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第 10 讲 与角度有关的计算
知识点1：角的概念以及度分秒的换算
1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是
角的两条边。角通常用三个字母及符号“∠”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以
用它的顶点字母来表示．
2．用量角器测量角度时一定要做到两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐、 量角器的 0
刻度线和角的一条边对齐．
3．角的常用度量单位是度、分、秒．
1°的 为1分，记作1′，即1°=60′．
1′的 为1秒，记作1″，即1′=60″．
【典例】
1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：A、图中以O为顶点的角不止1个，∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中以O为顶点的角有3个，∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中以O为顶点的角只有1个，∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中以O为顶点的角不止1个，∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
【方法总结】
所有的角都可以用顶点处的字母和表示两条射线的另外两个字母来表示；当某个角的顶点
处只有１个角（两条射线）时，该角可以用“∠”和顶点字母来表示。
【随堂练习】
1．（青岛期末）下列说法，正确的是
A．若 ，则
B．C．一个圆被三条半径分成面积比 的三个扇形，则最小扇形的圆心角为
D．钟表上的时间是9点40分，此时时针与分针所成的夹角是
【解答】解： ．若 ， ，则 ，故本选项错误；
，故本选项错误；
．一个圆被三条半径分成面积比 的三个扇形，则最小扇形的圆心角为
，故本选项错误；
．钟表上的时间是9点40分，此时时针与分针所成的夹角是 ，故本
选项正确；
故选： ．
2．（和平区期末）如果一个角 的度数为 ，那么关于 的方程 的
解为
A． B． C． D．
【解答】解：把 代入方程得： ，
解得： ．
故选： ．
二．填空题（共3小题）
3．（沛县期末）计算：① ．
②当 时钟表上的时针与分针的夹角是 度．
【解答】解：① ．
②当 时钟表上的时针与分针的夹角是 度．
故答案为： ；75．
4．（文登区期末）比较大小： ．
【解答】解： ，
，
故答案为： ．
5．（密云区期末）把 用度分秒表示为 ．
【解答】解：把 用度分秒表示为 ．
故答案为： ．
知识点2：角平分线的定义
1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角
平分线。2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。
（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。
（3）作射线OP。
射线OP即为所求。
【典例】
1.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是
________
【解析】
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
1 1
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=10°，∠AOM=∠COM= ∠AOC=40°，
2 2
∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°﹣10°=30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；
【方法总结】
本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB，以及OD、OM是角平分线，但不知道角∠AOC与
∠AOB的位置关系，无法直接得出结论。所以作图分两种情况，即：∠AOB在∠AOC内部和
∠AOB在∠AOC外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。
【随堂练习】
1．（梁子湖区期中）已知 ， 为一条射线， ， 分别平分 ，，那么 的度数为 或 ．
【解答】解：如右图所示：
① 在 内部，
， 分别平分 和 ， ， ，
，
即 ，
又 ，
；
②如图，
当 在 外部时，
， 分别平分 和 ，
， ，
，
，
综上所述： 或 ．
故答案为： 或 ．
2．（龙湖区期末）如图，点 、 、 在一条直线上， ， 是 的
平分线，则 2 5 度．【解答】解： 点 、 、 在一条直线上， ，
，
是 的平分线，
．
故答案为：25．
3．（卢龙县期末）如图所示，已知点 ， ， 在同一直线上，且 是 的角平
分线，若 ，则 3 6 ．
【解答】解： 是 的角平分线， ，
，
．
故答案为：36．
4．（嘉兴期末）如图所示， ， ， 平分 ．则
6 0 度．
【解答】解： ， ，
，
平分 ，
．
故填60．
5．（江油市期末）如图所示，两块三角板的直角顶点 重叠在一起，且 恰好平分
，则 的度数是 13 5 度．【解答】解： 平分 ，
，
，
，
．
故答案为：135．
二．解答题（共2小题）
6．（沭阳县期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有 、 的直角三角板如图①
放置， 、 与直线 重合，且三角板 、三角板 均可绕点 逆时针旋转．
（1）直接写出 的度数．
（2）如图②，在图①基础上，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转
速为 秒，同时三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，
（当 转到与 重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当 与 重合时，
求旋转的时间是多少？
（3）在（2）的条件下， 、 、 三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的
夹角时，请直接写出旋转的时间．
【解答】解：
（1）
故答案为：
（2）设旋转的时间是 秒时 与 重合，根据题意列方程得
解得
又 秒
故旋转的时间是30秒时 与 重合．（3）设 秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：
①当 平分 时， ，解得
②当 平分 时， ，解得
③当 平分 时， ，解得
故15秒或26.25秒或37.5秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角．
7．（福田区期末）如图， ， ， 平分 ， 平分
，求 和 的度数．
【解答】解： ， 平分 ，
， ，
又 ，
，
平分 ，
，
．
知识点3：余角和补角
1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是
另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C , ∠A与∠C互余；
余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C , ∠A与∠C互补；
补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D，则：∠C=∠B。
【典例】
1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE
和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是__________【解析】解：∠AOF+∠BOD=3∠DOF．理由如下：
设∠COF=∠EOF=x，∠DOE=∠BOD=y，
∵2x+2y=90゜，
∴∠DOF=x+y=45゜，
∴∠AOF+∠BOD=90゜+x+y=135゜，
∴∠AOF+∠BOD=3∠DOF，
【方法总结】
题中给出了互余的两个角，隐含了一对互补的角。通过一对互余角的角平分线求出平分后
小角组成的大角为45°，利用平角是180°，求出剩余角度之和是135°，进而求出二者
之间的比例关系。
【随堂练习】
1．（密山市期末）如图， 是直线 上一点， 平分 ， ．则图中
互余的角、互补的角各有 对．
A．3，3 B．4，7 C．4，4 D．4，5
【解答】解： 平分 ，
，
互余的角有 和 ， 和 ， 和 ， 和 共
4对，
互补的角有 和 ， 和 ， 和 ， 和 ，
和 ， 和 ， 和 共7对．
故选： ．
二．填空题（共8小题）
2．（东城区期末）一个角的补角比它的余角的2倍还多 ，这个角的度数为 2 0 ．
【解答】解：设这个角的度数是 ，则它的补角为： ，余角为 ；由题意，得： ．
解得： ．
答：这个角的度数是 ．
故答案为：20．
3．（高新区期末）若 ，则 的补角等于 ．
【解答】解：若 ，则 的补角等于 ，
故答案为：
4．（宁城县期末）如果 的余角是 ，那么 的补角为 11 6 ．
【解答】解： 的余角是 ，
，
则 的补角为 ，
故答案为：116．
5．（密山市期末）如果一个角的余角是它的补角的 ，则这个角的度数是 ．
【解答】解：设这个角为 ，则它的余角为 ，它的补角为 ．
由题意得， ，
解得： ．
故这个角的度数为 ．
故答案为： ．
6．（桐城市期末）一个角补角比它的余角的 2倍多 ，这个角的度数为
．
【解答】解：设这个角为 ，
由题意得 ，
解得 ．
答：这个角的度数是 ．
故答案为： ．
7．（黔南州期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ．
【解答】解： ，
而 ，
，
．
故答案为 ．
8．（南召县期末）若 的余角为 ，则 ．
【解答】解： 的余角为 ，
．
故答案为： ．
9．（临清市期中）一个角的补角比它的余角的3倍多 ，则这个角的度数为 ．
【解答】解：设这个角为 ，则补角为 ，余角为 ，
由题意得， ，
解得： ．
即这个角的度数是 ．
故答案为： ．
知识点4：对顶角和邻补角
1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这
两个角是对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
2.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做
邻补角。邻补角的性质：（1）一个角与它的邻补角的和等于180°；（2）如果两个角互为邻补角，
那么它们的角平分线互相垂直。
【典例】
1.如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则
∠AOF=______
【方法总结】
解角度问题常设某一角度为未知数，把其他关联角用未知数表示出来，根据已知条件间建
立关于该未知数的方程，解方程即可求得未知数的值，从而得到所求角的度数。用代数方
法解几何问题是常用方法之一。
【随堂练习】
1．（吴中区期末）如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ， 平分 ．
，则 3 0 ．
【解答】解： ， ，
，
，
又 平分 ，
．
，
平分 ，
，
．故答案是：30．
2．（江宁区校级期末）如图，直线 ， 相交于点 ，若 ，则
等于 13 0 度．
【解答】解： 与 是对顶角，
，
又 ，
．
，
．
故答案为：130．
3．（官渡区期末）如图，两条直线相交成四个角，已知 ，那么 13 5 度．
【解答】解： ， ，
，
则 ，
故答案为：135
4．（阆中市期中）若 的对顶角是 ， 的邻补角是 ， ，则 的度数为
．
【解答】解： 的邻补角是 ， ，
．
的对顶角是 ，
．故答案为： ．
5．（大冶市期末）如图，直线 、 交于点 ，且 ，
则 的度数为 ．
【解答】解： ，
又 ，
，即 ，
．
故答案是： ．
6．（东西湖区期末）如图，已知直线 ， 相交于点 ， 平分 ，
，则 的度数等于 3 5 度．
【解答】解： 平分 ， ，
，（角平分线定义）
，（对顶角相等）
故填35．
二．解答题（共2小题）
7．（吴江区期中）如图，直线 、 相交于点 ， ．
（1）求 的度数；（2）以 为端点引射线 、 ，射线 平分 ，且 ，求 的
度数．
【解答】解：（1）由邻补角互补，得 ，
又 ，
，
解得 ；
（2）如图：
由射线 平分 ，得
，
由角的和差，得
，
．
的度数为 或 ．
8．（高新区期末）如图， 、 交于点 ， ， 的余角比
小 （题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求 的度数；
（2）请写出 在图中的所有补角；
（3）从点 向直线 的右侧引出一条射线 ，当 时，求
的度数．【解答】解：（1）设 ，则 ，
的余角比 小 ，
，
，
；
（2） 在图中的所有补角是 和 ；
（3） ， ，
，
，
如图，当 在 的上方时，
设 ，
，
，
，
，
，
，
；
当 在 的下方时，
设 ，
，
，
，
，
，
综上所述， 的度数为 或 ．综合集训
1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a
上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_______°．
【解析】解：根据题意得：∠1=138°﹣60°=78°，
故答案为：78
2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，∠COE=20°，则∠BOE= ________°．
【解析】解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，
∴∠COB=140°，
∵∠COE=20°，
∴∠BOE=140°﹣20°=120°．
故答案为：120．
3.一个角的补角为158°12′，那么这个角的余角等于__________．
【解析】解：设原角为∠α，所求角为∠β，
则∠α=180°﹣158°12′=21°48′，
∠β=90°﹣∠α=68°12′．
故答案为：68°12′4. 如 图 ， ∠ AOB=90° ， OC 平 分 ∠ AOB ， OE 平 分 ∠ AOD ， 若 ∠ EOC=60° ， 则
∠BOD=__________．
【解析】解：∵OC平分∠AOB，
1
∴∠AOC= ∠AOB=45°，
2
∵∠EOC=60°，
∴∠AOE=15°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=30°，
∴∠BOD=30°+90°=120°，
故答案为：120°．
5.一个角的补角加上14°，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是 ________．
【解析】解：设这个角为x，则补角为180°﹣x，余角为90°﹣x，
由题意得：180°﹣x+14°=5（90°﹣x），
解得：x=64°．
故填：64°
6如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOF=∠DOE=90°，∠DOF=58°，则∠BOE=________，
∠AOC=________．
【解析】解：∵∠BOF=90°，∠DOF=58°，
∴∠DOB=90°﹣58°=32°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOE=90°﹣32°=58°，
∵∠DOB=32°，
∴∠AOC=32°，7.计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．
【解析】解：（1）48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′﹣21°17′
=94°53′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5
=71°39′﹣21°32′36″
=50°6′24″．
【难度】易
【结束】
8.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．
【解析】解：（1）∵OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，∠AOC=120°，
∠BOC=30°，
∴∠EOC=60°，∠DOC=15°，
∴∠DOE=∠EOC﹣∠DOC=60°﹣15°=45°；
（2））∵OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，∠AOB=90°，∠BOC=α，
1 1
∴∠EOC= （90°+α），∠DOC= α，
2 2
1 1
∴∠DOE=∠EOC﹣∠DOC= （90°+α）﹣ α=45°．
2 2
9.如图，直线AB上有一点O，射线OD在直线AB上方且不与OA、OB重合，OC平分∠AOD，
OE平分∠BOD
（1）当∠AOD=70°时，∠DOE=_______°；
（2）当∠AOD=100°时，求：∠DOE、∠COE的度数；（3）直接写出，当∠AOD=x°时，∠COD与∠DOE之间满足的关系．
【解析】解：（1）∵∠AOD=70°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣70°=110°，
∵OE平分∠BOD，
1
∴∠DOE= ∠BOD=55°，
2
故答案为：55°．
（2）∵∠AOD=100°，
∴∠DOB=180°﹣100°=80°
∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD
1 1
∴∠COD= ∠AOD= ×100°=50°
2 2
1 1
∠DOE= ∠DOB= ×80°=40°
2 2
∴∠COE=∠COD+∠DOE=50°+40°=90°
∴∠DOE、∠COE的度数分别为40°、90°．
1 1 1 1
（3）∠COD+∠DOE= ∠AOD+ ∠DOB= （∠AOD+∠DOB）= ∠AOB=90°．
2 2 2 2
