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第 13 讲 二次函数存在性问题
知识点1二次函数中直角三角形存在性问题
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常
要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或
对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x ）（x－x ），通常要知道图像与x轴的两个交点坐
1 2
标x，x 才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－ ， ）．对于y=a
1 2
（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的
三要素：开口方向，对称轴，顶点．
【典例】
1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣
3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分
线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；
（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；
（3）当△PBC的面积为 时，求点E的坐标．
【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣ ﹣=1，
∴b=﹣2
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c=﹣3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．
∴x=﹣1，x=3．
1 2
∵A点在B点左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则 ，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；
（2）∵Rt CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴∠OCB=△45°，
∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，
∴D坐标为（1，﹣2 ）
Rt CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），
∵△点P在CE垂直平分线上，
∴点P纵坐标为﹣2，
∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，
∴x2﹣2x﹣3=﹣2，
解得：x=1± ，
∵P在第三象限，
∴P的坐标为（1﹣ ，﹣2）；
（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3
∵直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴K的坐标为（n+3，n），
∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，
∵S =S +S = ，
PBC PKC PKB
△ △ △
∴ ×3KP=
∴m2﹣3m= ，
解得：m=﹣ 或 ，∵P在第三象限，
∴P的坐标为（﹣ ，﹣ ）
∵点P在CE垂直平分线上，
∴E的坐标为（0，﹣ ）
【方法总结】
探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；
（2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，
此交点即为符合条件的点；
②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交
点时，此交点即为符合条件的点；
（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线
段时，注意代数式的符号）。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或
者利用三角函数建立方程求点坐标。
【随堂练习】
1．（禅城区二模）如图，已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且点
为抛物线的顶点，点 在 轴上．
（1）求 的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 是 轴上一点，当 为直角三角形时直接写出点 的坐标．【解答】解：（1）将点 坐标代入 得： ，解得： ；
（2） ，令 ，则 ，故点 ，
则二次函数表达式为： ，
将点 的坐标代入上式得： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（3）①当 时，
直线 的表达式为： ，
则直线 的表达式中的 值为 ，
设直线 的表达式为： ，将点 的坐标代入上式得： ，
解得： ，
即直线 的表达式为： ，
当 时， ，
即点 ；
②当 时，
点 ；
故点 的坐标为 或 ．
2．（郊区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交与点 ，与抛物线
交于点 ，此抛物线与 轴的正半轴交于点 ，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上的一点．过点 作 垂直于 轴于点 ，交线段 于点 ，使
．
①求点 的坐标；
②在直线 上是否存在点 ，使 为以 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条
件的点 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1） 直线 与 轴交于点 ，
点 ，，
，
，
，
直线 与抛物线交于点 ，
点 ，
把点 、 的坐标代入解析式，得：
，解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）① 是直线 上方的抛物线上的一点，
设点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 、 的坐标代入解析式，得：
，解得： ，
直线 的解析式为： ，
轴于点 ，交 于点 ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
，解得： （舍去）， ，
当 时， ，
点 的坐标为 ， ；
② 点 在直线 上，
设点 的坐标为 ， ，点 ，点 ，
， ， ，
为以 为直角边的直角三角形，
Ⅰ：当 为斜边时，可得： ，
即 ，解得： ，
点 的坐标为 ， ；
Ⅱ：当 为斜边时，可得： ，
即 ，解得： ，
点 的坐标为 ， ；
综上所述，符合题意的点 的坐标为 ， 、 ， ．
知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题
此知识点是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、
等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（2）（3）问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需
要分类讨论．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛
1
物线C ：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M．
2 1 2
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；【解析】解：（1）∵抛物线C ：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）
1
∴
解得：
∴抛物线C ：解析式为y=x2+x﹣1
1
（2）∵动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M
1 2
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2
（3）共分两种情况
①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）
∴AN=t﹣（﹣2）=t+2
∵MN=t2+2
∴t2+2=t+2
∴t=0（舍去），t=1
1 2
∴t=1
②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）
∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，
∵MN=t2+2
∴t2+2=t+2
∴t=0，t=1（舍去）
1 2
∴t=0
故t的值为1或0
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位
于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．【解析】（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），∴﹣1=mn，∴n=﹣ ，
∵B（n，0），∴B（﹣ ，0）．∵AO=m，BO=﹣ ，CO=1
∴AC= = ，BC= = ，AB=AO+BO=m﹣ ，
∵（m﹣ ）2=（ ）2+（ ）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，∴AC= = ，BC= = |n|，AB=x ﹣x =2﹣
A B
n．
①当AC=BC时， = |n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；
②当AC=AB时， =2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣ ；
③当BC=AB时， |n|=2﹣n，当n＞0时， n=2﹣n，解得n= ，当n＜0时，﹣ n=2﹣n，
解得n=﹣ ．
综上所述，n=﹣2，﹣ ，﹣ ， 时，△ABC是等腰三角形．
【方法总结】
探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若
所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或
抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交
点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。
以上方法即可找出所有符合条件的点；
（3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添
加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。
【随堂练习】
1．（黔东南州期末）抛物线 与直线 相交于 、 两
点，且抛物线与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出 、 两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点 ，若 是以 为底边的等腰三角形，求出点 的坐标．
【解答】解：（1）把 、 两点坐标代入
可得
解得
（2）把 代入 中可得
设 ，把 、 两点坐标代入
解得（3）由 ， 可知 的垂直平分线经过
点纵坐标为 ，
解得： ， ．
，
知识点3二次函数中四边形存在性问题
本知识点重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考
查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
平行四边形的判定与性质
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形两组对边分别相等；
③平行四边形两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c
经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME
长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【解析】解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1
∴A（﹣1，0）当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴
∴ ，
抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1，x=3
1 2
∴B（3，0）．
（2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3，
设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）
∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ；
∴当x= 时，ME的最大值为 ．
（3）答：不存在．
由（2）知ME取最大值时ME= ，E（ ，﹣ ），M（ ，﹣ ）
∴MF= ，BF=OB﹣OF= ．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P（0，﹣ ）或P（3，﹣ ）
1 2
当P（0，﹣ ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣
1
∴P 不在抛物线上．
1
当P（3，﹣ ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣
2
∴P 不在抛物线上．
2
综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．
【方法总结】
在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的 3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有
两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线
分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点
两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；
（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的
性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体
分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。
【随堂练习】
1．（唐河县三模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线交 轴于 、
两点，与直线 交于 、 两点，直线 与抛物线的对称轴交于点 ．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点 在直线 上方的抛物线上运动，若 的面积最大，求此时点 的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条
件点 的坐标．
【解答】解：（1）令 ，可得： ，解得： ，
点 ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
，即点 ，
，解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2） 点 在直线 上方的抛物线上运动，
设点 ，
抛物线与直线 交于 、 两点，，解得： ， ，
点 ，
如图，过点 作 轴交直线 于点 ，
则点 ，
，
，
当 时， 最大，
点 ， ；
（3）当 时， ，
点 ，
如图，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
联立 得 ，
同理可得 ， ，
综上所述，符合条件的点 的坐标为 ， ， ．2．（潍坊模拟）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转 得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪
生抛物线”．
（1）求抛物线 的“孪生抛物线”的表达式；
（2）若抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，其“孪生抛物线”与 轴交于点 ，请
判断 ’的形状，并说明理由：
（3）已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴正半轴的交点为 ，那么是否在其“孪生抛物
线”上存在点 ，在 轴上存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出 点的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）抛物线 化为顶点式为 ，顶点坐标为 ，
由于抛物线 绕其顶点旋转 后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，
则所得抛物线解析式为 ．
（2） 是等腰直角三角形，理由如下：
抛物线 ，抛物线顶点为 的坐标为 ，与 轴的交点 的坐标为 ，
其“孪生抛物线”的解析式为 ，与 轴的交点 ’的坐标为 ，
，
点 的横坐标为1，
，
由对称性质可知 ’，
是等腰直角三角形．
（3） 抛物线 与 轴交于点 ，与 轴正半轴的交点为 ，
令 ， ，令 时， ，解得 ， ，
， ，
，
其“孪生抛物线”的解析式为 ，
若 、 为平行四边形的对角线，
其中点坐标为 ，
设 ，
、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，
，
，
化简得， ，△ ，方程无实数解，
此时满足条件的点 不存在，
若 为平行四边形的边，点 在 轴右侧，则 且 ，
点 和点 在 轴上，
点 的横坐标为3，把 代入“孪生抛物线”的解析式 ，
，
若 为平行四边形的边，点 在 轴左侧，则 且 ，
点 的横坐标为 ，
把 代入“孪生抛物线”的解析式 ，
．
原抛物线的“孪生抛物线”上存在点 ， ，在 轴上存在点 ，使以点 、 、 、
为顶点的四边形为平行四边形．
3．（宝安区期末）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，已知抛
物线的对称轴所在的直线是 ，点 的坐标为 ．
（1）抛物线的解析式是 ；
（2）若点 是直线 下方抛物线上一动点，当 时，求出点 的坐标；
（3）若 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在点 ，使得点 ， ， ， 构成的四边形是菱形？
若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 点 与点 关于直线是 ，
点 ， ，
抛物线解析式为 ，即 ；
故答案为 ；
（2）如图， ，
直线 交 轴于 ，作 点关于 轴的对称轴点 ， 于 ，
则 ，
，
，
当 时， ，则 ，
，
设 ，
，
，
，即 ，则 ，
在 中， ，解得 ， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
直线 的解析式为 ，
解方程组 得 或 ，
点坐标为 ， ；
（3）在抛物线上不存在点 ，使得点 ， ， ， 构成的四边形是菱形．
理由如下：
若 为对角线，易得点 ， ， ， 构成的四边形不是菱形；
若 为边，则 ，则 ，而 ，所以点 ， ， ， 构成的四边形不可能为菱形．
综合运用：二次函数存在性问题
1.如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，
点C为（﹣1，0），过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）在直线x=﹣ 上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，
，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C点坐标为（﹣1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点横坐标为﹣3，
∴B点坐标为（﹣3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴BC所在直线的解析式为y=﹣ x﹣ ；
（3）存在．
若以AC为直角边，点C为直角顶点，直线x=﹣ 上有一点P，是CP⊥AC，
1 1
∴点P 为直线BC与直线x=﹣ 的交点，
1
由题意得， ，
解得： ，
∴P（﹣ ，﹣ ）；
1
若以AC为直角边，点A为直角顶点，直线x=﹣ 有一点P，是AP ⊥AC，
2 2
则过点A作AP ∥BC，交直线x=﹣ 于点P，
2 2
∵CD=OA，∴A（0，2），
则直线AP 的解析式为y=﹣ x+2，
2
由题意得， ，
解得： ，
∴P（﹣ ， ）．
2
∴P点坐标分别为：P（﹣ ，﹣ ），P（﹣ ， ）．
1 2
2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，
0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD
的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD
相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，
∴A（1，0），B（4，3），∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，
∴ ，
解得： ，
则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，
∴∠APM=∠DPN=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，
∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，
设AP=m，则有DP=4﹣m，
∴PM= m，PN= （4﹣m），
∴S = PM•PN= × m× （4﹣m）=﹣ m2﹣m=﹣ （m﹣2）2+1，
MPN
∴当△ m=2，即AP=2时，S 最大，此时OP=3，即P（3，0）；
MPN
△
（3）存在，
易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），
由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，
当△ABD∽△DAQ时， = ，即 = ，
解得：AQ= ，
由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2= ，
解得：x= ，此时Q（ ，﹣ ）；
当△ABD∽△DQA时， =1，即AQ= ，
∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，
解得：x=2，此时Q（2，﹣3），
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（ ，﹣ ）．
3.如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点 M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否
存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理
由．
【解析】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵S =S ，
PBC QBC
△ △
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得： ，
解得： 或 ，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线QQ∥BC，交x轴于点H，则直线QQ 解析式为y=﹣x+1，
2 3 2 3
联立得： ，
解得： 或 ，∴Q（ ， ），Q（ ， ）；
2 3
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等
腰直角三角形，
设M（x，y），N（x，y），设直线MN解析式为y=﹣x+b，
1 1 2 2
联立得： ，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x﹣x|2=（x+x）2﹣4xx=21﹣4b，
1 2 1 2 1 2
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2= （b﹣3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴42﹣8b= （b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为MN= ，
∴MN=9 或 ．
4.如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与直线y= x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，交x轴正半轴于
点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上任意一点，设点P的横坐标为x．
①若点P在第二象限，过点P作PN⊥x轴于N，交直线AC于点M，求线段PM关于x的函数解析式，
并求出PM的最大值；②若点P是抛物线上任意一点，连接CP，以CP为边作正方形CPEF，当点E落在抛物线的对称轴上时，
请直接写出此时点P的坐标．
【解析】解：（1）当x=0时，y= x+3=3，则C（0，3）；
当y=0时， x+3=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0），
把A（﹣4，0），C（0，3）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+3；
（2）①设P（x，﹣ x2﹣ x+3）（﹣4＜x＜0），则M（x， x+3），
∴PM=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+2）2+
当x=﹣2时，线段PM的长有最大值，最大值为 ；
②作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图，
∵四边形PEFC为正方形，
∴PE=PC，∠EPC=90°
∵∠PGE=∠PKC=90°，
∴∠PEG=∠CPK，
易得△PEG≌△CPK，
∴CK=PG，
设P（x，﹣ x2﹣ x+3），抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣
x2﹣ x+3），
∴PG=|﹣1﹣x|=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|，
∴|x+1|=|﹣ x2﹣ x|，解方程x+1=﹣ x2﹣ x得x=﹣4，x=﹣ ；
1 2
解方程x+1= x2+ x得x=2，x=﹣ ；
1 2
∴P点坐标为（﹣4，0）或（﹣ ， ）或（2，0）或（﹣ ， ）．
