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第 10 讲 与角度有关的计算
知识点1：角的概念以及度分秒的换算
1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是
角的两条边。角通常用三个字母及符号“∠”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以
用它的顶点字母来表示．
2．用量角器测量角度时一定要做到两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐、 量角器的 0
刻度线和角的一条边对齐．
3．角的常用度量单位是度、分、秒．
1°的 为1分，记作1′，即1°=60′．
1′的 为1秒，记作1″，即1′=60″．
【典例】
1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解：A、图中以O为顶点的角不止1个，∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中以O为顶点的角有3个，∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中以O为顶点的角只有1个，∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中以O为顶点的角不止1个，∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
【方法总结】
所有的角都可以用顶点处的字母和表示两条射线的另外两个字母来表示；当某个角的顶点
处只有１个角（两条射线）时，该角可以用“∠”和顶点字母来表示。
【随堂练习】
1．（岱岳区期中）下列换算中，错误的是
A． ” B． ”
C． ” D．【解答】解： 、 ，正确，不合题意；
、 ，正确，不合题意；
、 ，正确，不合题意；
、 ，错误，符合题意．
故选： ．
2．（肥东县期末）下列关系式正确的是
A． B． C． ’ D． ’
【解答】解： 、 ，错误；
、 ，错误；
、 ’，正确；
、 ’，错误；
故选： ．
3．（常德期末）下列说法正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，错误；
、 ，错误；
、 ，正确；
、 ，错误；
故选： ．
4．（下城区期末）下列角度换算错误的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，错误；
、 ，正确；
、 ，正确；
、 ，正确；
故选： ．
5．（海淀区期末）如图，将一个三角板 角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，
， 的大小是A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，
；
故选： ．
知识点2：角平分线的定义
1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角
平分线。
2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。
（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。
（3）作射线OP。
射线OP即为所求。
【典例】
1.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度
数是________
【解析】解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
1 1
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=10°，∠AOM=∠COM= ∠AOC=40°，
2 2
∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°﹣10°=30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；
【方法总结】
本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB，以及OD、OM是角平分线，但不知道角∠AOC
与∠AOB的位置关系，无法直接得出结论。所以作图分两种情况，即：∠AOB在∠AOC
内部和∠AOB在∠AOC外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。
【随堂练习】
1．（金牛区期末）如图， ， ， 是 的角平分线，则
的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
而 是 的角平分线，
故选： ．
2．（即墨区期末）如图， 是 的平分线， ， ，则A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，
是 的角平分线，
，
．
故选： ．
3．（潮安区期末）木工师傅在锯木板时，往往先在木板两端用墨盒弹一根墨线然后再锯，
这样做的数学道理是
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离
D．从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线
【解答】解：木工师傅在锯木板时，往往先在木板两端用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样
做的数学道理是两点确定一条直线．
故选： ．
4．（北仑区期末）如图， 方向是北偏西 方向， 平分 ，则 的度数
为A． B． C． D．
【解答】解： 方向是北偏西 方向，
，
平分 ，
，
故选： ．
5．（和平区期末）若 是 内的一条射线，且 平分 ，则有下列结论：
① ； ② ； ③ ； ④
，其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 平分 ，
① ； ② ； ③ ； ④
，
故正确的个数有4个，
故选： ．
6．（杭州期末）如图，将三角板绕点 逆时针旋转一定角度，过点 在三角板 的内
部作射线 ，使得 恰好是 的角平分线，此时 与 满足的数量
关系是
A． B． C． D．不确定【解答】解：令 为 ， 为 ， ，
，
，
，即 ，
．
故选： ．
二．解答题（共1小题）
7．（大兴区期末）已知：如图， ， 是 的平分线， 是
的平分线，且 ．
求证： ．
【解答】证明： 是 的平分线，
是 的平分线，
．
，
．
又 ，
．
知识点3：余角和补角
1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另
一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C , ∠A与∠C互余；
余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C , ∠A与∠C互补；补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D，则：∠C=∠B。
【典例】
1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分
∠COE和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是__________
【解析】解：∠AOF+∠BOD=3∠DOF．理由如下：
设∠COF=∠EOF=x，∠DOE=∠BOD=y，
∵2x+2y=90゜，
∴∠DOF=x+y=45゜，
∴∠AOF+∠BOD=90゜+x+y=135゜，
∴∠AOF+∠BOD=3∠DOF，
【方法总结】
题中给出了互余的两个角，隐含了一对互补的角。通过一对互余角的角平分线求出平分后
小角组成的大角为45°，利用平角是180°，求出剩余角度之和是135°，进而求出二者之间
的比例关系。
【随堂练习】
1．（沛县期末）如图， 与 互余， 与 互补， 平分 ，
则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 与 互余， 与 互补，
， ，
，
平分 ，
，，
，
，
故选： ．
2．（道里区期末）下列说法中错误的是
A．经过三点中的两点画直线一定可以画三条直线
B．两点之间，线段最短
C．若点 是 的中点，则
D．同角的余角相等
【解答】解： ．过同一平面上的不共线的三点中的任意两点画直线，可以画三条直线，
故选项 错误；
．两点之间，线段最短，故选项正确；
．若点 是 的中点，则 ，故选项正确；
．同角的余角相等，故选项正确；
故选： ．
3．（乳山市期末）若锐角 的补角度数为 ，则锐角 的余角度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 锐角 的补角度数为 ，
锐角 的度数为： ，
锐角 的余角是 ．
故选： ．
4．（红河州期末）已知 ，则 的余角等于
A． B． C． D．
【解答】解： 的余角 ．
故选： ．
5．（平谷区二模）点 ， ， ， ， 的位置如图所示，下列结论中，错误的是A． B． 平分
C． D． 与 互补
【解答】解： ， ， ，
， ，
选项 、 、 都正确，
故选： ．
6．（山西模拟）已知 ，则 的补角是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
补角为： ．
故选： ．
7．（百色一模）已知 ，则 的补角是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
补角为： ．
故选： ．
8．（渝中区校级月考） 的余角为 ，则 的补角为
A． B． C． D．
【解答】解： 的余角为 ，
，
的补角 ，
故选： ．
二．填空题（共1小题）
9．（东海县期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若
，则 14 4 ．【解答】解：延长 到 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：144．
知识点4：对顶角和邻补角
1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这
两个角是对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
2.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做
邻补角。
邻补角的性质：（1）一个角与它的邻补角的和等于180°；（2）如果两个角互为邻补角，
那么它们的角平分线互相垂直。
【典例】
1.如图所示，直线 AB 交 CD 于点 O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COB，∠AOD：
∠BOE=4：1，则∠AOF=______【方法总结】
解角度问题常设某一角度为未知数，把其他关联角用未知数表示出来，根据已知条件间建
立关于该未知数的方程，解方程即可求得未知数的值，从而得到所求角的度数。用代数方
法解几何问题是常用方法之一。
【随堂练习】
1．（覃塘区期末）已知 和 是对顶角，且 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 和 是对顶角，
，
又 ，
，
故选： ．
2．（克东县期末）下面四个图形中， 与 是对顶角的为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有 图中的 与 是对顶角，其它都不是．
故选： ．
3．（白水县期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ， ，
平分 ，给出下列结论：
①当 时， ；
② 为 的平分线；
③与 相等的角有三个；
④ ．
其中正确的结论有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
当 时， ；
故①正确；
平分 ，
，
故③正确；
，但 和 的大小关系不确定
为 的平分线这一结论不确定
故②错误；
故④正确；
故选： ．
4．（江门期末）如图，直线 、 相交形成四个角，互为对顶角的是
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【解答】解：由图可得， 与 ， 与 ， 与 都是邻补角； 与 ， 与
都是对顶角，
故选： ．
5．（潍坊期末）直线 ， 相交于点 ，则对顶角共有
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：由图可知对顶角有两对分别为 与 ， 与 ；
．
故选： ．
6．（信丰县期中）如图所示、直线 ， 相交于点 ，已知 ，则
的大小为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， 相交于点 ，
，
故选： ．
二．填空题（共2小题）
7．（包河区期末）如图，已知， 、 、 相交于 点， ， ，则
的度数是 ．
【解答】解： 、 、 相交于 点， ， ，
，
又 与 是对顶角，
，
故答案为： ．
8．（滨海新区期末）如图，直线 、 相交于点 ，下列描述：① 和 互为对顶
角；② 和 互为邻补角；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的是
②④⑤ ．【解答】解： 和 是邻补角，不是对顶角，故①错误；
和 互为邻补角，故②正确；
和 不一定相等，故③错误；
和 是对顶角，所以 ，故④正确；
和 是邻补角，所以 ，故⑤正确；
故答案为：②④⑤．
综合集训
1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a
上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_______°．
【解析】解：根据题意得：∠1=138°﹣60°=78°，
故答案为：78
2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，∠COE=20°，则∠BOE= ________°．
【解析】解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，
∴∠COB=140°，
∵∠COE=20°，
∴∠BOE=140°﹣20°=120°．
故答案为：120．3.一个角的补角为158°12′，那么这个角的余角等于__________．
【解析】解：设原角为∠α，所求角为∠β，
则∠α=180°﹣158°12′=21°48′，
∠β=90°﹣∠α=68°12′．
故答案为：68°12′
4.如图，∠AOB=90°，OC 平分∠AOB，OE 平分∠AOD，若∠EOC=60°，则
∠BOD=__________．
【解析】解：∵OC平分∠AOB，
1
∴∠AOC= ∠AOB=45°，
2
∵∠EOC=60°，
∴∠AOE=15°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=30°，
∴∠BOD=30°+90°=120°，
故答案为：120°．
5.一个角的补角加上14°，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是 ________．
【解析】解：设这个角为x，则补角为180°﹣x，余角为90°﹣x，
由题意得：180°﹣x+14°=5（90°﹣x），
解得：x=64°．
故填：64°
6 如 图 ， 直 线 AB 、 CD 相 交 于 点 O ， ∠ BOF=∠ DOE=90° ， ∠ DOF=58° ， 则
∠BOE=________，∠AOC=________．【解析】解：∵∠BOF=90°，∠DOF=58°，
∴∠DOB=90°﹣58°=32°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOE=90°﹣32°=58°，
∵∠DOB=32°，
∴∠AOC=32°，
7.计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．
【解析】解：（1）48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′﹣21°17′
=94°53′；
（2）23°53′×3﹣107°43′÷5
=71°39′﹣21°32′36″
=50°6′24″．
【难度】易
【结束】
8.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．
【解析】解：（1）∵OE 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠BOC 的角平分线，
∠AOC=120°，∠BOC=30°，
∴∠EOC=60°，∠DOC=15°，
∴∠DOE=∠EOC﹣∠DOC=60°﹣15°=45°；
（2））∵OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，∠AOB=90°，∠BOC=α，
1 1
∴∠EOC= （90°+α），∠DOC= α，
2 21 1
∴∠DOE=∠EOC﹣∠DOC= （90°+α）﹣ α=45°．
2 2
9.如图，直线AB上有一点O，射线OD在直线AB上方且不与OA、OB重合，OC平分
∠AOD，OE平分∠BOD
（1）当∠AOD=70°时，∠DOE=_______°；
（2）当∠AOD=100°时，求：∠DOE、∠COE的度数；
（3）直接写出，当∠AOD=x°时，∠COD与∠DOE之间满足的关系．
【解析】解：（1）∵∠AOD=70°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣70°=110°，
∵OE平分∠BOD，
1
∴∠DOE= ∠BOD=55°，
2
故答案为：55°．
（2）∵∠AOD=100°，
∴∠DOB=180°﹣100°=80°
∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD
1 1
∴∠COD= ∠AOD= ×100°=50°
2 2
1 1
∠DOE= ∠DOB= ×80°=40°
2 2
∴∠COE=∠COD+∠DOE=50°+40°=90°
∴∠DOE、∠COE的度数分别为40°、90°．
1 1 1 1
（3）∠COD+∠DOE= ∠AOD+ ∠DOB= （∠AOD+∠DOB）= ∠AOB=90°．
2 2 2 2
