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2.1 二次函数
教学内容 2.1 二次函数 课时 1
1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的
体验；
核心素养
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系；
目标
3.通过实际情境让学生观察、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的核型
思想.
1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；
知识目标 2．会利用二次函数的概念解决问题；
3．列二次函数表达式解决实际问题．
教学重点 对二次函数概念的理解.
教学难点 由实际问题确定函数解析式.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自
设计意图：通过复习导
变量) 入，将学生注意力放在正
比例函数、一次函数、反
比例函数的概念上，帮助
学生复习函数的概念，为
(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x
后面的知识讲解做铺垫.
+ 1.
师生活动：教师提问，学生积极举手发言，预测
学生能正确回答这些问题.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数的定义
设计意图：设计这一情境
的目的是为了让学生经历
问题1 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结
数学化的过程，同时为降
600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但
低难度，将门题进行了简
是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的
化或理想化的处理，这是
阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平
建立数学模型过程中经常
均每棵树就会少结5个橙子. 用到的方法.
(1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪 这个问题本身是一个离散
些是因变量？ 变量的问题，教科书在这
(2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多 里用处理连续变量的方法
少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ 处理离散变量，在数学建
(3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写 模中，经常运用这种做
出 y 与 x之间的关系式. 法.
师生活动：
(1) 这是一个开放性问题，只要学生的回答有道
三、当堂
理就定予以肯定，如白变量有瞪子树的棵树、橙
练习，巩
子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因
固所学
变量有橙子的个数、橙子的质量等，在学生充分
回
答的基础上，引导学生讨论问题(2) .
1(2) (100 + x)棵，(600 - 5x) 个，
(3) y = (600 - 5x)(100 + x).
师提问：
这个关系式是函数关系式吗？
预设：对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对
应值，即 y 是 x 的函数.
设计意图：通过解决生活
中的数学问题，进一步熟
做一做 悉用函数表达式反映变化
银行的储蓄利率是随 过程.若学生对本金、利
时间变化的，也就是 息、利率、本息和等概念
说，利率是一个变 熟悉，则能够较容易地列
量.在我国，利率的 出函数表达式.
调整是由中国人民银
行根据国民经济发展
的情况而决定的.
设人民币一年定期储
蓄的年利率是 x，一
年到期后，银行将本
金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是
100 元，那么请你写出两年后的本息和 y (元)的
表达式.
学生活动：
学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生
黑
板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨
论，达到互通有无、查缺补漏的作用老师及时提
醒注
意的问题. 设计意图：这里分别提供
了一个几何背景和一个代
数背景的问题，让学生从
丰富的现实背景中体会函
数模型的意义，在此阶段
教学关注的重点是建立模
型，而不做进一步讨论，
在大量模型的基础上归纳
出二次函数的基本形式.
想一想
(1) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能
写出这两数之积 y 的表达式吗?
师生活动：学生小组讨论，小组代表发言汇报讨
论结果：
(1) y = x(20 - x) = -x2 + 20x
(2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是
100 cm2 吗? 可能是 75 cm2 吗? 还可能是多少?
你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?
2师生活动：
引导学生画出图形，先列出这个矩形的面积与其
一边长的表达式，当面积是100 cm2 ，75 cm2
时，代入表达式，通过求解一元二次方程得出边
长.
预设：
(2) 设矩形的其中一边长为 x，面积为 S.
S = x(20 - x) = -x2 + 20x
当 S = 100 时，-x2 + 20x = 100. 解得 x = 10.
当 S = 75 时，-x2 + 20x = 75. 解得 x = 5，
1
x = 15.
2
合作探究
设计意图：通过例题的解
师提问：问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? 决，加深学生对二次函数
y = -5x² + 100x + 60000 概念的理解.设计温馨提
y = 100x2 + 200x + 100 示和二次函数的满足条件
y = -x2 + 20x 非常重要.
师生活动：
同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.
师提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征.
然后一起归纳总结二次函数的定义.
知识要点
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可
以表示成 y = ax² + bx + c( a，b，c 是常数，
a≠ 0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数.
a为二次项系数，ax2 叫做二次项； 设计意图：通过练习，让
b为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项. 学生进一步理解二次函数
的定义.
师生活动：
合作交流，归纳概括出二次函数的定义，一般形
式，以及特殊形式，掌握二次函数的亮点本质，
并理解.
师提问：
同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x是
自变量)
①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²；
③y = x2 ； ④ y = ；
⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试
着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予 设计意图：通过上面习题
详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程 的练习，举出几种特殊的
中，逐渐形成对二次函数的认识. 实例，从而提炼出二次函
3方法总结 数的几种特殊形式和成立
条件，加深学生对二次函
判断一个函数是否为二次函数的步骤：
数的形式的理解.
(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数
式，左边是因变量的形式；
(2) a，b，c 为常数，且 a≠0；
(3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x
的整式；
(4) 等式的右边自变量的最高次数为 2.
合作探究 设计意图：通过中考的实
例，加强学生对二次函数
的定义理解，同时让学生
体会中考的考点方向.
师生活动：
学生积极踊跃发言，问答提出的问题.
链接中考
1. (西湖区月考) 已知 ( m
为常数)，根据下列条件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函数；
(2) y 是 x 的二次函数.
设计意图：通过例题的讲
师生活动：
解，学生知道并理解二次
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
函数的自变量的取值范围
2小组内批阅。
是所有实数，但在实际问
3.对板演的内容进行评价纠错。
题中，它的自变量的取值
范围会有一些限制.
解：(1) 由题意得 ∴ m = 1.
(2)y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
知识点二：二次函数的自变量取值范围
问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范
围是什么？
① y = -5x² + 100x + 60000
② y = 100x2 + 200x + 100
③y = -x2 + 20x
师生活动：先独自探究自变量的取值范围，然后
小组交流形成共识。
①∵600-5x＞0，x＞0，∴0≤x＜120，且 x 为整数.
设计意图：
② x＞0. 通过实际应用让学生经历
4③∵20-x＞0，∴0＜x＜20. 探索和表示两个变量之间
二次函数关系的过程，抽
象归纳出二次函数的定
义，认识数学与生活的密
总结：二次函数的自变量的取值范围是所有实
切联系，体会函数的模型
数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会
思想，培养抽象思维能力
有一些限制.
和数学应用意识.
设计意图：考察学生对二
知识点三：列二次函数关系式
次函数定义的理解.
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一
个长为2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方形．剩
余部分的面积为 y cm2. 写出 y与 x之间的函数
关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？
解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 设计意图：考查学生能够
又∵x+1<2x≤12，∴1
