x5 ，当 2 时（满足 0 x 5 ）， 最大 16 。
3.一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基
本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤
可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤 20元的价
格全部售出．
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每斤海鲜的市场价为 元；
②x天后死去的海鲜共有 斤；死去的海鲜的销售总额为 元；
③x天后活着的海鲜还有 斤；
（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为
y，写出y 关于x的函数关系式；
1 1
（3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y 关于
2
放养天数x的函数关系式．
【解析】解：（1）由题意可得：①x天后每斤海鲜的市场价为：（30+x）元；
②x天后死去的海鲜共有：10x斤；死去的海鲜的销售总额为：200x元；
③x天后活着的海鲜还有：（1000﹣10x）斤；
故答案为：30+x；10x；200x；1000﹣10x；
（2）根据题意可得：y=（1000﹣10x）（30+x）+200x=﹣10x2+900x+30000；
1（3）根据题意可得：
y=y﹣30000﹣400x=﹣10x2+500x．
2 1
4.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物
线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞
行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平
面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高
度．
【解析】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，
设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
则据题意得： ，
解得： ，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣ x2+ x+1，
∵y=﹣ （x﹣4）2+ ，
∴飞行的最高高度为： 米．
5.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点 A处的正上方，假设每次
发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点 A
的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，
得到如下部分数据：
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球
沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值．
【解析】解：（1）由表格中数据可知，当t=0.4秒时，乒乓球达到最大高度．
（2）以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系．
由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为（1，0.45），
所以可设y=m（x﹣1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，得：0.25=m（0﹣1）2+0.45，
解得：m=﹣0.2，
∴y=﹣0.2（x﹣1）2+0.45．
当y=0时，﹣0.2（x﹣1）2+0.45=0，
解得：x=2.5或x=﹣0.5（舍去）．
∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米．
（3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）．
∴将（2.5，0）代入y=a（x﹣3）2+k，得0=a（2.5﹣3）2+k，
化简整理，得：k=﹣ a．
②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，
∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，
由题意可得，扣杀路线在直线y= x上，
由①得y=a（x﹣3）2﹣ a，
令a（x﹣3）2﹣ a= x，整理，得20ax2﹣（120a+2）x+175a=0．
当△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时，符合题意，
解方程，得a= ，a= ．
1 2
当a= 时，求得x=﹣ ，不合题意，舍去；当a= 时，求得x= ，符合题意．
答：当a= 时，可以将球沿直线扣杀到点A．
6.为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实
现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停
车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的
存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量 y（辆）与x（x为整
数）满足如图所示的一个二次函数关系．
根据所给图表信息，解决下列问题：
（1）m= ，解释m的实际意义： ；
（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
（3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．
【解析】解：（1）m+7﹣5=15，
m=13，
则m的实际意义：7：00时自行车的存量；
故答案为：13，7：00时自行车的存量；
（2）由题意得：n=15+8﹣7=16，
设二次函数的关系式为：y=ax2+bx+c，
把（0，13）、（1，15）和（2，16）分别代入得： ，解得： ，
∴y=﹣ x2+ x+13；
（3）当x=3时，y=﹣ ×32+ ×3+13=16，
当x=4时，y=﹣ ×42+ ×4=13=15，
设10：00﹣11：00这个时段的借车数为x，则还车数为2x﹣4，
根据题意得：16+2x﹣4﹣x=15，
x=3，
答：10：00﹣11：00这个时段的借车数为3辆．